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4.2: Resolver Sistemas de Ecuaciones Lineales con Dos Variables

  • Page ID
    112372
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    Objetivos de aprendizaje

    Al final de esta sección, podrás:

    • Determinar si un par ordenado es una solución de un sistema de ecuaciones
    • Resolver un sistema de ecuaciones lineales graficando
    • Resolver un sistema de ecuaciones por sustitución
    • Resolver un sistema de ecuaciones por eliminación
    • Elija el método más conveniente para resolver un sistema de ecuaciones lineales

    Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

    1. Para la ecuación\(y=\frac{2}{3}x−4\),
      ⓐ ¿Es\((6,0)\) una solución? ⓑ ¿Es\((−3,−2)\) una solución?
      Si te perdiste este problema, revisa [enlace].
    2. Encuentra la pendiente y -intercepción de la línea\(3x−y=12\).
      Si te perdiste este problema, revisa [enlace].
    3. Encuentra las intercepciones x e y de la línea\(2x−3y=12\).
      Si te perdiste este problema, revisa [enlace].

    Determinar si un par ordenado es una solución de un sistema de ecuaciones

    En Resolver ecuaciones lineales aprendimos a resolver ecuaciones lineales con una variable. Ahora trabajaremos con dos o más ecuaciones lineales agrupadas, lo que se conoce como un sistema de ecuaciones lineales.

    SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

    Cuando se agrupan dos o más ecuaciones lineales, forman un sistema de ecuaciones lineales.

    En esta sección, enfocaremos nuestro trabajo en sistemas de dos ecuaciones lineales en dos incógnitas. Resolveremos sistemas de ecuaciones más grandes más adelante en este capítulo.

    A continuación se muestra un ejemplo de un sistema de dos ecuaciones lineales. Utilizamos un corsé para mostrar que las dos ecuaciones se agrupan para formar un sistema de ecuaciones.

    \[ \left\{ \begin{aligned} 2x+y & = 7 \\ x−2y & = 6 \end{aligned} \right. \nonumber \]

    Una ecuación lineal en dos variables, tales como\(2x+y=7\), tiene un número infinito de soluciones. Su gráfica es una línea. Recuerde, cada punto de la línea es una solución a la ecuación y cada solución a la ecuación es un punto en la línea.

    Para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales, queremos encontrar los valores de las variables que son soluciones a ambas ecuaciones. En otras palabras, estamos buscando los pares ordenados\((x,y)\) que hagan verdaderas ambas ecuaciones. A estas se les llama las soluciones de un sistema de ecuaciones.

    SOLUCIONES DE UN SISTEMA DE ECUACIONES

    Las soluciones de un sistema de ecuaciones son los valores de las variables que hacen verdaderas todas las ecuaciones. Una solución de un sistema de dos ecuaciones lineales está representada por un par ordenado\((x,y)\).

    Para determinar si un par ordenado es una solución a un sistema de dos ecuaciones, sustituimos los valores de las variables en cada ecuación. Si el par ordenado hace que ambas ecuaciones sean verdaderas, es una solución para el sistema.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Determinar si el par ordenado es una solución para el sistema\(\left \{ \begin{array} {l} x−y = −1 \\ 2x−y = −5 \end{array} \right. \).

    \((−2,−1)\)\((−4,−3)\)

    Contestar

    Las ecuaciones son x menos y es igual a menos 1 y 2 x menos y es igual a menos 5. Sustituimos x igual a menos 2 e y igual a menos 1 en ambas ecuaciones. Entonces, x menos y es igual a menos 1 se convierte en menos 2 menos paréntesis abiertos menos 1 paréntesis cercanos iguales o no iguales a menos 1. Simplificando, obtenemos menos 1 es igual a menos 1 que es correcto. La ecuación 2 x menos y es igual a menos 5 se convierte en 2 veces menos 2 menos paréntesis abiertos menos 1 paréntesis cercanos iguales o no iguales a menos 5. Simplificando, obtenemos 5 no igual a menos 5. De ahí que el par ordenado menos 2, menos 1 no hace que ambas ecuaciones sean verdaderas. Entonces, no es una solución.

    Sustituimos x igual a menos 4 e y igual a menos 3 en ambas ecuaciones. Entonces, x menos y es igual a menos 1 se convierte en menos 4 menos paréntesis abiertos menos 3 paréntesis cercanos iguales o no iguales a menos 1. Simplificando, obtenemos menos 1 es igual a menos 1, lo cual es correcto. La ecuación 2 x menos y es igual a menos 5 se convierte en 2 veces menos 4 menos paréntesis abiertos menos 3 paréntesis cercanos iguales o no iguales a menos 5. Simplificando, obtenemos menos 5 es igual a menos 5, lo cual es correcto. El par ordenado menos 4, menos 3 hace que ambas ecuaciones sean verdaderas. De ahí que sea una solución.

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Determinar si el par ordenado es una solución para el sistema\(\left \{ \begin{array} 3x+y = 0 \\ x+2y = −5 \end{array} \right. \).

    \((1,−3)\)\((0,0)\)

    Contestar

    ⓐ si ⓑ no

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Determinar si el par ordenado es una solución para el sistema\(\left \{ \begin{array} x−3y = −8 \\ −3x−y = 4 \end{array} \right. \).

    \((2,−2)\)\((−2,2)\)

    Contestar

    ⓐ no ⓑ si

    Resolver un Sistema de Ecuaciones Lineales por Grafiación

    En esta sección, utilizaremos tres métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales. El primer método que usaremos es graficar.

    La gráfica de una ecuación lineal es una línea. Cada punto de la línea es una solución a la ecuación. Para un sistema de dos ecuaciones, vamos a graficar dos líneas. Entonces podemos ver todos los puntos que son soluciones a cada ecuación. Y, al encontrar lo que tienen en común las líneas, encontraremos la solución al sistema.

    La mayoría de las ecuaciones lineales en una variable tienen una solución, pero vimos que algunas ecuaciones, llamadas contradicciones, no tienen soluciones y para otras ecuaciones, llamadas identidades, todos los números son soluciones.

    De igual manera, cuando resolvemos un sistema de dos ecuaciones lineales representadas por una gráfica de dos líneas en un mismo plano, hay tres casos posibles, como se muestra.

    La figura muestra tres gráficas. En la primera, las líneas se cruzan en el punto 3, menos 1. Las líneas que se cruzan tienen un punto en común. Hay una solución para el sistema. En la segunda gráfica, las líneas son paralelas. Las líneas paralelas no tienen puntos en común. No hay solución para el sistema. La tercera gráfica tiene sólo una línea. Aquí, ambas ecuaciones dan la misma línea. Debido a que solo tenemos una línea, hay infinitas soluciones.
    Figura\(\PageIndex{1}\)

    Cada vez que demostremos un nuevo método, lo usaremos en el mismo sistema de ecuaciones lineales. Al final de la sección decidirás qué método fue la forma más conveniente de resolver este sistema.

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\): How to Solve a System of Equations by Graphing

    Resuelve el sistema graficando\( \left\{ \begin{array} {l} 2x+y = 7 \\ x−2y = 6 \end{array} \right. \).

    Contestar

    El paso 1 es graficar la primera ecuación. Para graficar la primera línea, escriba la ecuación en forma de intersección de pendiente. Entonces, 2 x más y es igual a 7 se convierte en y igual a menos 2 x más 7. Aquí, m es menos 2 y b es 7. Por lo que la gráfica será una línea con pendiente igual a menos 2 e y interceptar igual a 7.El paso 2 es graficar la segunda ecuación en el mismo sistema de coordenadas rectangulares. Para graficar la segunda línea, use intercepciones. Para x menos 2y es igual a 6, las intercepciones son 0, menos 3 y 6, 0.El paso 3 consiste en determinar si las líneas se cruzan, son paralelas o son la misma línea. Aquí, se cruzan.El paso 4 es identificar la solución al sistema. Si las líneas se cruzan, identifique el punto de intersección. Las líneas se cruzan en 4, menos 1. Ahora, verifique para asegurarse de que sea una solución a ambas ecuaciones. Cuando x e y se sustituyen por 4 y menos 1 respectivamente, ambas ecuaciones se mantienen verdaderas. Esta es la solución al sistema. En el paso 4, si las líneas son paralelas, el sistema no tiene solución y si las líneas son las mismas, el sistema tiene un número infinito de soluciones.

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    Resuelve el sistema graficando:\( \left\{ \begin{array} {l} x−3y = −3 \\ x+y = 5 \end{array} \right. \).

    Contestar

    \((3,2)\)

    Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

    Resuelve el sistema graficando:\( \left\{ \begin{array} {l} −x+y = 1 \\ 3x+2y = 12 \end{array} \right.\)

    Contestar

    \((2,3)\)

    Aquí se muestran los pasos a utilizar para resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante la representación gráfica.

    RESOLVE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES GRAPANDO.
    1. Grafica la primera ecuación.
    2. Grafique la segunda ecuación en el mismo sistema de coordenadas rectangulares.
    3. Determine si las líneas se cruzan, son paralelas o son la misma línea.
    4. Identificar la solución al sistema.
      • Si las líneas se cruzan, identifique el punto de intersección. Esta es la solución al sistema.
      • Si las líneas son paralelas, el sistema no tiene solución.
      • Si las líneas son las mismas, el sistema tiene un número infinito de soluciones.
    5. Verifique la solución en ambas ecuaciones.

    En el siguiente ejemplo, primero volveremos a escribir las ecuaciones en forma de pendiente-interceptación, ya que esto nos facilita graficar rápidamente las líneas.

    Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

    Resuelve el sistema graficando:\(\left\{ \begin{array} {l} 3x+y = −1 \\ 2x+y = 0 \end{array}\right.\)

    Contestar

    Resolveremos ambas ecuaciones para que\(y\) podamos graficarlas fácilmente usando sus pendientes e\(y\) intercepciones.

      .
    Resuelve la primera ecuación para y. .
    Encuentra la pendiente y -intercepción. .
    Resuelve la segunda ecuación para y. .
    Encuentra la pendiente y -intercepción. .
    Grafica las líneas. .
    Determinar el punto de intersección. Las líneas se cruzan en\((−1,2)\).
    Verifique la solución en ambas ecuaciones.

    .
     
      La solución es\((−1,2)\).
    Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

    Resuelve el sistema graficando:\(\left\{ \begin{array} {l} −x+y = 1 \\2x+y = 10 \end{array}\right. \).

    Contestar

    \((3,4)\)

    Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

    Resuelve el sistema graficando:\(\left\{ \begin{array} {l} 2x+y = 6 \\x+y = 1 \end{array}\right. \).

    Contestar

    \((5,−4)\)

    En todos los sistemas de ecuaciones lineales hasta el momento, las líneas se cruzaron y la solución fue un punto. En los siguientes dos ejemplos, veremos un sistema de ecuaciones que no tiene solución y un sistema de ecuaciones que tiene un número infinito de soluciones.

    Ejemplo\(\PageIndex{10}\)

    Resuelve el sistema graficando:\(\left\{ \begin{array} {l} y = \tfrac{1}{2}x-3 \\ x-2y = 4 \end{array}\right. \).

    Contestar
      .
    Para graficar la primera ecuación, utilizaremos su
    pendiente y -intercepción.
    .
    Para graficar la segunda ecuación, usaremos
    las intercepciones.
    .
      .
    Grafica las líneas. .
    Determinar los puntos de intersección. Las líneas son paralelas.
    Como no hay punto en ambas líneas, no hay par
    ordenado que haga que ambas ecuaciones sean
    verdaderas. No hay solución a este sistema.
    Ejemplo\(\PageIndex{11}\)

    Resuelve el sistema graficando:\(\left\{ \begin{array} {l} y = -\tfrac{1}{4}x+2 \\ x+4y = 4 \end{array}\right. \).

    Contestar

    no hay solución

    Ejemplo\(\PageIndex{12}\)

    Resuelve el sistema graficando:\(\left\{ \begin{array} {l} y = 3x-1 \\ 6x-2y = 6 \end{array}\right. \).

    Contestar

    no hay solución

    A veces las ecuaciones en un sistema representan la misma línea. Dado que cada punto de la línea hace que ambas ecuaciones sean verdaderas, hay infinitamente muchos pares ordenados que hacen que ambas ecuaciones sean verdaderas. Hay infinitamente muchas soluciones al sistema.

    Ejemplo\(\PageIndex{13}\)

    Resuelve el sistema graficando:\(\left\{ \begin{array} {l} y = 2x-3 \\ -6x+3y = 9 \end{array}\right. \).

    Contestar
      .
    Encuentra la pendiente y -intercepción de la primera ecuación. .
    Encuentra las intercepciones de la segunda ecuación. .
      .
    Grafica las líneas. .
      ¡Las líneas son las mismas!
    Dado que cada punto de la línea hace que ambas
    ecuaciones sean verdaderas, hay infinitamente muchos pares
    ordenados que hacen que ambas ecuaciones sean verdaderas.
    Hay infinitamente muchas soluciones a este sistema.

    Si escribes la segunda ecuación en forma de pendiente-intercepción, es posible que reconozcas que las ecuaciones tienen la misma pendiente y la misma intercepción y.

    Ejemplo\(\PageIndex{14}\)

    Resuelve el sistema graficando:\(\left\{ \begin{array} {l} y = -3x-6 \\ 6x+2y = -12 \end{array}\right. \).

    Contestar

    infinitamente muchas soluciones

    Ejemplo\(\PageIndex{15}\)

    Resuelve el sistema graficando:\(\left\{ \begin{array} {l} y = \tfrac{1}{2}x-4 \\ 2x-4y = 16 \end{array}\right. \).

    Contestar

    infinitamente muchas soluciones

    Cuando graficamos la segunda línea en el último ejemplo, la dibujamos justo sobre la primera línea. Decimos que las dos líneas son coincidentes. Las líneas coincidentes tienen la misma pendiente y la misma intersección.

    LINEAS COUNCIENTES

    Las líneas coincidentes tienen la misma pendiente y la misma intersección.

    Los sistemas de ecuaciones en Ejemplo y Ejemplo tenían cada uno dos líneas de intersección. Cada sistema tenía una solución.

    En Ejemplo, las ecuaciones daban líneas coincidentes, y así el sistema tenía infinitamente muchas soluciones.

    Los sistemas en esos tres ejemplos tenían al menos una solución. Un sistema de ecuaciones que tiene al menos una solución se denomina sistema consistente.

    Un sistema con líneas paralelas, como Ejemplo, no tiene solución. Llamamos a un sistema de ecuaciones como este inconsistente. No tiene solución.

    Sistemas consistentes e inconsistentes

    Un sistema consistente de ecuaciones es un sistema de ecuaciones con al menos una solución.

    Un sistema inconsistente de ecuaciones es un sistema de ecuaciones sin solución.

    También categorizamos las ecuaciones en un sistema de ecuaciones llamando a las ecuaciones independientes o dependientes. Si dos ecuaciones son independientes, cada una tiene su propio conjunto de soluciones. Las líneas que se cruzan y las líneas paralelas son independientes.

    Si dos ecuaciones son dependientes, todas las soluciones de una ecuación también son soluciones de la otra ecuación. Cuando graficamos dos ecuaciones dependientes, obtenemos líneas coincidentes.

    Resumamos esto mirando las gráficas de los tres tipos de sistemas. Ver abajo y Tabla.

    La figura muestra tres gráficas. El primero tiene dos líneas de intersección. El segundo tiene dos líneas paralelas. El tercero tiene sólo una línea. Esto se etiqueta como coincidente.

    Líneas Intersectar Paralelo Coincidente
    Número de soluciones 1 punto Sin solución Infinitamente muchos
    Consistente/inconsistente Consistente Inconsistente Consistente
    Dependiente/independiente Independiente Independiente Dependiente
    Ejemplo\(\PageIndex{16}\)

    Sin graficar, determinar el número de soluciones y luego clasificar el sistema de ecuaciones.

    \( \left\{ \begin{array} {l} y = 3x−1 \\ 6x−2y = 12 \end{array}\right. \)\( \left\{ \begin{array} {l} 2x+y=−3 \\ x−5y=5 \end{array} \right. \)

    Contestar

    ⓐ Compararemos las pendientes e intercepciones de las dos líneas.

    \(\begin{array} {lll} {} &{} &{ \left\{ \begin{array} {l} {y=3x-1} \\ {6x−2y=12} \end{array} \right. } \\ {} &{} &{y = 3x-1} \\ {\text{The first equation is already in slope-intercept form.}} &{} &{} \\ {\text{Write the second equation in slope-intercept form.}} &{} &{} \\ {} &{} &{} \\ {} &{} &{} \\ {} &{} &{} \\ {} &{} &{6x-2y=12} \\ {} &{} &{-2y=-6x+12} \\ {} &{} &{\frac{-2y}{-2}=\frac{-6x+12}{-2}} \\ {} &{} &{y=3x-6} \\ {} &{y=3x-1} &{y=3x-6} \\ {} &{m=3} &{m=3} \\ {} &{b=-1} &{b=-6} \\ {\text{Find the slope and intercept of each line.}} &{} &{} \\ {} &{} &{} \\ {} &{} &{} \\ {} &{} &{} \\ {} &{} &{} \\ {} &{\text{Since the slopes are the same andy-intercepts are}} &{} \\ {} &{\text{different, the lines are parallel.}} &{} \\ \end{array}\)

    ⓑ Compararemos la pendiente e intercepciones de las dos líneas.

    \(\begin{array} {lll} {} &{} &{} \\ {} &{ \left\{ \begin{array} {l} 2x+y=-3 \\ x-5y=5 \\ \end{array} \right. } &{} \\ {\text{Write both equations in slope–intercept form.}} &{} &{} \\ {} &{} &{} \\ {} &{} &{} \\ {} &{} &{} \\ {} &{2x+y=-3} &{x-5y=5} \\ {} &{y=-2x-3} &{-5y=-x+5} \\ {} &{} &{\frac{-5y}{-5}=\frac{-x+5}{-5}} \\ {} &{} &{y=\frac{1}{5}-1} \\ {} &{} &{} \\ {} &{} &{} \\ {} &{} &{} \\ {} &{} &{} \\ {\text{Find the slope and intercept of each line.}} &{} &{} \\ {} &{} &{} \\ {} &{y=-2x-3} &{y=\frac{1}{5}-1} \\ {} &{m=-2} &{m=\frac{1}{5}} \\ {} &{b=-3} &{b=-1} \\ {} &{} &{} \\ {} &{\text{Since the slopes are different, the lines intersect.}} &{} \\ \end{array}\)

    Un sistema de ecuaciones cuyas gráficas se cruzan tiene 1 solución y es consistente e independiente.

    Ejemplo\(\PageIndex{17}\)

    Sin graficar, determinar el número de soluciones y luego clasificar el sistema de ecuaciones.

    \(\left\{ \begin{array} {l} y=−2x−4 \\ 4x+2y=9 \end{array} \right. \)\(\left\{ \begin{array} {l} 3x+2y=2 \\ 2x+y=1 \end{array} \right. \)

    Contestar

    ⓐ ninguna solución, inconsistente, independiente ⓑ una solución, consistente, independiente

    Ejemplo\(\PageIndex{18}\)

    Sin graficar, determinar el número de soluciones y luego clasificar el sistema de ecuaciones.

    \(\left\{ \begin{array} {l} y=\frac{1}{3}x−5 \\ x−3y=6 \end{array} \right. \)\(\left\{ \begin{array} {l} x+4y=12 \\ −x+y=3 \end{array} \right. \)

    Contestar

    ⓐ ninguna solución, inconsistente, independiente ⓑ una solución, consistente, independiente

    Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante gráficos es una buena manera de visualizar los tipos de soluciones que pueden resultar. Sin embargo, hay muchos casos en los que resolver un sistema mediante la gráfica es inconveniente o impreciso. Si los gráficos se extienden más allá de la cuadrícula pequeña con x e \(−10\)y ambos entre y 10, graficar las líneas puede ser engorroso. Y si las soluciones al sistema no son números enteros, puede ser difícil leer sus valores precisamente a partir de una gráfica.

    Resolver un Sistema de Ecuaciones por Sustitución

    Ahora resolveremos sistemas de ecuaciones lineales por el método de sustitución.

    Usaremos el mismo sistema que usamos primero para graficar.

    \[ \left\{ \begin{array} {l} 2x+y=7 \\ x−2y=6 \end{array} \right. \nonumber \]

    Primero resolveremos una de las ecuaciones para x o y. Podemos elegir cualquiera de las ecuaciones y resolver para cualquiera de las variables, pero intentaremos tomar una decisión que mantenga el trabajo fácil.

    Entonces sustituimos esa expresión por la otra ecuación. El resultado es una ecuación con una sola variable, ¡y sabemos cómo resolverlas!

    Después de encontrar el valor de una variable, sustituiremos ese valor en una de las ecuaciones originales y resolveremos por la otra variable. Por último, comprobamos nuestra solución y nos aseguramos de que haga que ambas ecuaciones sean verdaderas.

    Ejemplo\(\PageIndex{19}\): How to Solve a System of Equations by Substitution

    Resolver el sistema por sustitución:\( \left\{ \begin{array} {l} 2x+y=7 \\ x−2y=6 \end{array} \right. \)

    Contestar

    Las ecuaciones son 2 x más y es igual a 7 y x menos 2y es igual a 6. El paso 1 es resolver una de las ecuaciones para cualquiera de las variables. Vamos a resolver la primera ecuación para y Obtenemos y es igual a 7 menos 2 x.En el paso 2, sustituya la expresión del paso 1 por la otra ecuación. Sustituimos y en la segunda ecuación con la expresión 7 menos 2 x Entonces, obtenemos x menos 2 paréntesis abiertos 7 menos 2 x paréntesis cercanos es igual a 6.El paso 3 es resolver la ecuación resultante. Ahora tenemos una ecuación con apenas 1 variable. Lo resolvemos para obtener x igual a 4.El paso 4 consiste en sustituir la solución del paso 3 en una de las ecuaciones originales para encontrar la otra variable. Usaremos la primera ecuación y reemplazaremos x por 4. Obtenemos, 2 veces 4 más y es igual a 7. Simplificando, obtenemos y igual a menos 1.El paso 5 es escribir la solución como un par ordenado. El par ordenado es 4, menos 1.El paso 6 es verificar que el par ordenado es una solución a ambas ecuaciones originales. Para hacer eso sustituimos x igual a 4 e y igual a menos 1 en ambas ecuaciones y nos aseguramos de que ambas sean verdaderas.

    Ejemplo\(\PageIndex{20}\)

    Resolver el sistema por sustitución:\( \left\{ \begin{array} {l} −2x+y=−11 \\ x+3y=9 \end{array} \right. \)

    Contestar

    \((6,1)\)

    Ejemplo\(\PageIndex{21}\)

    Resolver el sistema por sustitución:\( \left\{ \begin{array} {l} 2x+y=−1 \\ 4x+3y=3 \end{array} \right. \)

    Contestar

    \((−3,5)\)

    RESOLVE UN SISTEMA DE ECUACIONES POR SUSTITUCIÓN.
    1. Resuelve una de las ecuaciones para cualquiera de las variables.
    2. Sustituya la expresión del Paso 1 en la otra ecuación.
    3. Resuelve la ecuación resultante.
    4. Sustituya la solución del Paso 3 en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar la otra variable.
    5. Escribe la solución como un par ordenado.
    6. Comprobar que el par ordenado es una solución a ambas ecuaciones originales.

    Ten mucho cuidado con las señales en el siguiente ejemplo.

    Ejemplo\(\PageIndex{22}\)

    Resolver el sistema por sustitución:\( \left\{ \begin{array} {l} 4x+2y=4 \\ 6x−y=8 \end{array} \right. \)

    Contestar

    Necesitamos resolver una ecuación para una variable. Vamos a resolver la primera ecuación para y.

      .
    Resuelve la primera ecuación para y.
    Sustituir\(−2x+2\) y en la segunda ecuación.
    .
    Reemplazar la y con\(−2x+2\). .
    Resuelve la ecuación para x. .
    Sustituir\(x=54\) en\(4x+2y=4\) para encontrar y. .
      El par ordenado es\((54,−12)\).
    Verifique el par ordenado en ambas ecuaciones.

    .
     
      La solución es\((54,−12)\).
    Ejemplo\(\PageIndex{23}\)

    Resolver el sistema por sustitución:\( \left\{ \begin{array} {l} x−4y=−4 \\ −3x+4y=0 \end{array} \right. \)

    Contestar

    \((2,32)\)

    Ejemplo\(\PageIndex{24}\)

    Resolver el sistema por sustitución:\( \left\{ \begin{array} {l} 4x−y=0 \\ 2x−3y=5 \end{array} \right. \)

    Contestar

    \((−12,−2)\)

    Resolver un sistema de ecuaciones por eliminación

    Hemos resuelto sistemas de ecuaciones lineales mediante gráficas y por sustitución. La gráfica funciona bien cuando los coeficientes variables son pequeños y la solución tiene valores enteros. La sustitución funciona bien cuando podemos resolver fácilmente una ecuación para una de las variables y no tener demasiadas fracciones en la expresión resultante.

    El tercer método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales se llama Método de Eliminación. Cuando resolvimos un sistema por sustitución, comenzamos con dos ecuaciones y dos variables y lo redujimos a una ecuación con una variable. Esto es lo que haremos con el método de eliminación, también, pero tendremos una manera diferente de llegar ahí.

    El Método de Eliminación se basa en la Propiedad de Adición de Igualdad. El Adición Propiedad de Igualdad dice que cuando se agrega la misma cantidad a ambos lados de una ecuación, todavía se tiene igualdad. Ampliaremos la Propiedad de Suma de Igualdad para decir que cuando se agregan cantidades iguales a ambos lados de una ecuación, los resultados son iguales.

    Para cualquier expresión a, b, c y d.

    \[\begin{array} {ll} {\text{if}} &{a=b} \\ {\text{and}} &{c=d} \\ {\text{then}} &{a+c=b+d.} \\ \nonumber \end{array}\]

    Para resolver un sistema de ecuaciones por eliminación, comenzamos con ambas ecuaciones en forma estándar. Entonces decidimos qué variable será la más fácil de eliminar. ¿Cómo decidimos? Queremos que los coeficientes de una variable sean opuestos, para que podamos sumar las ecuaciones y eliminar esa variable.

    Observe cómo funciona eso cuando sumamos estas dos ecuaciones juntas:

    \[\left\{ \begin{array} {l} 3x+y=5 \\ \underline{2x−y=0} \end{array} \right. \nonumber\]

    \[5x=5 \nonumber\]

    Las y se suman a cero y tenemos una ecuación con una variable.

    Vamos a probar otro:

    \[ \left\{ \begin{array} x+4y=2 \\ 2x+5y=−2 \end{array} \right. \nonumber\]

    Esta vez no vemos una variable que pueda ser eliminada inmediatamente si sumamos las ecuaciones.

    Pero si multiplicamos la primera ecuación por\(−2\), haremos los coeficientes de x opuestos. Debemos multiplicar cada término en ambos lados de la ecuación por\(−2\).

    Menos 2 paréntesis abiertos x más 4y cerrar paréntesis es menos 2 veces 2. Y, 2 x más 5y es menos 2.

    Después reescribe el sistema de ecuaciones.

    Menos 2 x menos 8y es menos 4 y 2 x más 5y es menos 2.

    Ahora vemos que los coeficientes de los términos x son opuestos, por lo que x se eliminará cuando agreguemos estas dos ecuaciones.

    Menos 2 x menos 8y es menos 4 y 2 x más 5y es menos 2. Sumando estos, obtenemos menos 3y es igual a menos 6.

    Una vez que obtenemos una ecuación con una sola variable, la resolvemos. Luego sustituimos ese valor en una de las ecuaciones originales para resolver por la variable restante. Y, como siempre, verificamos nuestra respuesta para asegurarnos de que sea una solución a ambas ecuaciones originales.

    Ahora veremos cómo usar la eliminación para resolver el mismo sistema de ecuaciones que resolvimos graficando y por sustitución.

    Ejercicio\(\PageIndex{25}\): How to Solve a System of Equations by Elimination

    Resuelve el sistema por eliminación:\(\left\{ \begin{array} {l} 2x+y=7 \\ x−2y=6 \end{array} \right. \)

    Contestar

    Las ecuaciones son 2 x más y es igual a 7 y x menos 2y es igual a 6. El paso 1 es escribir ambas ecuaciones en forma estándar. Ambas ecuaciones están en forma estándar, Ax más By es igual a C. Si alguno de los coeficientes son fracciones, límpielos. No hay fracciones.El paso 2 es hacer los coeficientes de una variable opuestos. Primero decide qué variable vas a eliminar. Multiplica una o ambas ecuaciones para que los coeficientes de esa variable sean opuestos. Podemos eliminar las y multiplicando la primera ecuación por 2. Obtenemos 4x más 2y es igual a 14.El paso 3 consiste en sumar las ecuaciones resultantes del paso 2 para eliminar una variable. Añadiendo, obtenemos 5x es igual a 20.El paso 4 es resolver para la variable restante. Resolviendo para x, obtenemos x es igual a 4.El paso 5 consiste en sustituir la solución del paso 4 por una de las ecuaciones originales. Entonces resuelve para la otra variable. Sustituyendo x igual a 4 en la segunda ecuación, obtenemos 4 menos 2y es igual a 6. Resolviendo para y, obtenemos y igual a menos 1.El paso 6 es escribir la solución como un par ordenado. Aquí, el par ordenado es 4, menos 1.El paso 7 es verificar que el par ordenado sea una solución a ambas ecuaciones originales. El par ordenado hace que ambas ecuaciones originales sean verdaderas.

    Ejercicio\(\PageIndex{26}\)

    Resuelve el sistema por eliminación:\(\left\{ \begin{array} {l} 3x+y=5 \\ 2x−3y=7 \end{array} \right.\)

    Contestar

    \((2,−1)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{27}\)

    Resuelve el sistema por eliminación:\(\left\{ \begin{array} {l} 4x+y=−5 \\ −2x−2y=−2 \end{array} \right.\)

    Contestar

    \((−2,3)\)

    Los pasos se enumeran aquí para una fácil referencia.

    RESOLVE UN SISTEMA DE ECUACIONES POR ELIMINACIÓN
    1. Escribe ambas ecuaciones en forma estándar. Si alguno de los coeficientes son fracciones, límpielos.
    2. Hacer los coeficientes de una variable opuestos.
      • Decide qué variable vas a eliminar.
      • Multiplica una o ambas ecuaciones para que los coeficientes de esa variable sean opuestos.
    3. Agregue las ecuaciones resultantes del Paso 2 para eliminar una variable.
    4. Resolver para la variable restante.
    5. Sustituir la solución del Paso 4 por una de las ecuaciones originales. Entonces resuelve para la otra variable.
    6. Escribe la solución como un par ordenado.
    7. Comprobar que el par ordenado es una solución a ambas ecuaciones originales.

    Ahora vamos a hacer un ejemplo donde necesitamos multiplicar ambas ecuaciones por constantes para hacer los coeficientes de una variable opuestos.

    Ejercicio\(\PageIndex{28}\)

    Resuelve el sistema por eliminación:\(\left\{ \begin{array} {l} 4x−3y=9 \\ 7x+2y=−6 \end{array} \right. \)

    Contestar

    En este ejemplo, no podemos multiplicar una sola ecuación por cualquier constante para obtener coeficientes opuestos. Entonces vamos a multiplicar estratégicamente ambas ecuaciones por diferentes constantes para obtener los opuestos.

      .
    Ambas ecuaciones están en forma estándar.
    Para obtener coeficientes opuestos de y,
    multiplicaremos la primera ecuación por 2 y la
    segunda por 3.
    .
    Simplificar. .
    Sumar las dos ecuaciones para eliminar y. .
    Resolver para x. .
    Sustituye x=0x=0 en una de las ecuaciones originales. .
    Resolver por y. .
    Escribe la solución como un par ordenado.

    El par ordenado es\((0,−3)\).

    Comprobar que el par ordenado es una solución a
    ambas ecuaciones originales.

    .
     
      La solución es\((0,−3)\).
    Ejercicio\(\PageIndex{29}\)

    Resuelve el sistema por eliminación:\(\left\{ \begin{array} {l} 3x−4y=−9 \\ 5x+3y=14\end{array} \right. \)

    Contestar

    \((1,3)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{30}\)

    Resuelve cada sistema por eliminación:\(\left\{ \begin{array} {l} 7x+8y=4 \\ 3x−5y=27 \end{array} \right.\)

    Contestar

    \((4,−3)\)

    Cuando el sistema de ecuaciones contenga fracciones, primero limpiaremos las fracciones multiplicando cada ecuación por la LCD de todas las fracciones de la ecuación.

    Ejercicio\(\PageIndex{31}\)

    Resuelve el sistema por eliminación:\(\left\{ \begin{array} {l} x+\tfrac{1}{2}y=6 \\ \tfrac{3}{2}x+\tfrac{2}{3}y=\tfrac{17}{2} \end{array} \right.\)

    Contestar

    En este ejemplo, ambas ecuaciones tienen fracciones. Nuestro primer paso será multiplicar cada ecuación por la LCD de todas las fracciones de la ecuación para borrar las fracciones.

      .
    Para borrar las fracciones, multiplica cada
    ecuación por su LCD.
    .
    Simplificar. .
    Ahora estamos listos para eliminar una
    de las variables. Observe que ambas ecuaciones están en forma
    estándar.
     
    Podemos eliminar y multiplicando la ecuación superior por\(−4\). .
    Simplificar y agregar.

    Sustituir\(x=3\) en una de las ecuaciones originales.
    .
    Resolver por y. .
    .
    .
    Escribe la solución como un par ordenado. El par ordenado es\((3,6)\).
    Comprobar que el par ordenado es una solución a
    ambas ecuaciones originales.

    .
     
      La solución es\((3,6)\).
    Ejercicio\(\PageIndex{32}\)

    Resuelve cada sistema por eliminación:\(\left\{ \begin{array} {l} \tfrac{1}{3}x−\tfrac{1}{2}y=1 \\ \tfrac{3}{4}x−y=\tfrac{5}{2} \end{array} \right.\)

    Contestar

    \((6,2)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{33}\)

    Resuelve cada sistema por eliminación:\(\left\{ \begin{array} {l} x+\tfrac{3}{5}y=−\tfrac{1}{5} \\ −\tfrac{1}{2}x−\tfrac{2}{3}y=\tfrac{5}{6} \end{array} \right.\)

    Contestar

    \((1,−2)\)

    Cuando resolvimos el sistema graficando, vimos que no todos los sistemas de ecuaciones lineales tienen un solo par ordenado como solución. Cuando las dos ecuaciones eran realmente la misma línea, había infinitamente muchas soluciones. A eso lo llamamos un sistema consistente. Cuando las dos ecuaciones describieron líneas paralelas, no hubo solución. A eso lo llamamos un sistema inconsistente.

    Lo mismo es cierto usando sustitución o eliminación. Si la ecuación al final de la sustitución o eliminación es una afirmación verdadera, tenemos un sistema consistente pero dependiente y el sistema de ecuaciones tiene infinitamente muchas soluciones. Si la ecuación al final de la sustitución o eliminación es una declaración falsa, tenemos un sistema inconsistente y el sistema de ecuaciones no tiene solución.

    Ejercicio\(\PageIndex{34}\)

    Resuelve el sistema por eliminación:\(\left\{ \begin{array} {l} 3x+4y=12 \\ y=3−\tfrac{3}{4}x \end{array} \right. \)

    Contestar

    \(\begin{array} {ll} {} &{ \left\{ \begin{array} {l} 3x+4y=12 \\ y=3−\frac{3}{4}x \end{array} \right.} \\ {} &{} \\ {\text{Write the second equation in standard form.}} &{\left\{ \begin{array} {l} 3x+4y=12 \\ \frac{3}{4}x+y=3 \end{array} \right. } \\ {} &{} \\ {\text{Clear the fractions by multiplying the } \\ \text{second equation by 4.}} &{\left\{ \begin{array} {l} 3x+4y=12 \\ 4(\frac{3}{4}x+y)=4(3) \end{array} \right. } \\ {} &{} \\ {\text{Simplify.}} &{\left\{ \begin{array} {l} 3x+4y=12 \\ 3x+4y=12 \end{array} \right. } \\ {} &{} \\ {\text{To eliminate a variable, we multiply the} \\ \text{second equation by−1. Simplify and add.}} &{\begin{array} {l} {\left\{ \begin{array} {l} 3x+4y=12 \\ \underline{-3x-4y=-12 } \end{array} \right.} \\ {\hspace{16mm} 0=0} \end{array}} \\ \end{array} \)

    Esta es una verdadera afirmación. Las ecuaciones son consistentes pero dependientes. Sus gráficas serían la misma línea. El sistema tiene infinitamente muchas soluciones.

    Después de que aclaramos las fracciones en la segunda ecuación, ¿notó que las dos ecuaciones eran iguales? Eso significa que tenemos líneas coincidentes.

    Ejercicio\(\PageIndex{35}\)

    Resuelve el sistema por eliminación:\(\left\{ \begin{array} {l} 5x−3y=15 \\ 5y=−5+\tfrac{5}{3}x \end{array} \right. \)

    Contestar

    infinitamente muchas soluciones

    Ejercicio\(\PageIndex{36}\)

    Resuelve el sistema por eliminación:\(\left\{ \begin{array} {l} x+2y=6 \\ y=−\tfrac{1}{2}x+3\end{array} \right. \)

    Contestar

    infinitamente muchas soluciones

    Elija el método más conveniente para resolver un sistema de ecuaciones lineales

    Cuando resuelves un sistema de ecuaciones lineales en una aplicación, no se te dirá qué método usar. Tendrás que tomar esa decisión tú mismo. Así que querrás elegir el método que sea más fácil de hacer y minimiza tus posibilidades de cometer errores.

    \[ \textbf{Choose the Most Convenient Method to Solve a System of Linear Equations} \\ \begin{array} {lll} {\underline{\textbf{Graphing}}} &{\underline{\textbf{Substitution}}} &{\underline{\textbf{Elimination}}} \\ {\text{Use when you need a}} &{\text{Use when one equation is}} &{\text{Use when the equations a}} \\ {\text{picture of the situation.}} &{\text{already solved or can be}} &{\text{rein standard form.}} \\ {\text{}} &{\text{easily solved for one}} &{\text{}} \\ {\text{}} &{\text{variable.}} &{\text{}} \\ \end{array} \nonumber \]

    Ejemplo\(\PageIndex{37}\)

    Para cada sistema de ecuaciones lineales, decidir si sería más conveniente resolverlo por sustitución o eliminación. Explica tu respuesta.

    \(\left\{ \begin{array} {l} 3x+8y=40 \\ 7x−4y=−32 \end{array} \right.\)\(\left\{ \begin{array} {l} 5x+6y=12 \\ y=\tfrac{2}{3}x−1 \end{array} \right.\)

    Contestar

    \[\left\{ \begin{array} {l} 3x+8y=40 \\ 7x−4y=−32 \end{array} \right.\nonumber\]

    Dado que ambas ecuaciones están en forma estándar, usar la eliminación será lo más conveniente.

    \[\left\{ \begin{array} {l} 5x+6y=12 \\ y=\tfrac{2}{3}x−1 \end{array} \right.\nonumber \]

    Dado que una ecuación ya está resuelta para y, el uso de la sustitución será lo más conveniente.

    Ejemplo\(\PageIndex{38}\)

    Para cada sistema de ecuaciones lineales decidir si sería más conveniente resolverlo por sustitución o eliminación. Explica tu respuesta.

    \(\left\{ \begin{array} {l} 4x−5y=−32 \\ 3x+2y=−1 \end{array} \right.\)\(\left\{ \begin{array} {l} x=2y−1 \\ 3x−5y=−7 \end{array} \right.\)

    Contestar

    ⓐ Dado que ambas ecuaciones están en forma estándar, usar la eliminación será lo más conveniente. ⓑ Dado que una ecuación ya está resuelta para x, usar la sustitución será lo más conveniente.

    Ejemplo\(\PageIndex{39}\)

    Para cada sistema de ecuaciones lineales decidir si sería más conveniente resolverlo por sustitución o eliminación. Explica tu respuesta.

    \(\left\{ \begin{array} {l} y=2x−1 \\ 3x−4y=−6 \end{array} \right.\)\(\left\{ \begin{array} {l} 6x−2y=12 \\ 3x+7y=−13 \end{array} \right.\)

    Contestar

    ⓐ Dado que una ecuación ya está resuelta para y, usar la sustitución será lo más conveniente. ⓑ Dado que ambas ecuaciones están en forma estándar, usar la eliminación será lo más conveniente.

    Conceptos clave

    • Cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante la gráfica.
      1. Grafica la primera ecuación.
      2. Grafique la segunda ecuación en el mismo sistema de coordenadas rectangulares.
      3. Determine si las líneas se cruzan, son paralelas o son la misma línea.
      4. Identificar la solución al sistema.
        Si las líneas se cruzan, identifique el punto de intersección. Esta es la solución al sistema.
        Si las líneas son paralelas, el sistema no tiene solución.
        Si las líneas son las mismas, el sistema tiene un número infinito de soluciones.
      5. Verifique la solución en ambas ecuaciones.
    • Cómo resolver un sistema de ecuaciones por sustitución.
      1. Resuelve una de las ecuaciones para cualquiera de las variables.
      2. Sustituya la expresión del Paso 1 en la otra ecuación.
      3. Resuelve la ecuación resultante.
      4. Sustituya la solución del Paso 3 en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar la otra variable.
      5. Escribe la solución como un par ordenado.
      6. Comprobar que el par ordenado es una solución a ambas ecuaciones originales.
    • Cómo resolver un sistema de ecuaciones por eliminación.
      1. Escribe ambas ecuaciones en forma estándar. Si alguno de los coeficientes son fracciones, límpielos.
      2. Hacer los coeficientes de una variable opuestos.
        Decide qué variable vas a eliminar.
        Multiplica una o ambas ecuaciones para que los coeficientes de esa variable sean opuestos.
      3. Agregue las ecuaciones resultantes del Paso 2 para eliminar una variable.
      4. Resolver para la variable restante.
      5. Sustituir la solución del Paso 4 por una de las ecuaciones originales. Entonces resuelve para la otra variable.
      6. Escribe la solución como un par ordenado.
      7. Comprobar que el par ordenado es una solución a ambas ecuaciones originales. \[ \textbf{Choose the Most Convenient Method to Solve a System of Linear Equations} \\ \begin{array} {lll} {\underline{\textbf{Graphing}}} &{\underline{\textbf{Substitution}}} &{\underline{\textbf{Elimination}}} \\ {\text{}} &{\text{Use when one equation is}} &{\text{}} \\ {\text{Use when you need a}} &{\text{already solved or can be}} &{\text{Use when the equations a}} \\ {\text{picture of the situation.}} &{\text{easily solved for one}} &{\text{rein standard form.}} \\ {\text{}} &{\text{variable.}} &{\text{}} \\ \end{array} \nonumber \]

    Glosario

    líneas coincidentes
    Las líneas coincidentes tienen la misma pendiente y la misma intersección y.
    sistemas consistentes e inconsistentes
    El sistema consistente de ecuaciones es un sistema de ecuaciones con al menos una solución; el sistema inconsistente de ecuaciones es un sistema de ecuaciones sin solución.
    soluciones de un sistema de ecuaciones
    Las soluciones de un sistema de ecuaciones son los valores de las variables que hacen verdaderas todas las ecuaciones; la solución está representada por un par ordenado (x, y). (x, y).
    sistema de ecuaciones lineales
    Cuando se agrupan dos o más ecuaciones lineales, forman un sistema de ecuaciones lineales.

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