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# 4.8E: Ejercicios

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

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$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

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$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

## La práctica hace la perfección

Determinar si un par ordenado es una solución de un sistema de desigualdades lineales

En los siguientes ejercicios, determine si cada par ordenado es una solución al sistema.

1. $$\left\{\begin{array} {l} 3x+y>5\\2x−y\leq 10\end{array}\right.$$

$$(3,−3)$$
$$(7,1)$$

2. $$\left\{\begin{array} {l} 4x−y<10\\−2x+2y>−8\end{array}\right.$$

$$(5,−2)$$
$$(−1,3)$$

Responder

3. $$\left\{\begin{array} {l} y>\frac{2}{3}x−5\\x+\frac{1}{2}y\leq 4\end{array}\right.$$

$$(6, −4)$$
$$(3, 0)$$

4. $$\left\{\begin{array} {l} y<\frac{3}{2}x+3\\ \frac{3}{4}x−2y<5\end{array}\right.$$

$$(−4,−1)$$
$$(8, 3)$$

Responder

5. $$\left\{\begin{array} {l} 7x+2y>14\\5x−y\leq 8\end{array}\right.$$

$$(2, 3)$$
$$(7, −1)$$

6. $$\left\{\begin{array} {l} 6x−5y<20\\−2x+7y>−8 \end{array}\right.$$

$$(1, −3)$$
$$(−4, 4)$$

Responder

Resolver un Sistema de Desigualdades Lineales Graficando

En los siguientes ejercicios, resuelve cada sistema graficando.

7. $$\left\{\begin{array} {l} y\leq 3x+2\\y>x−1\end{array}\right.$$

8. $$\left\{\begin{array} {l} y<−2x+2\\y\geq −x−1\end{array}\right.$$

Responder

La solución es la región gris.

9. $$\left\{\begin{array} {l} y<2x−1\\y\leq −\frac{1}{2}x+4\end{array}\right.$$

10. $$\left\{\begin{array} {l} y\geq −\frac{2}{3}x+2\\y>2x−3\end{array}\right.$$

Responder

La solución es la región gris.

11. $$\left\{\begin{array} {l} x−y>1\\y<−\frac{1}{4}x+3\end{array}\right.$$

12. $$\left\{\begin{array} {l} x+2y<4\\y<x−2\end{array}\right.$$

Responder

La solución es la región gris.

13. $$\left\{\begin{array} {l} 3x−y\geq 6\\y\geq −\frac{1}{2}x\end{array}\right.$$

14. $$\left\{\begin{array} {l} x+4y\geq 8\\y\leq \frac{3}{4}x\end{array}\right.$$

Responder

La solución es la región gris.

15. $$\left\{\begin{array} {l} 2x−5y<10\\3x+4y\geq 12\end{array}\right.$$

16. $$\left\{\begin{array} {l} 3x−2y\leq 6\\−4x−2y>8\end{array}\right.$$

Responder

La solución es la región gris.

17. $$\left\{\begin{array} {l} 2x+2y>−4\\−x+3y\geq 9\end{array}\right.$$

18. $$\left\{\begin{array} {l} 2x+y>−6\\−x+2y\geq −4\end{array}\right.$$

Responder

La solución es la región gris.

19. $$\left\{\begin{array} {l} x−2y<3\\y\leq 1\end{array}\right.$$

20. $$\left\{\begin{array} {l} x−3y>4\\y\leq −1\end{array}\right.$$

Responder

La solución es la región gris.

21. $$\left\{\begin{array} {l} y\geq −\frac{1}{2}x−3\\x\leq 2\end{array}\right.$$

22. $$\left\{\begin{array} {l} y\leq −\frac{2}{3}x+5\\x\geq 3\end{array}\right.$$

Contestar

La solución es la región gris.

23. $$\left\{\begin{array} {l} y\geq \frac{3}{4}x−2\\y<2\end{array}\right.$$

24. $$\left\{\begin{array} {l} y\leq −\frac{1}{2}x+3\\y<1\end{array}\right.$$

Contestar

La solución es la región gris.

25. $$\left\{\begin{array} {l} 3x−4y<8\\x<1\end{array}\right.$$

26. $$\left\{\begin{array} {l} −3x+5y>10\\x>−1\end{array}\right.$$

Contestar

La solución es la región gris.

27. $$\left\{\begin{array} {l} x\geq 3\\y\leq 2\end{array}\right.$$

28. $$\left\{\begin{array} {l} x\leq −1\\y\geq 3\end{array}\right.$$

Contestar

La solución es la región gris.

29. $$\left\{\begin{array} {l} 2x+4y>4 \\ y\leq −\frac{1}{2}x−2\end{array}\right.$$

30. $$\left\{\begin{array} {l} x−3y\geq 6\\y>\frac{1}{3}x+1\end{array}\right.$$

Contestar

Sin solución.

31. $$\left\{\begin{array} {l} −2x+6y<0\\6y>2x+4\end{array}\right.$$

32. $$\left\{\begin{array} {l} −3x+6y>12\\4y\leq 2x−4\end{array}\right.$$

Contestar

Sin solución.

33. $$\left\{\begin{array} {l} y\geq −3x+2\\3x+y>5\end{array}\right.$$

34. $$\left\{\begin{array} {l} y\geq \frac{1}{2}x−1\\−2x+4y\geq 4\end{array}\right.$$

Contestar

La solución es la región gris.

35. $$\left\{\begin{array} {l} y\leq −\frac{1}{4}x−2\\x+4y<6\end{array}\right.$$

36. $$\left\{\begin{array} {l} y\geq 3x−1\\−3x+y>−4\end{array}\right.$$

Contestar

La solución es la región gris.

37. $$\left\{\begin{array} {l} 3y>x+2\\−2x+6y>8\end{array}\right.$$

38. $$\left\{\begin{array} {l} y<\frac{3}{4}x−2\\−3x+4y<7\end{array}\right.$$

Contestar

La solución es la región gris.

Resolver Aplicaciones de Sistemas de Desigualdades

En los siguientes ejercicios, traducir a un sistema de desigualdades y resolver.

39. Caitlyn vende sus dibujos en la feria del condado. Ella quiere vender al menos 60 dibujos y tiene retratos y paisajes. Ella vende los retratos por 15 dólares y los paisajes por $10. Necesita vender al menos 800 dólares en dibujos para obtener ganancias. ⓐ Escribir un sistema de desigualdades para modelar esta situación. ⓑ Grafica el sistema. ⓒ ¿Obtendrá ganancias si vende 20 retratos y 35 paisajes? ⓓ ¿Obtendrá ganancias si vende 50 retratos y 20 paisajes? 40. Jake no quiere gastar más de 50 dólares en bolsas de fertilizante y turba para su jardín. El fertilizante cuesta$2 la bolsa y el musgo de turba cuesta $5 la bolsa. La camioneta de Jake puede contener como máximo 20 bolsas. ⓐ Escribir un sistema de desigualdades para modelar esta situación. ⓑ Grafica el sistema. ⓒ ¿Puede comprar 15 bolsas de fertilizante y 4 bolsas de turba? ⓓ ¿Puede comprar 10 bolsas de fertilizante y 10 bolsas de turba? Contestar $$\left\{\begin{array} {l} f\geq 0 \\ p\geq 0 \\ f+p\leq 202 \\ f+5p\leq 50\end{array}\right.$$ ⓒ si ⓓ no 41. Reiko necesita enviar sus tarjetas y paquetes navideños y quiere mantener sus costos de envío a no más de$500. El número de tarjetas es de al menos 4 más del doble del número de paquetes. El costo de enviar una tarjeta (con fotos encerradas) es de $3 y para un paquete el costo es de$7.

ⓐ Escribir un sistema de desigualdades para modelar esta situación.
ⓑ Grafica el sistema.
ⓒ ¿Puede enviar por correo 60 tarjetas y 26 paquetes?
ⓓ ¿Puede enviar 90 tarjetas y 40 paquetes por correo?

42. Juan está estudiando para sus exámenes finales de química y álgebra. sabe que solo tiene 24 horas para estudiar, y le tomará al menos tres veces más tiempo estudiar para álgebra que para química.

ⓐ Escribir un sistema de desigualdades para modelar esta situación.
ⓑ Grafica el sistema.
ⓒ ¿Puede pasar 4 horas en química y 20 horas en álgebra?
ⓓ ¿Puede pasar 6 horas en química y 18 horas en álgebra?

Contestar

$$\left\{\begin{array} {l} c\geq 0\\a\geq 0\\c+a\leq 24\\a\geq 3c\end{array}\right.$$

ⓒ si
ⓓ no

43. Jocelyn está embarazada y por eso necesita comer al menos 500 calorías más al día de lo habitual. Al comprar comestibles un día con un presupuesto de $15 para la comida extra, compra plátanos que tienen 90 calorías cada uno y barras de granola de chocolate que tienen 150 calorías cada una. Los plátanos cuestan$0.35 cada uno y las barras de granola cuestan $2.50 cada una. ⓐ Escribir un sistema de desigualdades para modelar esta situación. ⓑ Grafica el sistema. ⓒ ¿Podría comprar 5 plátanos y 6 barras de granola? ⓓ ¿Podría comprar 3 plátanos y 4 barras de granola? 44. Mark está intentando construir masa muscular y por lo tanto necesita comer al menos 80 gramos adicionales de proteína al día. Una botella de agua proteica cuesta$3.20 y una barra de proteína cuesta $1.75. El agua proteica suministra 27 gramos de proteína y la barra suministra 16 gramos. Si tiene$10 dólares para gastar

ⓐ Escribir un sistema de desigualdades para modelar esta situación.
ⓑ Grafica el sistema.
ⓒ ¿Podría comprar 3 botellas de agua proteica y 1 barra de proteínas?
ⓓ ¿No podría comprar botellas de agua proteica y 5 barras de proteína?

Contestar

$$\left\{\begin{array} {l} w\geq 0\\b\geq 0\\27w+16b>80\\3.20w+1.75b\leq 10\end{array}\right.$$

ⓒ no
ⓓ si

45. Jocelyn desea aumentar tanto su consumo de proteínas como su ingesta calórica. Ella desea tener al menos 35 gramos más de proteína cada día y no más de 200 calorías adicionales diarias. Una onza de queso cheddar tiene 7 gramos de proteína y 110 calorías. Una onza de queso parmesano tiene 11 gramos de proteína y 22 calorías.

ⓐ Escribir un sistema de desigualdades para modelar esta situación.
ⓑ Grafica el sistema.
ⓒ ¿Podría comer 1 onza de queso cheddar y 3 onzas de queso parmesano?
ⓓ ¿Podría comer 2 onzas de queso cheddar y 1 onza de queso parmesano?

46. Mark está aumentando su rutina de ejercicios al correr y caminar al menos 4 millas cada día. Su objetivo es quemar un mínimo de 1500 calorías de este ejercicio. Caminar quema 270 calorías/milla y correr quema 650 calorías.

ⓐ Escribir un sistema de desigualdades para modelar esta situación.
ⓑ Grafica el sistema.
ⓒ ¿Podría cumplir su objetivo caminando 3 millas y corriendo 1 milla?
ⓓ ¿Podría él su meta caminando 2 millas y corriendo 2 millas

Contestar

$$\left\{\begin{array} {l} w\geq 0\\r\geq 0\\w+r\geq 4\\270w+650r\geq 1500\end{array}\right.$$

ⓒ no
ⓓ si

## Ejercicios de escritura

47. Grafica la desigualdad$$x−y\geq 3$$. ¿Cómo sabes qué lado de la línea$$x−y=3$$ debe estar sombreado?

48. Grafica el sistema$$\left\{\begin{array} {l} x+2y\leq 6 \\ y\geq −\frac{1}{2}x−4\end{array}\right.$$. ¿Qué significa la solución?

Contestar

Las respuestas variarán.

## Autocomprobación

ⓐ Después de completar los ejercicios, usa esta lista de verificación para evaluar tu dominio de los objetivos de esta sección.

ⓑ ¿Qué te dice esta lista de verificación sobre tu dominio de esta sección? ¿Qué pasos tomarás para mejorar?

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