5.3: Propiedades de los Exponentes y Notación Científica

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrás:

• Simplificar expresiones usando las propiedades para exponentes
• Usar la definición de un exponente negativo
• Usar notación científica

Nota

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

1. Simplificar:\((−2)(−2)(−2)\).
   Si te perdiste este problema, revisa [enlace].
2. Simplificar:\(\dfrac{8x}{24y}\).
   Si te perdiste este problema, revisa [enlace].
3. Nombra el decimal\((−2.6)(4.21)\).
   Si te perdiste este problema, revisa [enlace].

Simplificar expresiones usando las propiedades para exponentes

Recuerda que un exponente indica multiplicación repetida de la misma cantidad. Por ejemplo, en la expresión\(a^m\), el exponente nos\(m\) dice cuántas veces usamos la base\(a\) como factor.

\[a^{m}= \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{\color{cyan}{\text{m factors}}} \nonumber\]

Por ejemplo

\[(-9)^{5}= \underbrace{ (-9)\cdot (-9)\cdot (-9)\cdot (-9) \cdot (-9)}_{\color{cyan}{\text{5 factors}}} \nonumber\]

Revisemos el vocabulario para expresiones con exponentes.

Definición: NOTACIÓN EXPONENCIAL

Esto se lee\(a\) al\(m^{th}\) poder.

En la expresión\(a^m\), el exponente nos\(m\) dice cuántas veces usamos la base\(a\) como factor.

Cuando combinamos términos similares sumando y restando, necesitamos tener la misma base con el mismo exponente. Pero cuando multiplicas y divides, los exponentes pueden ser diferentes, y a veces las bases pueden ser diferentes, también.

Primero, veremos un ejemplo que lleva a la Propiedad del Producto.

		\(x^{2} \cdot x^{3}\)
¿Qué significa esto?		\(\underbrace{x \cdot x}_{2 factors} \color{cyan}{\cdot} \underbrace{\color{black}{} x\cdot x \cdot x}_{3 factors}\)
		\(x^{5}\)

Observe que 5 es la suma de los exponentes, 2 y 3. Vemos\(x_2 \cdot x_3\) es\(x^{2+3}\) o\(x^5\).

La base se mantuvo igual y agregamos los exponentes. Esto lleva a la Propiedad del Producto para Exponentes.

DEFINICIÓN: PROPIEDAD PARA EXPONENTES

Si a es un número real\(m\) y y\(n\) son enteros, entonces

\[a^m·a^n=a^{m+n} \nonumber\]

Para multiplicar con bases similares, sumar los exponentes.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Simplifica cada expresión:

1. \(y^5·y^6\)
2. \(2^x·2^{3x}\)
3. \(2a^7·3a\).

Contestar

ⓐ

Utilice la Propiedad del Producto,\(a^m·a^n=a^{m+n}\).
Simplificar.

ⓑ

Utilice la Propiedad del Producto,\(a^m·a^n=a^{m+n}\).
Simplificar.

ⓒ

Reescribir,\(a=a^1\).
Utilizar la Propiedad Conmutativa y utilizar la Propiedad Producto,\(a^m·a^n=a^{m+n}\).
Simplificar.

ⓓ

Sumar los exponentes, ya que las bases son las mismas.
Simplificar.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Simplifica cada expresión:

1. \(b^9·b^8\)
2. \(4^{2x}·4^x\)
3. \(3p^5·4p\)
4. \(x^6·x^4·x^8\).

Contestar

ⓐ\(b^{17}\) ⓑ\(4^{3x}\) ⓒ\(12p^6\)
ⓓ\(x^{18}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Simplifica cada expresión:

1. \(x^{12}·x4\)
2. \(10·10^x\)
3. \(2z·6z^7\)
4. \(b^5·b^9·b^5\).

Contestar a

\(x^{16}\)

Respuesta b

\(10^{x+1}\)

Respuesta c

\(12z^8\)

Respuesta d

\(b^{19}\)

Ahora veremos una propiedad exponente para división. Como antes, intentaremos descubrir una propiedad mirando algunos ejemplos.

Considerar	\(\dfrac{x^5}{x^2}\)	y	\(\dfrac{x^2}{x^3}\)
¿Qué quieren decir?	\(\dfrac{x·x·x·x·x}{x·x}\)		\(\dfrac{x·x}{x·x·x}\)
Utilice la Propiedad Fracciones Equivalentes.	\(\dfrac{\cancel{x}·\cancel{x}·x·x·x}{\cancel{x}·\cancel{x}}\)		\(\dfrac{\cancel{x}·\cancel{x}·1}{\cancel{x}·\cancel{x}·x}\)
Simplificar.	\(x^3\)		\(\dfrac{1}{x}\)

Observe, en cada caso las bases fueron las mismas y restamos exponentes. Vemos\(\dfrac{x^5}{x^2}\) es\(x^{5−2}\) o\(x^3\). Vemos\(\dfrac{x^2}{x^3}\) es o\(\dfrac{1}{x}\). Cuando el exponente mayor estaba en el numerador, nos quedamos con factores en el numerador. Cuando el exponente mayor estaba en el denominador, nos quedamos con factores en el denominador—observe el numerador de 1. Cuando se hayan eliminado todos los factores en el numerador, recuerde que esto realmente es dividir los factores a uno, y así necesitamos un 1 en el numerador. \(\dfrac{\cancel{x}}{\cancel{x}}=1\). Esto lleva a la Propiedad de Cociente para Exponentes.

Definición: PROPIEDAD COCIENTE PARA EXPONENTES

Si\(a\) es un número real\(a \neq 0\),,\(m\) y\(n\) son enteros, entonces

\[ \begin{array} {lllll} {\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n},} &{m>n} &{\text{and}} &{\dfrac{a^m}{a^n}=\dfrac{1}{a^{n−m}},} &{n>m} \\ \nonumber \end{array} \]

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Simplifica cada expresión:

1. \(\dfrac{x^9}{x^7}\)
2. \(\dfrac{3^{10}}{3^2}\)
3. \(\dfrac{b^8}{b^{12}}\)
4. \(\dfrac{7^3}{7^5}\).

Contestar

Para simplificar una expresión con un cociente, primero necesitamos comparar los exponentes en el numerador y denominador.

ⓐ

Ya que\(9>7\), hay más factores de\(x\) en el numerador.
Usar Propiedad Cociente,\(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n}\).
Simplificar.

ⓑ

Ya que\(10>2\), hay más factores de\(3\) en el numerador.
Usar Propiedad Cociente,\(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n}\).
Simplificar.

Observe que cuando el exponente mayor está en el numerador, nos quedan factores en el numerador.

ⓒ

Ya que\(12>8\), hay más factores de bb en el denominador.
Usar Propiedad Cociente,\(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n}\).
Simplificar.

ⓓ

Ya que\(5>3\), hay más factores de\(3\) en el denominador.
Usar Propiedad Cociente,\(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n}\).
Simplificar.
Simplificar.

Observe que cuando el exponente mayor está en el denominador, nos quedan factores en el denominador.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Simplifica cada expresión:

1. \(\dfrac{x^{15}}{x^{10}}\)
2. \(\dfrac{6^{14}}{6^5}\)
3. \(\dfrac{x^{18}}{x^{22}}\)
4. \(\dfrac{12^{15}}{12^{30}}\).

Contestar

ⓐ\(x^5\)

ⓑ\(6^9\)

ⓒ\(\dfrac{1}{x^4}\)
ⓓ\(\dfrac{1}{12^{15}}\)

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Simplifica cada expresión:

1. \(\dfrac{y^{43}}{y^{37}}\)
2. \(\dfrac{10^{15}}{10^{7}}\)
3. \(\dfrac{m^7}{m^{15}}\)
4. \(\dfrac{9^8}{9^{19}}\).

Contestar

ⓐ\(y_6\)

ⓑ\(108\)

ⓒ\(1m8\)
ⓓ\(\dfrac{1}{9^{11}}\)

Un caso especial de la Propiedad Cociente es cuando los exponentes del numerador y denominador son iguales, como una expresión como\(\dfrac{a^m}{a^m}\). Sabemos,\(\dfrac{x}{x}=1\), para cualquier\(x(x\neq 0)\) ya que cualquier número dividido por sí mismo es 1.

La propiedad de cociente para exponentes nos muestra cómo simplificar\(\dfrac{a^m}{a^m}\). cuándo\(m>n\) y cuándo n<mn<m restando exponentes. ¿Y si\(m=n\)? Simplificaremos de dos\(\dfrac{a^m}{a^m}\) maneras para llevarnos a la definición de la Propiedad Cero Exponente. En general, para\(a \neq 0\):

Vemos\(\dfrac{a^m}{a^m}\) simplifica a\(a^0\) y a 1. Entonces\(a^0=1\). Cualquier base distinta de cero elevada a la potencia de cero es igual\(1\).

Definición: PROPIEDAD CERO EXPONENTE

Si\(a\) es un número distinto de cero, entonces\(a^0=1\).

Si\(a\) es un número distinto de cero, entonces\(a\) a la potencia de cero es igual\(1\).

Cualquier número distinto de cero elevado a la potencia cero es\(1\).

En este texto, asumimos que cualquier variable que elevemos a la potencia cero no es cero.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Simplifica cada expresión: ⓐ\(9^0\) ⓑ\(n^0\).

Contestar

La definición dice que cualquier número distinto de cero elevado a la potencia cero es\(1\).

ⓐ Usa la definición del exponente cero. \(9^0 = 1\)

ⓑ Usa la definición del exponente cero. \(n^0 = 1\)

Para simplificar la expresión\(n\) elevada a la potencia cero solo usamos la definición del exponente cero. El resultado es\(1\).

Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

Simplifica cada expresión: ⓐ\(11^0\) ⓑ\(q^0\).

Contestar

ⓐ 1

ⓑ 1

Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

Simplifica cada expresión: ⓐ\(23^0\) ⓑ\(r^0\).

Contestar

ⓐ 1

ⓑ 1

Usar la definición de un exponente negativo

Vimos que la Propiedad de Cociente para Exponentes tiene dos formas dependiendo de si el exponente es mayor en el numerador o en el denominador. ¿Y si simplemente restamos exponentes independientemente de cuál sea mayor?

Consideremos\(\dfrac{x^2}{x^5}\). Restamos el exponente en el denominador del exponente en el numerador. Vemos\(\dfrac{x^2}{x^5}\) es\(x^{2−5}\) o\(x^{−3}\).

También podemos simplificar\(\dfrac{x^2}{x^5}\) dividiendo factores comunes:

Esto implica eso\(x^{−3}=\dfrac{1}{x^3}\) y nos lleva a la definición de exponente negativo. Si n es un número entero y\(a\neq 0\), entonces\(a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}\).

Veamos ahora qué le sucede a una fracción cuyo numerador es uno y cuyo denominador es un entero elevado a un exponente negativo.

\( \begin{array} {ll} {} &{\dfrac{1}{a^{-n}}} \\ {} &{} \\ {\text{Use the definition of a negative exponent, } a^{-n}= \dfrac{1}{a^n}} &{\dfrac{1}{\dfrac{1}{a^n}}} \\ {} &{} \\ {\text{Simplify the complex fraction.}} &{1·\dfrac{a^n}{1}} \\ {} &{} \\ {\text{Multiply.}} &{a^n} \\ \end{array} \)

Esto implica\(\dfrac{1}{a^{−n}}=a^n\) y es otra forma de definición de Propiedades de Exponentes Negativos.

DEFINICIÓN: PROPIEDADES DE EXPON

Si\(n\) es un número entero y\(a\neq 0\), entonces\(a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}\) o\(\dfrac{1}{a^{−n}}=a^n\).

El exponente negativo nos dice que podemos reescribir la expresión tomando el recíproco de la base y luego cambiando el signo del exponente.

Cualquier expresión que tenga exponentes negativos no se considera en la forma más simple. Utilizaremos la definición de un exponente negativo y otras propiedades de exponentes para escribir la expresión solo con exponentes positivos.

Por ejemplo, si después de simplificar una expresión terminamos con la expresión\(x^{−3}\), daremos un paso más y escribiremos\(\dfrac{1}{x^3}\). La respuesta se considera en forma más simple cuando solo tiene exponentes positivos.

Ejemplo\(\PageIndex{10}\)

Simplifica cada expresión: ⓐ\(x^{−5}\) ⓑ\(10^{−3}\) ⓒ\(\dfrac{1}{y^{−4}}\) ⓓ\(13^{−2}\).

Contestar

ⓐ

\(\begin{array} {ll} {} &{x^{−5}} \\ {\text{Use the definition of a negative exponent, } a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}.} &{\dfrac{1}{x^5}} \\ \end{array}\)

ⓑ

\(\begin{array} {ll} {} &{10^{-3}} \\ {\text{Use the definition of a negative exponent, }a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}.} &{\dfrac{1}{10^3}} \\ {\text{Simplify.}} &{\dfrac{1}{1000}} \\ \end{array}\)

ⓒ

\(\begin{array} {ll} {} &{\dfrac{1}{y^{-4}}} \\ {\text{Use the property of a negative exponent, } \dfrac{1}{a^{−n}}=a^n.} &{y^4} \\ \end{array}\)

ⓓ

\(\begin{array} {ll} {} &{\dfrac{1}{3^{-2}}} \\ {\text{Use the property of a negative exponent, } \dfrac{1}{a^{−n}}=a^n.} &{3^2} \\ {\text{Simplify.}} &{9} \\ \end{array}\)

Ejemplo\(\PageIndex{11}\)

Simplifica cada expresión: ⓐ\(z^{−3}\) ⓑ\(10^{−7}\) ⓒ\(\dfrac{1}{p^{−8}}\) ⓓ\(\dfrac{1}{4^{−3}}\).

Contestar

ⓐ\(\dfrac{1}{z^3}\) ⓑ\(\dfrac{1}{10^7}\) ⓒ\(p^8\) ⓓ\(64\)

Ejemplo\(\PageIndex{12}\)

Simplifica cada expresión: ⓐ\(n^{−2}\) ⓑ\(10^{−4}\) ⓒ\(\dfrac{1}{q^{−7}}\) ⓓ\(\dfrac{1}{2^{−4}}\).

Contestar

ⓐ\(\dfrac{1}{n^2}\) ⓑ\(\dfrac{1}{10,000}\) ⓒ\(q^7\)
ⓓ\(16\)

Supongamos ahora que tenemos una fracción elevada a un exponente negativo. Usemos nuestra definición de exponentes negativos para conducirnos a una nueva propiedad.

\(\begin{array} {ll} {} &{\left( \dfrac{3}{4} \right)^{-2}} \\ {} &{} \\ {\text{Use the definition of a negative exponent, } a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}.} &{\dfrac{1}{\left( \dfrac{3}{4} \right)^{2}}} \\ {} &{} \\ {\text{Simplify the denominator.}} &{\dfrac{1}{\dfrac{9}{16}}} \\{} &{} \\ {\text{Simplify the complex fraction.}} &{\dfrac{16}{9}} \\ {} &{} \\ {\text{But we know that }\dfrac{16}{9}\text{ is } \left( \dfrac{4}{3} \right)^{2}.} &{} \\ {\text{This tells us that}} &{\left( \dfrac{3}{4} \right)^{-2} = \left( \dfrac{4}{3} \right)^{2}} \\ \end{array} \)

Para pasar de la fracción original elevada a un exponente negativo al resultado final, tomamos el recíproco de la base —la fracción— y cambiamos el signo del exponente.

Esto nos lleva al Cociente a una Propiedad de Poder Negativo.

Cociente a una propiedad de poder negativo

Si\(a\) y\(b\) son números reales,\(a\neq 0\),\(b\neq 0\) y\(n\) es un número entero, entonces

\[\left(\dfrac{a}{b}\right)^{−n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^n \nonumber \].

Ejemplo\(\PageIndex{13}\)

Simplifica cada expresión: ⓐ\(\left( \dfrac{5}{7} \right)^{−2}\) ⓑ\(\left( −\dfrac{x}{y} \right)^{−3}\).

Contestar

ⓐ

\(\begin{array} {ll} {} &{\left( \dfrac{5}{7}\right)^{-2}} \\ {\text{Use the Quotient to a Negative Exponent Property, } \left(\dfrac{a}{b} \right)^{−n}= \left( \dfrac{b}{a} \right)^n.} &{} \\ {\text{Take the reciprocal of the fraction and change the sign of the exponent.}} &{\left( \dfrac{7}{5}\right)^2} \\ {\text{Simplify.}} &{\dfrac{49}{25}} \\ \end{array} \)

ⓑ

\(\begin{array} {ll} {} &{\left( -\dfrac{x}{y}\right)^{-3}} \\ {\text{Use the Quotient to a Negative Exponent Property, } \left(\dfrac{a}{b} \right)^{−n}= \left( \dfrac{b}{a} \right)^n.} &{} \\ {\text{Take the reciprocal of the fraction and change the sign of the exponent.}} &{\left( -\dfrac{y}{x}\right)^3} \\ {\text{Simplify.}} &{-\dfrac{y^3}{x^3}} \\ \end{array} \)

Ejemplo\(\PageIndex{14}\)

Simplifica cada expresión: ⓐ\(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{−4}\) ⓑ\(\left(−\dfrac{m}{n}\right)^{−2}\).

Contestar

ⓐ\(\dfrac{81}{16}\) ⓑ\(\dfrac{n^2}{m^2}\)

Ejemplo\(\PageIndex{15}\)

Simplifica cada expresión: ⓐ\(\left(\dfrac{3}{5}\right)^{−3}\) ⓑ\(\left(−\dfrac{a}{b}\right)^{−4}\).

Contestar

ⓐ\(\dfrac{125}{27}\) ⓑ\(\dfrac{b^4}{a^4}\)

Ahora que tenemos exponentes negativos, usaremos la Propiedad del Producto con expresiones que tengan exponentes negativos.

Ejemplo\(\PageIndex{16}\)

Simplifica cada expresión: ⓐ\(z^{−5}·z^{−3}\) ⓑ\((m^4n^{−3})(m^{−5}n^{−2})\) ⓒ\((2x^{−6}y^8)(−5x^5y^{−3})\).

Contestar

ⓐ

\(\begin{array} {ll} {} &{z^{−5}·z^{−3}} \\ {\text{Add the exponents, since the bases are the same.}} &{z^{−5−3}} \\ {\text{Simplify.}} &{z^{−8}} \\ {\text{Use the definition of a negative exponent.}} &{\dfrac{1}{z^8}} \\ \end{array} \)

ⓑ

\(\begin{array} {ll} {} &{(m^4n^{−3})(m^{−5}n^{−2})} \\ {\text{Use the Commutative Property to get like}} &{} \\ {\text{bases together.}} &{m^4m^{−5}·n^{−2}n^{−3}} \\ {\text{Add the exponents for each base.}} &{m^{−1}·n^{−5}} \\ {\text{Take reciprocals and change the signs of the exponents.}} &{\dfrac{1}{m^1}·\dfrac{1}{n^5}} \\ {\text{Simplify.}} &{\dfrac{1}{mn^5}} \\ \end{array} \)

ⓒ

\(\begin{array} {ll} {} &{(2x^{−6}y^8)(−5x^5y^{−3})} \\ {\text{Rewrite with the like bases together.}} &{2(−5)·(x^{−6}x^5)·(y^8y^{−3})} \\ {\text{Multiply the coefficients and add the exponents}} &{} \\ {\text{of each variable.}} &{−10·x^{−1}·y5} \\ {\text{Use the definition of a negative exponent,} a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}.} &{−10·\dfrac{1}{x}·y^5} \\ {\text{Simplify.}} &{−10y^5x} \\ \end{array} \)

Ejemplo\(\PageIndex{17}\)

Simplifica cada expresión:

ⓐ\(z^{−4}·z^{−5}\) ⓑ\((p^6q^{−2})(p^{−9}q^{−1})\) ⓒ\((3u^{−5}v^7)(−4u^4v^{−2})\).

Contestar

ⓐ\(\dfrac{1}{z^9}\) ⓑ\(\dfrac{1}{p^3q^3}\) ⓒ\(−\dfrac{12v^5}{u}\)

Ejemplo\(\PageIndex{18}\)

Simplifica cada expresión:

ⓐ\(c^{−8}·c^{−7}\) ⓑ\((r^5s^{−3})(r^{−7}s^{−5})\) ⓒ\((−6c^{−6}d^4)(−5c^{−2}d^{−1})\).

Contestar

ⓐ\(\dfrac{1}{c^15}\) ⓑ\(\dfrac{1}{r^2s^8}\) ⓒ\(\dfrac{30d^3}{c^8}\)

Ahora veamos una expresión exponencial que contiene un poder elevado a un poder. Consulta si puedes descubrir una propiedad general.

\(\begin{array} {ll} {} &{(x^2)^3} \\ {\text{What does this mean?}} &{x^2·x^2·x^2} \\ \end{array} \)

¿Cuántos factores en conjunto?
Así que tenemos

Observe que el 6 es producto de los exponentes, 2 y 3. Vemos que\((x^2)^3\) es\(x^{2·3}\) o\(x^6\).

Multiplicamos los exponentes. Esto lleva a la Propiedad de Poder para Exponentes.

DEFINICIÓN: PROPIEDAD DE POTENCIA PARA

Si\(a\) es un número real\(m\) y y\(n\) son enteros, entonces

\[(a^m)^n=a^{m·n} \nonumber \]

Para elevar una potencia a una potencia, multiplicar los exponentes.

Ejemplo\(\PageIndex{19}\)

Simplifica cada expresión: ⓐ\((y^5)^9\) ⓑ\((4^4)^7\) ⓒ\((y^3)^6(y^5)^4\).

Contestar

ⓐ

Utilice la Propiedad de Poder,\((a^m)^n=a^{m·n}\).
Simplificar.

ⓑ

Utilice la Propiedad Power.
Simplificar.

ⓒ

\(\begin{array} {ll} {} &{(y^3)^6(y^5)^4} \\ {\text{Use the Power Property.}} &{y^{18}·y^{20}} \\ {\text{Add the exponents.}} &{y^{38}} \\ \end{array} \)

Ejemplo\(\PageIndex{20}\)

Simplifica cada expresión: ⓐ\((b^7)^5\) ⓑ\((5^4)^3\) ⓒ\((a^4)^5(a^7)^4\).

Contestar

ⓐ\(b^{35}\) ⓑ\(5^{12}\) ⓒ\(a^{48}\)

Ejemplo\(\PageIndex{21}\)

Simplifica cada expresión: ⓐ\((z^6)^9\) ⓑ\((3^7)^7\) ⓒ\((q^4)^5(q^3)^3\).

Contestar

ⓐ\(z^{54}\) ⓑ\(3^{49}\) ⓒ\(q^{29}\)

Ahora veremos una expresión que contiene un producto que se eleva a una potencia. ¿Puedes encontrar este patrón?

\(\begin{array} {ll} {} &{(2x)^3} \\ {\text{What does this mean?}} &{2x·2x·2x} \\ {\text{We group the like factors together.}} &{2·2·2·x·x·x} \\ {\text{How many factors of 2 and of }}x &{2^3·x^3} \\ \end{array} \)

Observe que cada factor fue elevado al poder y\((2x)^3\) es\(2^3·x^3\).

¡El exponente aplica a cada uno de los factores! Esto lleva al Producto a una Propiedad de Potencia para Exponentes.

DEFINICIÓN: PRODUCTO A UNA PROPIEDAD DE POTENCIA PARA

Si\(a\) y\(b\) son números reales y\(m\) es un número entero, entonces

\[(ab)^m=a^mb^m \nonumber \]

Para elevar un producto a una potencia, elevar cada factor a esa potencia.

Ejemplo\(\PageIndex{22}\)

Simplifica cada expresión: ⓐ\((−3mn)^3\) ⓑ\((−4a^2b)^0\) ⓒ\((6k^3)^{−2}\) ⓓ\((5x^{−3})^2\).

Contestar

ⓐ

Poder de Uso de una Propiedad de Producto,\((ab)^m=a^mb^m\).
Simplificar.

ⓑ

\(\begin{array} {ll} {} &{(−4a^2b)^0} \\ {\text{Use Power of a Product Property, }(ab)^m=a^mb^m.} &{(−4)^0(a^2)^0(b)^0} \\ {\text{Simplify.}} &{1·1·1} \\ {\text{Multiply.}} &{1} \\ \end{array} \)

ⓒ

\(\begin{array} {ll} {} &{(6k^3)^{−2}} \\ {\text{Use Power of a Product Property, }(ab)^m=a^mb^m.} &{(6)^{−2}(k^3)^{−2}} \\ {\text{Use the Power Property, }(a^m)^n=a^{m·n}.} &{6^{−2}k^{−6}} \\ {\text{Use the Definition of a negative exponent, }a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}.} &{\dfrac{1}{6^2}·\dfrac{1}{k^6}} \\ {\text{Simplify.}} &{\dfrac{1}{36k^6}} \\ \end{array} \)

ⓓ

\(\begin{array} {ll} {} &{(5x^{−3})^2} \\ {\text{Use Power of a Product Property, }(ab)^m=a^mb^m.} &{5^2(x^{−3})^2} \\ {\text{Simplify.}} &{25·x^{−6}} \\ {\text{Rewrite }x−6 \text{using, }a^{−n}=\text{1}{a^n}.} &{25·\dfrac{1}{x^6}} \\ {\text{Simplify.}} &{\dfrac{25}{x^6}} \\ \end{array} \)

Ejemplo\(\PageIndex{23}\)

Simplifica cada expresión: ⓐ\((2wx)^5\) ⓑ\((−11pq3)^0\) ⓒ\((2b^3)^{−4}\) ⓓ\((8a^{−4})^2\).

Contestar

ⓐ\(32w^5x^5\) ⓑ 1 ⓒ\(\dfrac{1}{16b^{12}}\)
ⓓ\(\dfrac{64}{a^8}\)

Ejemplo\(\PageIndex{24}\)

Simplifica cada expresión: ⓐ\((−3y)^3\) ⓑ\((−8m^2n^3)^0\) ⓒ\((−4x^4)^{−2}\) ⓓ\((2c^{−4})^3\).

Contestar

ⓐ\(−27y^3\) ⓑ 1 ⓒ\(\dfrac{1}{16x^8}\)
ⓓ\(8c^{12}\)

Ahora veremos un ejemplo que nos llevará al Cociente a una Propiedad de Poder.

\( \begin{array} {ll} {} &{\left( \dfrac{x}{y}\right)^3} \\ {\text{This means}} &{\dfrac{x}{y}·\dfrac{x}{y}·\dfrac{x}{y}} \\ {\text{Multiply the fractions.}} &{\dfrac{x·x·x}{y·y·y}} \\ {\text{Write with exponents.}} &{\dfrac{x^3}{y^3}} \\ \end{array} \)

Observe que el exponente aplica tanto al numerador como al denominador.

Vemos que\(\left(\dfrac{x}{y}\right)^3\) es\(\dfrac{x^3}{y^3}\).

Esto lleva al Cociente a una Propiedad de Poder para los Exponentes.

DEFINICIÓN: COCIENTE A UNA PROPIEDAD PODER PARA EXPONENTES

Si\(a\) y\(b\) son números reales,\(b\neq 0\), y\(m\) es un número entero, entonces

\[\left(\dfrac{a}{b}\right)^m=\dfrac{a^m}{b^m} \nonumber \]

Para elevar una fracción a una potencia, elevar el numerador y denominador a ese poder.

Ejemplo\(\PageIndex{25}\)

Simplifica cada expresión:

ⓐ\(\left(\dfrac{b}{3}\right)^4\) ⓑ\(\left(\dfrac{k}{j}\right)^{−3}\) ⓒ\(\left(\dfrac{2xy^2}{z}\right)^3\) ⓓ\(\left(\dfrac{4p^{−3}}{q^2}\right)^2\).

Contestar

ⓐ

Usar Cociente a una Propiedad de Potencia,\((ab)^m=a^mb^m\).
Simplificar.

ⓑ

Elevar el numerador y el denominador a la potencia.
Usa la definición de exponente negativo.
Multiplicar.

ⓒ

\(\begin{array} {ll} {} &{\left(\dfrac{2xy^2}{z}\right)^3} \\ {\text{Use Quotient to a Power Property, }\left(\dfrac{a}{b}\right)^m=\dfrac{a^m}{b^m}.} &{\dfrac{(2xy^2)^3}{z^3}} \\ {\text{Use the Product to a Power Property, }(ab)^m=a^mb^m.} &{\dfrac{8x^3y^6}{z^3}} \\ \end{array} \)

ⓓ

\(\begin{array} {ll} {} &{\left(\dfrac{4p^{−3}}{q^2}\right)^2} \\ {\text{Use Quotient to a Power Property, }\left(\dfrac{a}{b}\right)^m=\dfrac{a^m}{b^m}.} &{\dfrac{(4p^{−3})^2}{(q^2)^2}} \\ {\text{Use the Product to a Power Property, }(ab)^m=a^mb^m.} &{\dfrac{4^2(p^{−3})^2}{(q^2)^2}} \\ {\text{Simplify using the Power Property, }(a^m)^n=a^{m·n}.} &{\dfrac{16p^{−6}}{q^4}} \\ {\text{Use the definition of negative exponent.}} &{\dfrac{16}{q^4}·\dfrac{1}{p^6}} \\ {\text{Simplify.}} &{\dfrac{16}{p^6q^4}} \\ \end{array} \)

Ejemplo\(\PageIndex{26}\)

Simplifica cada expresión:

ⓐ\(\left(\dfrac{p}{10}\right)^4\) ⓑ\(\left(\dfrac{m}{n}\right)^{−7}\) ⓒ\(\left(\dfrac{3ab^3}{c^2}\right)^4\) ⓓ\(\left(\dfrac{3x^{−2}}{y^3}\right)^3\).

Contestar

ⓐ\(\dfrac{p^4}{10000}\) ⓑ\(\dfrac{n^7}{m^7}\)
ⓒ\(\dfrac{81a^4b^{12}}{c^8}\) ⓓ\(\dfrac{27}{x^6y^9}\)

Ejemplo\(\PageIndex{27}\)

Simplifica cada expresión:

ⓐ\(\left(\dfrac{−2}{q}\right)^3\) ⓑ\(\left(\dfrac{w}{x}\right)^{−4}\) ⓒ\(\left(\dfrac{xy^3}{3z^2}\right)^2\) ⓓ\(\left(\dfrac{2m^{−2}}{n^{−2}}\right)^3\).

Contestar

ⓐ\(\dfrac{−8}{q^3}\) ⓑ\(\dfrac{x^4}{w^4}\) ⓒ\(\dfrac{x^2y^6}{9z^4}\)
ⓓ\( \dfrac{8n^6}{m^6}\)

Ahora tenemos varias propiedades para exponentes. Vamos a resumirlos y luego haremos algunos ejemplos más que usan más de una de las propiedades.

DEFINICIÓN: RESUMEN DE PROPIED

Si\(a\) y\(b\) son números reales, y\(m\) y\(n\) son números enteros, entonces

Propiedad	Descripción
Propiedad del producto	\(a^m·a^n=a^{m+n}\)
Propiedad de energía	\((a^m)^n=a^{m·n}\)
Producto a una potencia	\((ab)^n=a^nb^n\)
Propiedad del cociente	\(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n},a\neq 0\)
Propiedad de exponente cero	\(a^0=1,a \neq 0\)
Cociente a una propiedad de energía	\(\left(\dfrac{a}{b}\right)^m=\dfrac{a^m}{b^m},b \neq 0 \)
Propiedades de los Exponentes Negativos	\(a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}\)y\(\dfrac{1}{a^{−n}}=a^n\)
Cociente a un exponente negativo	\(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{−n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^n\)

Ejemplo\(\PageIndex{28}\)

Simplifique cada expresión aplicando varias propiedades:

ⓐ\((3x^2y)^4(2xy^2)^3\) ⓑ\(\dfrac{(x^3)^4(x^{−2})^5}{(x^6)^5}\) ⓒ\(\left(\dfrac{2xy^2}{x^3y^{−2}}\right)^2 \left(\dfrac{12xy^3}{x^3y^{−1}}\right)^{−1}\).

Contestar

ⓐ

\(\begin{array} {ll} {} &{(3x^2y)^4(2xy^2)^3} \\ {} &{} \\ {\text{Use the Product to a Power Property, }(ab)^m=a^mb^m.} &{(3^4x^8y^4)(2^3x^3y^6)} \\ {} &{} \\ {\text{Simplify.}} &{(81x^8y^4)(8x^3y^6)} \\ {} &{} \\ {\text{Use the Commutative Property.}} &{81·8·x^8·x^3·y^4·y^6} \\ {} &{} \\ {\text{Multiply the constants and add the exponents.}} &{648x^{11}y^{10}} \\ \end{array} \)

ⓑ

\( \begin{array} {ll} {} &{\dfrac{(x^3)^4(x^{−2})^5}{(x^6)^5}} \\ {\text{Use the Power Property, }(a^m)^n=a^{m·n}.} &{(x^{12})(x^{−10})(x^{30})} \\ {\text{Add the exponents in the numerator.}} &{\dfrac{x^2}{x^{30}}} \\ {\text{Use the Quotient Property, }\dfrac{a^m}{a^n}=\dfrac{1}{a^{n−m}}.} &{\dfrac{1}{x^{28}}} \\ \end{array} \)

ⓒ

\( \begin{array} {ll} {} &{\left(\dfrac{2xy^2}{x^3y^{−2}}\right)^2 \left(\dfrac{12xy^3}{x^3y^{−1}}\right)^{−1}} \\ {\text{Simplify inside the parentheses first.}} &{\left(\dfrac{2y^4}{x^2}\right)^2\left(\dfrac{12y^4}{x^2}\right)^{−1}} \\ {\text{Use the Quotient to a Power Property, }\left(\dfrac{a}{b}\right)^m=\dfrac{a^m}{b^m}.} &{\dfrac{(2y^4)^2}{(x^2)^2}\dfrac{(12y^4)^{−1}}{(x^2)^{−1}}} \\ {\text{Use the Product to a Power Property, }(ab)^m=a^mb^m.} &{\dfrac{4y^8}{x^4}·\dfrac{12^{−1}y^{−4}}{x^{−2}}} \\ {\text{Simplify.}} &{\dfrac{4y^4}{12x^2}} \\ {\text{Simplify.}} &{\dfrac{y^4}{3x^2}} \\ \end{array} \)

Ejemplo\(\PageIndex{29}\)

Simplifica cada expresión:

ⓐ\((c^4d^2)^5(3cd^5)^4\) ⓑ\(\dfrac{(a^{−2})^3(a^2)^4}{(a^4)^5}\) ⓒ\(\left(\dfrac{3xy^2}{x^2y^{−3}}\right)^2\)

Contestar

ⓐ\(81c^{24}d^{30}\) ⓑ\(\dfrac{1}{a^{18}}\)
ⓒ\(\dfrac{9y^{10}}{x^2}\)

Ejemplo\(\PageIndex{30}\)

Simplifica cada expresión:

ⓐ\((a^3b^2)^6(4ab^3)^4\) ⓑ\(\dfrac{(p^{−3})^4(p^5)^3}{(p^7)^6}\) ⓒ\(\left(\dfrac{4x^3y^2}{x^2y^{−1}}\right)^2\left(\dfrac{8xy^{−3}}{x^2y}\right)^{−1}\).

Contestar

ⓐ\(256a^{22}b^{24}\) ⓑ\(\dfrac{1}{p^{39}}\)
ⓒ\(2x^3y^{10}\)

Usar notación científica

Trabajar con números muy grandes o muy pequeños puede ser incómodo. Dado que nuestro sistema de números es base diez podemos usar potencias de diez para reescribir números muy grandes o muy pequeños para que sea más fácil trabajar con ellos. Considera los números 4,000 y 0.004.

Usando el valor posicional, podemos reescribir los números 4,000 y 0.004. Sabemos que 4,000 medias\(4\times1,000\) y 0.004 medias\(4\times\dfrac{1}{1,000}\).

Si escribimos el 1,000 como una potencia de diez en forma exponencial, podemos reescribir estos números de esta manera:

4,000	\(4\times1,000\)	\(4\times103\)
0.004	\(4\times\dfrac{1}{1,000}\)	\(4\times\dfrac{1}{103}\)	\(4\times10^{−3}\)

Cuando un número se escribe como producto de dos números, donde el primer factor es un número mayor o igual a uno pero menor a diez, y el segundo factor es una potencia de 10 escrita en forma exponencial, se dice que está en notación científica.

Definición: Notación científica

Un número se expresa en notación científica cuando es de la forma

\[\begin{array} {llllllllllll} {a} &{\times} &{10^n} &{\text{where}} &{1} &{\leq} &{a} &{<} &{10} &{\text{and}} &{n} &{\text{is an integer.}} \\ \nonumber \end{array}\]

Es habitual en la notación científica utilizar como signo de\(\times\) multiplicación, aunque evitemos usar este signo en otra parte del álgebra.

Si miramos lo que pasó con el punto decimal, podemos ver un método para convertir fácilmente de la notación decimal a la notación científica.

En ambos casos, el decimal se movió 3 lugares para obtener el primer factor entre 1 y 10.

La potencia de 10 es positiva cuando el número es mayor que\(1: 4,000=4\times10^3\)

La potencia de 10 es negativa cuando el número está entre 0 y 1:\(0.004=4\times10^{−3}\)

DEFINICIÓN: CONVERTIR UN DECIMAL A

1. Mueva el punto decimal para que el primer factor sea mayor o igual a 1 pero menor que 10.
2. Contar el número de decimales,\(n\), que se movió el punto decimal.
3. Escribe el número como un producto con una potencia de 10. Si el número original es.
   • mayor que 1, el poder de 10 será\(10^n\).
   • entre 0 y 1, la potencia de 10 será\(10^{−n}\).
4. Cheque.

Ejemplo\(\PageIndex{31}\)

Escribir en notación científica: ⓐ\(37,000\) ⓑ\(0.0052\).

Contestar

ⓐ

El número original, 37,000, es mayor que 1 por lo que tendremos una potencia positiva de 10.	37,000
Mueve el punto decimal para obtener 3.7, un número entre 1 y 10.
Contar el número de decimales que se movió el punto.
Escribir como un producto con una potencia de 10.
\(\begin{array} {ll} {} &{3.7\times 10^4 } \\ {\text{Check:}} &{3.7 \times 10,000 } \\ {} &{37,000} \\ \end{array} \)

ⓑ

El número original, 0.0052, está entre 0 y 1 por lo que tendremos una potencia negativa de 10.	0.0052
Mueve el punto decimal para obtener 5.2, un número entre 1 y 10.
Contar el número de decimales que se movió el punto.
Escribir como un producto con una potencia de 10.
\(\begin{array} {ll} {\text{Check:}} &{5.2\times10^{−3}} \\ {} &{5.2\times\dfrac{1}{10^3}} \\ {} &{5.2\times\dfrac{1}{1000}} \\ {} &{5.2\times 0.001} \\ {} &{0.0052} \\ \end{array} \)

Ejemplo\(\PageIndex{32}\)

Escribir en notación científica: ⓐ 96,000 ⓑ 0.0078.

Contestar

ⓐ\(9.6\times 10^4\) ⓑ\(7.8\times 10^{−3}\)

Ejemplo\(\PageIndex{33}\)

Escribe en notación científica: ⓐ 48,300 ⓑ 0.0129.

Contestar

ⓐ\(4.83\times10^4\)
ⓑ\(1.29\times10^{−2}\)

¿Cómo podemos convertir de notación científica a forma decimal? Veamos dos números escritos en notación científica y veamos.

\[\begin{array} {lll} {9.12\times10^4} &{} &{9.12\times10^{−4}} \\ {9.12\times10,000} &{} &{9.12\times0.0001} \\ {91,200} &{} &{0.000912} \\ \nonumber \end{array} \]

Si miramos la ubicación del punto decimal, podemos ver un método fácil para convertir un número de notación científica a forma decimal.

En ambos casos el punto decimal se movió 4 lugares. Cuando el exponente era positivo, el decimal se movía hacia la derecha. Cuando el exponente era negativo, el punto decimal se movía hacia la izquierda.

DEFINICIÓN: CONVERTIR LA NOTACIÓN CI

1. Determinar el exponente,\(n\), sobre el factor 10.
2. Mueva los\(n\) decimales, agregando ceros si es necesario.
   • Si el exponente es positivo, mueva los\(n\) lugares decimales hacia la derecha.
   • Si el exponente es negativo, mueva los\(|n|\) lugares decimales hacia la izquierda.
3. Cheque.

Ejemplo\(\PageIndex{34}\)

Convertir a forma decimal: ⓐ\(6.2\times10^3\) ⓑ\(−8.9\times 10^{−2}\).

Contestar

ⓐ

Determinar el exponente,\(n\), sobre el factor 10.
	El exponente es 3.
Dado que el exponente es positivo, mueva el punto decimal 3 lugares hacia la derecha.
Agregue ceros según sea necesario para los marcadores de posición.

ⓑ

Determinar el exponente,\(n\), sobre el factor 10.	El exponente es −2.−2.
Dado que el exponente es negativo, mueva el punto decimal 2 lugares hacia la izquierda.
Agregue ceros según sea necesario para los marcadores de posición.

Ejemplo\(\PageIndex{35}\)

Convertir a forma decimal: ⓐ\(1.3\times 10^3\) ⓑ\(−1.2\times 10^{−4}\).

Contestar

ⓐ 1,300 ⓑ\(−0.00012\)

Ejemplo\(\PageIndex{36}\)

Convertir a forma decimal: ⓐ\(−9.5\times 10^4\) ⓑ\(7.5\times 10^{−2}\).

Contestar

ⓐ\(−950,000\) ⓑ 0.075

Cuando los científicos realizan cálculos con números muy grandes o muy pequeños, utilizan notación científica. La notación científica proporciona una forma para que los cálculos se hagan sin escribir muchos ceros. Veremos cómo se utilizan las Propiedades de los Exponentes para multiplicar y dividir números en notación científica.

Ejemplo\(\PageIndex{37}\)

Multiplicar o dividir como se indica. Escribir respuestas en forma decimal: ⓐ\((−4\times10^5)(2\times10^{−7})\) ⓑ\(\dfrac{9\times10^3}{3\times10^{−2}}\).

Contestar

ⓐ

\(\begin{array} {ll} {} &{(−4\times10^5)(2\times10^{−7})} \\ {\text{Use the Commutative Property to rearrange the factors.}} &{−4·2·10^5·10^{−7}} \\ {\text{Multiply.}} &{−8\times10^{−2}} \\ {} &{} \\ {\text{Change to decimal form by moving the decimal two}} &{} \\ {\text{places left.}} &{−0.08} \\ \end{array}\)

ⓑ

\(\begin{array} {ll} {} &{\dfrac{9\times10^3}{9\times10^{−2}}} \\ {\text{Separate the factors, rewriting as the product of two}} &{} \\ {\text{fractions.}} &{\dfrac{9}{3}\times\dfrac{10^3}{10^{−2}}} \\ {\text{Divide.}} &{3\times10^5} \\ {\text{Change to decimal form by moving the decimal five}} &{} \\ {\text{places right.}} &{300,000} \\ \end{array}\)

Ejemplo\(\PageIndex{38}\)

Multiplicar o dividir como se indica. Escribe las respuestas en forma decimal:

ⓐ\((−3\times10^5)(2\times10^{−8})\) ⓑ\(\dfrac{8\times10^2}{4\times10^{−2}}\).

Contestar

ⓐ\(−0.006\) ⓑ 20,000

Ejemplo\(\PageIndex{39}\)

Multiplicar o dividir como se indica. Escribe las respuestas en forma decimal:

ⓐ\((−3\times10^{−2})(3\times10^{−1})\) ⓑ\(\dfrac{8\times10^4}{2\times10^{−1}}\).

Contestar

ⓐ\(−0.009\) ⓑ 400,000

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica con el uso de propiedades de multiplicación de exponentes.

• Propiedades de los Exponentes
• Exponentes negativos
• Notación científica

Conceptos clave

• Notación exponencial
  
  Esto se lee\(a\) al\(m^{th}\) poder.
  En la expresión\(a^m\), el exponente nos\(m\) dice cuántas veces usamos la base\(a\) como factor.
• Propiedad del producto para exponentes
  Si\(a\) es un número real\(m\) y y\(n\) son enteros, entonces

  \[a^m·a^n=a^{m+n} \nonumber \]

  
  Para multiplicar con bases similares, sumar los exponentes.
• Propiedad de cociente para exponentes
  Si\(a\) es un número real\(a\neq 0\),,\(m\) y y\(n\) son enteros, entonces

  \[\begin{array} {lllll} {\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n},} &{m>n} &{\text{and}} &{\dfrac{a^m}{a^n}=\dfrac{1}{a^{n−m}},} &{n>m}\\ \nonumber \end{array}\]

• Cero exponente
  • Si\(a\) es un número distinto de cero, entonces\(a^0=1\).
  • Si\(a\) es un número distinto de cero, entonces\(a\) a la potencia de cero es igual\(1\).
  • Cualquier número distinto de cero elevado a la potencia cero es\(1\).
• Exponente Negativo
  • Si\(n\) es un número entero y\(a\neq 0\), entonces\(a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}\) o\(\dfrac{1}{a^{−n}}=a^n\).
• Cociente a una propiedad de exponente negativo
  Si\(a\) y\(b\) son números reales,\(a\neq 0\),\(b\neq 0\) y\(n\) es un número entero, entonces

  \[(ab)^{−n}=(ba)^n\nonumber \]

• Propiedad de potencia para exponentes
  Si\(a\) es un número real\(m\) y y\(n\) son enteros, entonces

  \[(a^m)^n=a^{m·n}\nonumber \]

  
  Para elevar una potencia a una potencia, multiplicar los exponentes.
• Producto a una propiedad de potencia para exponentes
  Si\(a\) y\(b\) son números reales y\(m\) es un número entero, entonces

  \[(ab)^m=a^mb^m \nonumber \]

  
  Para elevar un producto a una potencia, elevar cada factor a esa potencia.
• Cociente a una propiedad de potencia para exponentes
  Si\(a\) y\(b\) son números reales,\(b\neq0\), y\(m\) es un número entero, entonces

  \[\left(\dfrac{a}{b}\right)^m=\dfrac{a^m}{b^m} \nonumber \]

  
  Para elevar una fracción a una potencia, elevar el numerador y denominador a ese poder.
• Resumen de Propiedades de Exponente
  Si\(a\) y\(b\) son números reales,\(m\) y y\(n\) son números enteros, entonces

  Propiedad	Descripción
  Propiedad del producto	\(a^m·a^n=a^{m+n}\)
  Propiedad de energía	\((a^m)^n=a^{m·n}\)
  Producto a una potencia	\((ab)^n=a^nb^n\)
  Propiedad del cociente	\(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n}, a\neq 0\)
  Propiedad de exponente cero	\(a^0=1,a\neq 0\)
  Cociente a una Propiedad de Potencia:	\(\left(\dfrac{a}{b}\right)^m=\dfrac{a^m}{b^m}, b\neq 0\)
  Propiedades de los Exponentes Negativos	\(a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}\)y\(\dfrac{1}{a^{−n}}=a^n\)
  Cociente a un exponente negativo	\(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{−n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^n\)

• Notación científica
  Un número se expresa en notación científica cuando es de la forma

  \[a\space\times\space10^n \text{ where }1\leq a<10\text{ and } n \text{ is an integer.} \nonumber \]

• Cómo convertir un decimal a notación científica.
  1. Mueva el punto decimal para que el primer factor sea mayor o igual a 1 pero menor que 10.
  2. Contar el número de decimales,\(n\), que se movió el punto decimal.
  3. Escribe el número como un producto con una potencia de 10. Si el número original es.
     • mayor que 1, el poder de 10 será\(10^n\).
     • entre 0 y 1, la potencia de 10 será\(10^{−n}\).
  4. Cheque.
• Cómo convertir la notación científica a forma decimal.
  1. Determinar el exponente,\(n\), sobre el factor 10.
  2. Mueva los\(n\) decimales, agregando ceros si es necesario.
     • Si el exponente es positivo, mueva los\(n\) lugares decimales hacia la derecha.
     • Si el exponente es negativo, mueva los\(|n|\) lugares decimales hacia la izquierda.
  3. Cheque.

Glosario

Propiedad del producto

De acuerdo con la Propiedad del Producto,\(a\) a los\(m\) tiempos\(a\) a los\(a\) iguales\(a\) al\(m\) plus\(n\).

Propiedad Power

De acuerdo con la Propiedad del Poder,\(a\)\(m\) a los\(n\) iguales\(a\) a los\(m\) tiempos\(n\).

Producto a una potencia

De acuerdo con el Producto a una Propiedad de Poder,\(a\) tiempos\(b\) entre paréntesis a los\(m\) iguales\(a\) a los\(m\) tiempos\(b\) a los\(m\).

Propiedad del cociente

De acuerdo con la Propiedad Cociente,\(a\) a la\(m\) dividida por\(a\) a los\(n\) iguales\(a\) a la\(m\) menos\(n\) siempre y cuando no\(a\) sea cero.

Propiedad de exponente cero

De acuerdo con la Propiedad Cero Exponente,\(a\) al cero\(a\) es\(1\) siempre y cuando no sea cero.

Cociente a una propiedad de energía

De acuerdo con el Cociente a una Propiedad de Poder,\(a\) dividido por\(b\) entre paréntesis a la potencia de\(m\) es igual\(a\) a\(m\) lo\(m\) dividido por\(b\) a la siempre y cuando no\(b\) sea cero.

Propiedades de los Exponentes Negativos

De acuerdo con las Propiedades de los Exponentes Negativos,\(a\) a los\(n\) iguales negativos\(1\) divididos por\(a\) a los\(n\) y\(1\) divididos por\(a\) a los negativos\(n\) iguales\(a\) a los\(n\).

Cociente a un exponente negativo

Elevar un cociente a un exponente negativo ocurre cuando se\(a\)\(b\) divide entre paréntesis al poder de\(n\) iguales negativos\(b\) dividido\(a\) entre paréntesis al poder de\(n\).