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5.5E: Ejercicios

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    La práctica hace la perfección

    Dividir monomios

    En los siguientes ejercicios, dividir los monomios.

    1. \(15r^4s^9÷(15r^4s^9)\)

    2. \(20m^8n^4÷(30m^5n^9)\)

    Contestar

    \(\dfrac{2m^3}{3n^5}\)

    3. \(\dfrac{18a^4b^8}{−27a^9b^5}\)

    4. \(\dfrac{45x^5y^9}{−60x^8y^6}\)

    Contestar

    \(\dfrac{−3y^3}{4x^3}\)

    5. \(\dfrac{(10m^5n^4)(5m^3n^6)}{25m^7n^5}\)

    6. \(\dfrac{(−18p^4q^7)(−6p^3q^8)}{−36p^{12}q^{10}}\)

    Contestar

    \(\dfrac{−3q^5}{p^5}\)

    7. \(\dfrac{(6a^4b^3)(4ab^5)}{(12a^2b)(a^3b)}\)

    8. \(\dfrac{(4u^2v^5)(15u^3v)}{(12u^3v)(u^4v)}\)

    Contestar

    \(\dfrac{5v^4}{u^2}\)

    Dividir un polinomio por un monomio

    En los siguientes ejercicios, divide cada polinomio por el monomio.

    9. \((9n^4+6n^3)÷3n\)

    10. \((8x^3+6x^2)÷2x\)

    Contestar

    \(4x^2+3x\)

    11. \((63m^4−42m^3)÷(−7m^2)\)

    12. \((48y^4−24y^3)÷(−8y^2)\)

    Contestar

    \(−6y^2+3y\)

    13. \(\dfrac{66x^3y^2−110x^2y^3−44x^4y^3}{11x^2y^2}\)

    14. \(\dfrac{72r^5s^2+132r^4s^3−96r^3s^5}{12r^2s^2}\)

    Contestar

    \(6r^3+11r^2s−8rs^3\)

    15. \(10x^2+5x−4−5x\)

    16. \(20y^2+12y−1−4y\)

    Contestar

    \(−5y−3+\dfrac{1}{4y}\)

    Dividir polinomios usando división larga

    En los siguientes ejercicios, divide cada polinomio por el binomio.

    17. \((y^2+7y+12)÷(y+3)\)

    18. \((a^2−2a−35)÷(a+5)\)

    Contestar

    \(a−7\)

    19. \((6m^2−19m−20)÷(m−4)\)

    20. \((4x^2−17x−15)÷(x−5)\)

    Contestar

    \(4x+3\)

    21. \((q^2+2q+20)÷(q+6)\)

    22. \((p^2+11p+16)÷(p+8)\)

    Contestar

    \(p+3−\dfrac{8}{p+8}\)

    23. \((3b^3+b^2+4)÷(b+1)\)

    24. \((2n^3−10n+28)÷(n+3)\)

    Contestar

    \(\dfrac{2n^2−6n+8+4}{n+3}\)

    25. \((z^3+1)÷(z+1)\)

    26. \((m^3+1000)÷(m+10)\)

    Contestar

    \(m^2−10m+100\)

    27. \((64x^3−27)÷(4x−3)\)

    28. \((125y^3−64)÷(5y−4)\)

    Contestar

    \(25y^2+20x+16\)

    Dividir polinomios usando división sintética

    En los siguientes ejercicios, usa División sintética para encontrar el cociente y el resto.

    29. \(x^3−6x^2+5x+14\)se divide por\(x+1\)

    30. \(x^3−3x^2−4x+12\)se divide por\(x+2\)

    Contestar

    \(x^2−5x+6; \space 0\)

    31. \(2x^3−11x^2+11x+12\)se divide por\(x−3\)

    32. \(2x^3−11x^2+16x−12\)se divide por\(x−4\)

    Contestar

    \(2x^2−3x+4; \space 4\)

    33. \(x^4-5x^2+2+13x+3\)se divide por\(x+3\)

    34. \(x^4+x^2+6x−10\)se divide por\(x+2\)

    Contestar

    \(x^3−2x^2+5x−4; \space −2\)

    35. \(2x^4−9x^3+5x^2−3x−6\)se divide por\(x−4\)

    36. \(3x^4−11x^3+2x^2+10x+6\)se divide por\(x−3\)

    Contestar

    \(3x^3−2x^2−4x−2;\space 0\)

    Dividir funciones polinomiales

    En los siguientes ejercicios, divide.

    37. Para funciones\(f(x)=x^2−13x+36\) y\(g(x)=x−4\), encuentra ⓐ\(\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)\)\(\left(\dfrac{f}{g}\right)(−1)\)

    38. Para funciones\(f(x)=x^2−15x+54\) y\(g(x)=x−9\), encuentra ⓐ\(\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)\)\(\left(\dfrac{f}{g}\right)(−5)\)

    Contestar

    \(\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=x−6\)
    \(\left(\dfrac{f}{g}\right)(−5)=−11\)

    39. Para funciones\(f(x)=x^3+x^2−7x+2\) y\(g(x)=x−2\), encuentra ⓐ\(\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)\)\(\left(\dfrac{f}{g}\right)(2)\)

    40. Para funciones\(f(x)=x^3+2x^2−19x+12\) y\(g(x)=x−3\), encuentra ⓐ\(\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)\)\(\left(\dfrac{f}{g}\right)(0)\)

    Contestar

    \(\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=x^2+5x−4\)
    \(\left(\dfrac{f}{g}\right)(0)=−4\)

    41. Para funciones\(f(x)=x^2−5x+2\) y\(g(x)=x^2−3x−1\), encuentra ⓐ\((f·g)(x)\)\((f·g)(−1)\)

    42. Para funciones\(f(x)=x^2+4x−3\) y\(g(x)=x^2+2x+4\), encuentra ⓐ\((f·g)(x)\)\((f·g)(1)\)

    Responder

    \((f·g)(x)=x^4+6x^3+9x^2+10x−12\); ⓑ\((f·g)(1)=14\)

    Usar el teorema del resto y del factor

    En los siguientes ejercicios, usa el Teorema del Resto para encontrar el resto.

    43. \(f(x)=x^3−8x+7\)se divide por\(x+3\)

    44. \(f(x)=x^3−4x−9\)se divide por\(x+2\)

    Responder

    \(−9\)

    45. \(f(x)=2x^3−6x−24\)dividido por\(x−3\)

    46. \(f(x)=7x^2−5x−8\)dividido por\(x−1\)

    Responder

    \(−6\)

    En los siguientes ejercicios, utilice el Teorema de Factores para determinar si x−cx−c es un factor de la función polinómica.

    47. Determinar si\(x+3\) un factor de\(x^3+8x^2+21x+18\)

    48. Determinar si\(x+4\) un factor de\(x^3+x^2−14x+8\)

    Responder

    no

    49. Determinar si\(x−2\) un factor de\(x^3−7x^2+7x−6\)

    50. Determinar si\(x−3\) un factor de\(x^3−7x^2+11x+3\)

    Responder

    si

    Ejercicios de escritura

    51. James divide\(48y+6\) de\(6\) esta manera:\(\dfrac{48y+6}{6}=48y\). ¿Qué tiene de malo su razonamiento?

    52. Divide\(\dfrac{10x^2+x−12}{2x}\) y explica con palabras cómo obtienes cada término del cociente.

    Responder

    La respuesta variará

    53. Explica cuándo puedes usar división sintética.

    54. En sus propias palabras, escriba los pasos para la división sintética para\(x^2+5x+6\) dividido por\(x−2\).

    Responder

    Las respuestas variarán.

    Autocomprobación

    a. después de completar los ejercicios, utiliza esta lista de verificación para evaluar tu dominio de los objetivos de esta sección

    La figura muestra una tabla con siete filas y cuatro columnas. La primera fila es una fila de encabezado y etiqueta cada columna. El encabezado de la primera columna es “puedo...”, el segundo es “con confianza”, el tercero es “con algo de ayuda”, “¡no menos no lo consigo!”. Debajo de la primera columna se encuentran las frases “dividir monomios”, “dividir un polinomio usando un monomio”, “dividir polinomios usando división larga”, “dividir polinomios usando división sintética”, “dividir funciones polinómicas” y “usar el Teorema de Resto y Factor”. Debajo de la segunda, tercera, cuarta columnas son espacios en blanco donde el alumno puede verificar qué nivel de dominio ha logrado.

    b. En una escala del 1 al 10, ¿cómo calificaría su dominio de esta sección a la luz de sus respuestas en la lista de verificación? ¿Cómo se puede mejorar esto?


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