7.2E: Ejercicios

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

La práctica hace la perfección

Determinar los valores para los cuales no está definida una expresión racional

En los siguientes ejercicios, determinar los valores para los que la expresión racional es indefinida.

1. a.$\dfrac{2x^2}{z}$ b.$\dfrac{4p−1}{6p−5}$ c.$\dfrac{n−3}{n^2+2n−8}$

Contestar: a.$z=0$
b.$p=\dfrac{5}{6}$
c.$n=−4, n=2$

2. a.$\dfrac{10m}{11n}$ b.$\dfrac{6y+13}{4y−9}$ c.$\dfrac{b−8}{b^2−36}$

3. a.$\dfrac{4x^2y}{3y}$ b.$\dfrac{3x−2}{2x+1}$ c.$\dfrac{u−1}{u^2−3u−28}$

Contestar: a.$y=0$
b.$x=−\dfrac{1}{2}$
c.$u=−4, u=7$

4. a.$\dfrac{5pq^2}{9q}$ b.$\dfrac{7a−4}{3a+5}$ c.$\dfrac{1}{x^2−4}$

Simplificar expresiones racionales

En los siguientes ejercicios, simplificar cada expresión racional.

5. $−\dfrac{44}{55}$

Contestar: $−\dfrac{4}{5}$

6. $\dfrac{56}{63}$

7. $\dfrac{8m^3n}{12mn^2}$

Contestar: $\dfrac{2m^2}{3n}$

8. $\dfrac{36v^3w^2}{27vw^3}$

9. $\dfrac{8n−96}{3n−36}$

Contestar: $\dfrac{8}{3}$

10. $\dfrac{12p−240}{5p−100}$

11. $\dfrac{x^2+4x−5}{x^2−2x+1}$

Contestar: $\dfrac{x+5}{x−1}$

12. $\dfrac{y^2+3y−4}{y^2−6y+5}$

13. $\dfrac{a^2−4}{a^2+6a−16}$

Contestar: $\dfrac{a+2}{a+8}$

14. $\dfrac{y^2−2y−3}{y^2−9}$

15. $\dfrac{p^3+3p^2+4p+12}{p^2+p−6}$

Contestar: $\dfrac{p^2+4}{p−2}$

16. $\dfrac{x^3−2x^2−25x+50}{x^2−25}$

17. $\dfrac{8b^2−32b}{2b^2−6b−80}$

Contestar: $\dfrac{4b(b−4)}{(b+5)(b−8)}$

18. $\dfrac{−5c^2−10c}{−10c^2+30c+100}$

19. $\dfrac{3m^2+30mn+75n^2}{4m^2−100n^2}$

Contestar: $\dfrac{3(m+5n)}{4(m−5n)}$

20. $\dfrac{5r^2+30rs−35s^2}{r^2−49s^2}$

21. $\dfrac{a−5}{5−a}$

Contestar: $−1$

22. $\dfrac{5−d}{d−5}$

23. $\dfrac{20−5y}{y^2−16}$

Contestar: $\dfrac{−5}{y+4}$

24. $\dfrac{4v−32}{64−v^2}$

25. $\dfrac{w^3+21}{6w^2−36}$

Contestar: $\dfrac{w^2−6w+3}{6w−6}$

26. $\dfrac{v^3+125}{v^2−25}$

27. $\dfrac{z^2−9z+20}{16−z^2}$

Contestar: $\dfrac{−z−5}{4+z}$

28. $\dfrac{a^2−5z−36}{81−a^2}$

Multiplicar expresiones racionales

En los siguientes ejercicios, multiplique las expresiones racionales.

29. $\dfrac{12}{16}·\dfrac{4}{10}$

Contestar: $\dfrac{3}{10}$

30. $\dfrac{3}{25}·\dfrac{16}{24}$

31. $\dfrac{5x^2y^4}{12xy^3}·\dfrac{6x^2}{20y^2}$

Contestar: $\dfrac{x^3}{8y}$

32. $\dfrac{12a^3b}{b^2}·\dfrac{2ab^2}{9b^3}$

33. $\dfrac{5p^2}{p^2−5p−36}·\dfrac{p^2−16}{10p}$

Contestar: $\dfrac{p(p−4)}{2(p−9)}$

34. $\dfrac{3q^2}{q^2+q−6}·\dfrac{q^2−9}{9q}$

35. $\dfrac{2y^2−10y}{y^2+10y+25}·\dfrac{y+5}{6y}$

Contestar: $\dfrac{y−5}{3(y+5)}$

36. $\dfrac{z^2+3z}{z^2−3z−4}·\dfrac{z−4}{z^2}$

37. $\dfrac{28−4b}{3b−3}·\dfrac{b^2+8b−9}{b^2−49}$

Contestar: $\dfrac{−4(b+9)}{3(b+7)}$

38. $\dfrac{72m−12m^2}{8m+32}·\dfrac{m^2+10m+24}{m^2−36}$

39. $\dfrac{c^2-10c+25}{c^2−25}·\dfrac{c^2+10c+25}{3c^2−14c−5}$

Contestar: $\dfrac{c+5}{3c+1}$

40. $\dfrac{2d^2+d−3}{d^2−16}·\dfrac{d^2−8d+16}{2d^2−9d−18}$

41. $\dfrac{2m^2−3m−2}{2m2+7m+3}·\dfrac{3m^2−14m+15}{3m^2+17m−20}$

Contestar: $\dfrac{(m−3)(m−2)}{(m+4)(m+3)}$

42. $\dfrac{2n^2−3n−14}{25−n^2}·\dfrac{n^2−10n+25}{2n^2−13n+21}$

Dividir expresiones racionales

En los siguientes ejercicios, dividir las expresiones racionales.

43. $\dfrac{v−5}{11−v}÷\dfrac{v^2−25}{v−11}$

Contestar: $−\dfrac{1}{v+5}$

44. $\dfrac{10+w}{w−8}÷\dfrac{100−w^2}{8−w}$

45. $\dfrac{3s^2}{s^2−16}÷\dfrac{s^3−4s^2+16s}{s^3−64}$

Contestar: $\dfrac{3s}{s+4}$

46. $\dfrac{r^2−9}{15}÷\dfrac{r^3−27}{5r^2+15r+45}$

47. $\dfrac{p^3+q^3}{3p^2+3pq+3q^2}÷\dfrac{p^2−q^2}{12}$

Contestar: $\dfrac{4(p^2−pq+q^2)}{(p−q)(p^2+pq+q^2)}$

48. $\dfrac{v^3−8w^3}{2v^2+4vw+8w^2}÷\dfrac{v^2−4w^2}{4}$

49. $\dfrac{x^2+3x−10}{4x}÷(2x^2+20x+50)$

Contestar: $\dfrac{x−2}{8x(x+5)}$

50. $\dfrac{2y^2−10yz−48z^2}{2y−1}÷(4y^2−32yz)$

51. $\dfrac{\dfrac{2a^2−a−21}{5a+20}}{\dfrac{a^2+7a+12}{a^2+8a+16}}$

Contestar: $\dfrac{2a−7}{5}$

52. $\dfrac{\dfrac{3b^2+2b−8}{12b+18}}{\dfrac{3b^2+2b−8}{2b^2−7b−15}}$

53. $\dfrac{\dfrac{12c^2−12}{2c^2−3c+1}}{\dfrac{4c+4}{6c^2−13c+5}}$

Contestar: $3(3c−5)$

54. $\dfrac{\dfrac{4d^2+7d−2}{35d+10}}{\dfrac{d^2−4}{7d^2−12d−4}}$

Para los siguientes ejercicios, realice las operaciones indicadas.

55. $\dfrac{10m^2+80m}{3m−9}·\dfrac{m^2+4m−21}{m^2−9m+20}÷\dfrac{5m^2+10m}{2m−10}$

Contestar: $\dfrac{4(m+8)(m+7)}{3(m−4)(m+2)}$

56. $\dfrac{4n^2+32n}{3n+2}·\dfrac{3n^2−n−2}{n^2+n−30}÷\dfrac{108n^2−24n}{n+6}$

57. $\dfrac{12p^2+3p}{p+3}÷\dfrac{p^2+2p−63}{p^2−p−12}·\dfrac{p−7}{9p^3−9p^2}$

Contestar: $\dfrac{(4p+1)(p−4)}{3p(p+9)(p−1)}$

58. $\dfrac{6q+3}{9q^2−9q}÷\dfrac{q^2+14q+33}{q^2+4q−5}·\dfrac{4q^2+12q}{12q+6}$

Multiplicar y dividir funciones racionales

En los siguientes ejercicios, encuentra el dominio de cada función.

59. $R(x)=\dfrac{x^3−2x^2−25x+50}{x^2−25}$

Contestar: $x\neq 5$y$x\neq −5$

60. $R(x)=\dfrac{x^3+3x^2−4x−12}{x^2−4}$

61. $R(x)=\dfrac{3x^2+15x}{6x^2+6x−36}$

Contestar: $x\neq 2$y$x\neq −3$

62. $R(x)=\dfrac{8x^2−32x}{2x^2−6x−80}$

Para los siguientes ejercicios, encuentra$R(x)=f(x)·g(x)$ dónde$f(x)$ y$g(x)$ se dan.

63. $f(x)=\dfrac{6x^2−12x}{x^2+7x−18} \quad g(x)=\dfrac{x^2−81}{3x^2−27x}$

Contestar: $R(x)=2$

64. $f(x)=\dfrac{x^2−2x}{x^2+6x−16} \quad g(x)=\dfrac{x^2−64}{x^2−8x}$

65. $f(x)=\dfrac{4x}{x^2−3x−10} \quad g(x)=\dfrac{x^2−25}{8x^2}$

Contestar: $R(x)=\dfrac{x+5}{2x(x+2)}$

66. $f(x)=\dfrac{2x^2+8x}{x^2−9x+20} \quad g(x)=\dfrac{x−5}{x^2}$

Para los siguientes ejercicios, encuentra$R(x)=f(x)g(x)$ dónde$f(x)$ y$g(x)$ se dan.

67. $f(x)=\dfrac{27x^2}{3x−21} \quad g(x)=\dfrac{3x^2+18x}{x^2+13x+42}$

Contestar: $R(x)=\dfrac{3x(x+7)}{x−7}$

68. $f(x)=\dfrac{24x^2}{2x−8} \quad g(x)=\dfrac{4x^3+28x^2}{x^2+11x+28}$

69. $f(x)=\dfrac{16x^2}{4x+36} \quad g(x)=\dfrac{4x^2−24x}{x^2+4x−45}$

Contestar: $R(x)=\dfrac{x(x−5)}{x−6}$

70. $f(x)=\dfrac{24x^2}{2x−4} \quad g(x)=\dfrac{12x^2+36x}{x^2−11x+18}$

Ejercicios de escritura

71. Explica cómo encuentras los valores de x para los que la expresión racional$\dfrac{x^2−x−20}{x^2−4}$ es indefinida.

Contestar: Las respuestas variarán.

72. Explica todos los pasos que das para simplificar la expresión racional$\dfrac{p^2+4p−21}{9−p^2}$.

73. a. Multiplica$\dfrac{7}{4}·\dfrac{9}{10}$ y explica todos tus pasos.
b. Multiplica$\dfrac{n}{n−3}·\dfrac{9}{n+3}$ y explica todos tus pasos.
c. Evalúa tu respuesta a la parte b. cuándo$n=7$. ¿Obtuviste la misma respuesta que obtuviste en la parte a.? ¿Por qué o por qué no?

Contestar: Las respuestas variarán.

74. a. Divide$\dfrac{24}{5}÷6$ y explica todos tus pasos.
b. Divide$\dfrac{x^2−1}{x}÷(x+1)$ y explica todos tus pasos.
c. Evalúa tu respuesta a la parte b. cuándo$x=5$. ¿Obtuviste la misma respuesta que obtuviste en la parte a.? ¿Por qué o por qué no?

Autocomprobación

a. después de completar los ejercicios, utilice esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

$Esta tabla tiene cuatro columnas y seis filas. La primera fila es un encabezado y etiqueta a cada columna, “Puedo...”, “Con confianza”, “Con algo de ayuda” y “¡No-I don't get it!” En la fila 2, el I can fue determinar los valores para los cuales una expresión racional es indefinida. En la fila 3, lo que puedo era simplificar expresiones de justificación. En la fila 4, lo que puedo era multiplicar expresiones racionales. En la fila 5, lo que puedo era dividir expresiones racionales. En la fila 6, lo que puedo era multiplicar y dividir funciones racionales. Ahí está la nada en las otras columnas.$

b. Si la mayoría de sus cheques fueron:

... con confianza. ¡Felicidades! ¡Has logrado tus metas en esta sección! Reflexiona sobre las habilidades de estudio que usaste para que puedas seguir usándolas. ¿Qué hiciste para confiar en tu capacidad para hacer estas cosas? ¡Sé específico!

... con alguna ayuda. Esto debe abordarse rápidamente ya que los temas que no dominas se convierten en baches en tu camino hacia el éxito. Las matemáticas son secuenciales - cada tema se basa en trabajos anteriores. Es importante asegurarse de tener una base sólida antes de seguir adelante. ¿A quién puedes pedir ayuda? Tus compañeros de clase e instructor son buenos recursos. ¿Hay algún lugar en el campus donde estén disponibles los tutores de matemáticas? ¿Se pueden mejorar tus habilidades de estudio?

... no - ¡No lo consigo! Esto es crítico y no debes ignorarlo. Necesita obtener ayuda de inmediato o rápidamente se verá abrumado. Consulte a su instructor lo antes posible para discutir su situación. Juntos pueden idear un plan para conseguirle la ayuda que necesita.