7.3: Sumar y restar expresiones racionales
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Al final de esta sección, podrás:
- Sumar y restar expresiones racionales con un denominador común
- Sumar y restar expresiones racionales cuyos denominadores son opuestos
- Encontrar el mínimo denominador común de las expresiones racionales
- Sumar y restar expresiones racionales con denominadores diferentes
- Sumar y restar funciones racionales
Sumar y restar expresiones racionales con un denominador común
¿Cuál es el primer paso que das cuando agregas fracciones numéricas? Se comprueba si tienen un denominador común. Si lo hacen, agregas los numeradores y colocas la suma sobre el denominador común. Si no tienen un denominador común, encuentra uno antes de agregar.
Lo mismo ocurre con las expresiones racionales. Para agregar expresiones racionales, deben tener un denominador común. Cuando los denominadores son los mismos, se agregan los numeradores y se coloca la suma sobre el denominador común.
Si\(p\),\(q\), y\(r\) son polinomios donde\(r\neq 0\), entonces
\[\dfrac{p}{r}+\dfrac{q}{r}=\dfrac{p+q}{r} \quad \text{and} \quad \dfrac{p}{r}−\dfrac{q}{r}=\dfrac{p−q}{r}\nonumber\]
Para sumar o restar expresiones racionales con un denominador común, sumar o restar los numeradores y colocar el resultado sobre el denominador común.
Siempre simplificamos las expresiones racionales. Asegúrese de factorizar, si es posible, después de restar los numeradores para que pueda identificar cualquier factor común.
Recuerda, también, no permitimos valores que harían cero al denominador. ¿Qué valor de\(x\) debería excluirse en el siguiente ejemplo?
Agregar:\(\dfrac{11x+28}{x+4}+\dfrac{x^2}{x+4}\).
Solución
Ya que el denominador es\(x+4\), debemos excluir el valor\(x=−4\).
\(\begin{array} {ll} &\dfrac{11x+28}{x+4}+\dfrac{x^2}{x+4},\space x\neq −4 \\ \begin{array} {l} \text{The fractions have a common denominator,} \\ \text{so add the numerators and place the sum} \\ \text{over the common denominator.} \end{array} &\dfrac{11x+28+x^2}{x+4} \\ & \\ \text{Write the degrees in descending order.} &\dfrac{x^2+11x+28}{x+4} \\ & \\ \text{Factor the numerator.} &\dfrac{(x+4)(x+7)}{x+4} \\ & \\ \text{Simplify by removing common factors.} &\dfrac{\cancel{(x+4)}(x+7)}{\cancel{x+4}} \\ & \\ \text{Simplify.} &x+7 \end{array}\)
La expresión se simplifica a\(x+7\) pero la expresión original tenía un denominador de\(x+4\) así\(x\neq −4\).
Simplificar:\(\dfrac{9x+14}{x+7}+\dfrac{x^2}{x+7}\).
- Responder
-
\(x+2\)
Simplificar:\(\dfrac{x^2+8x}{x+5}+\dfrac{15}{x+5}\).
- Responder
-
\(x+3\)
Para restar expresiones racionales, también deben tener un denominador común. Cuando los denominadores son iguales, restas los numeradores y colocas la diferencia sobre el denominador común. Ten cuidado con los signos cuando restes un binomio o trinomio.
Restar:\(\dfrac{5x^2−7x+3}{x^2−3x+18}−\dfrac{4x^2+x−9}{x^2−3x+18}\).
Solución
\(\begin{array} {ll} &\dfrac{5x^2−7x+3}{x^2−3x+18}−\dfrac{4x^2+x−9}{x^2−3x+18} \\ & \\ \begin{array} {l} \text{Subtract the numerators and place the} \\ \text{difference over the common denominator.} \end{array} &\dfrac{5x^2−7x+3−(4x^2+x−9)}{x^2−3x+18} \\ & \\ \text{Distribute the sign in the numerator.} &\dfrac{5x^2−7x+3−4x^2−x+9}{x^2−3x−18} \\ & \\ \text{Combine like terms.} &\dfrac{x^2−8x+12}{x^2−3x−18} \\ & \\ \text{Factor the numerator and the denominator.} &\dfrac{(x−2)(x−6)}{(x+3)(x−6)} \\ & \\ \text{Simplify by removing common factors.} &\dfrac{(x−2)\cancel{(x−6)}}{(x+3)\cancel{(x−6)}} \\ & \\ &(x−2)(x+3) \end{array}\)
Restar:\(\dfrac{4x^2−11x+8}{x^2−3x+2}−\dfrac{3x^2+x−3}{x^2−3x+2}\).
- Responder
-
\(\dfrac{x−11}{x−2}\)
Restar:\(\dfrac{6x^2−x+20}{x^2−81}−\dfrac{5x^2+11x−7}{x^2−81}\).
- Responder
-
\(\dfrac{x−3}{x+9}\)
Sumar y restar expresiones racionales cuyos denominadores son opuestos
Cuando los denominadores de dos expresiones racionales son opuestos, es fácil obtener un denominador común. Sólo tenemos que multiplicar una de las fracciones por\(\dfrac{−1}{−1}\).
Veamos cómo funciona esto.
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| Multiplique la segunda fracción por\(\dfrac{−1}{−1}\). |  |
| Los denominadores son los mismos. |  |
| Simplificar. |  |
Ten cuidado con los signos mientras trabajas con los opuestos cuando se restan las fracciones.
Restar:\(\dfrac{m^2−6m}{m^2−1}−\dfrac{3m+2}{1−m^2}\).
Solución
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Los denominadores son opuestos, así que multiplica la |
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| Simplifica la segunda fracción. |  |
| Los denominadores son los mismos. Restar los numeradores. |  |
| Distribuir. |  |
| Combina términos similares. |  |
| Factorizar el numerador y el denominador. |  |
| Simplifique eliminando factores comunes. |  |
| Simplificar. |  |
Restar:\(\dfrac{y^2−5y}{y^2−4}−\dfrac{6y−6}{4−y^2}\).
- Responder
-
\(\dfrac{y+3}{y+2}\)
Restar:\(\dfrac{2n^2+8n−1}{n^2−1}−\dfrac{n^2−7n−1}{1−n^2}\).
- Responder
-
\(\dfrac{3n−2}{n−1}\)
Encuentre el denominador menos común de las expresiones racionales
Cuando sumamos o restamos expresiones racionales con denominadores diferentes, necesitaremos obtener denominadores comunes. Si revisamos el procedimiento que utilizamos con fracciones numéricas, sabremos qué hacer con las expresiones racionales.
Veamos este ejemplo:\(\dfrac{7}{12}+\dfrac{5}{18}\). Dado que los denominadores no son los mismos, el primer paso fue encontrar el mínimo denominador común (LCD).
Para encontrar el LCD de las fracciones, factorizamos 12 y 18 en primos, alineando cualquier primo común en columnas. Entonces “bajamos” un primo de cada columna. Finalmente, multiplicamos los factores para encontrar la LCD.
Cuando agregamos fracciones numéricas, una vez que encontramos la LCD, reescribimos cada fracción como una fracción equivalente con la LCD multiplicando el numerador y el denominador por el mismo número. Ya estamos listos para agregar.
Hacemos lo mismo con las expresiones racionales. No obstante, dejamos la pantalla LCD en forma factorizada.
- Facturar cada denominador completamente.
- Enumere los factores de cada denominador. Haga coincidir los factores verticalmente cuando sea posible.
- Baje las columnas incluyendo todos los factores, pero no incluya factores comunes dos veces.
- Escribe la pantalla LCD como producto de los factores.
Recuerda, siempre excluimos valores que harían cero al denominador. ¿Qué valores de xx debemos excluir en este siguiente ejemplo?
a. Encuentra la pantalla LCD para las expresiones\(\dfrac{8}{x^2−2x−3}\),\(\dfrac{3x}{x^2+4x+3}\) y b. reescribirlas como expresiones racionales equivalentes con el mínimo denominador común.
Solución
a.
| Encuentre la pantalla LCD para\(\dfrac{8}{x^2−2x−3}\),\(\dfrac{3x}{x^2+4x+3}\). | |
| Factorizar cada denominador completamente, alineando factores comunes. Derriba las columnas. |
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| Escribe la pantalla LCD como producto de los factores. |  |
b.
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| Facturar cada denominador. |  |
| Multiplica cada denominador por el factor LCD 'faltante' y multiplica cada numerador por el mismo factor. |
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| Simplifica los numeradores. |  |
a. encontrar la pantalla LCD para las expresiones\(\dfrac{2}{x^2−x−12}\),\(\dfrac{1}{x^2−16}\) b. reescribirlas como expresiones racionales equivalentes con el mínimo denominador común.
- Responder
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a.\((x−4)(x+3)(x+4)\)
b.\(\dfrac{2x+8}{(x−4)(x+3)(x+4)}\),
\(\dfrac{x+3}{(x−4)(x+3)(x+4)}\)
a. encontrar la pantalla LCD para las expresiones\(\dfrac{3x}{x^2−3x+10}\),\(\dfrac{5}{x^2+3x+2}\) b. reescribirlas como expresiones racionales equivalentes con el mínimo denominador común.
- Responder
-
a.\((x+2)(x−5)(x+1)\)
b.\(\dfrac{3x^2+3x}{(x+2)(x−5)(x+1)}\),
\(\dfrac{5x−25}{(x+2)(x−5)(x+1)}\)
Sumar y restar expresiones racionales con denominadores diferentes
Ahora tenemos todos los pasos que necesitamos para sumar o restar expresiones racionales con denominadores distintos.
Agregar:\(\dfrac{3}{x−3}+\dfrac{2}{x−2}\).
Solución
Agregar:\(\dfrac{2}{x−2}+\dfrac{5}{x+3}\).
- Responder
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\(\dfrac{7x−4}{(x−2)(x+3)}\)
Agregar:\(\dfrac{4}{m+3}+\dfrac{3}{m+4}\).
- Responder
-
\(\dfrac{7m+25}{(m+3)(m+4)}\)
Aquí se resumen los pasos utilizados para agregar expresiones racionales.
- Determinar si las expresiones tienen un denominador común.
- Sí — ir al paso 2.
- No — Reescribe cada expresión racional con la pantalla LCD.
- Encuentra la pantalla LCD.
- Reescribe cada expresión racional como una expresión racional equivalente con la LCD.
- Sumar o restar las expresiones racionales.
- Simplificar, si es posible.
Evita la tentación de simplificar demasiado pronto. En el ejemplo anterior, debemos dejar la primera expresión racional como\(\dfrac{3x−6}{(x−3)(x−2)}\) para poder agregarla\(\dfrac{2x−6}{(x−2)(x−3)}\). Simplifica sólo después de haber combinado los numeradores.
Agregar:\(\dfrac{8}{x^2−2x−3}+\dfrac{3x}{x^2+4x+3}\).
Solución
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| ¿Las expresiones tienen un denominador común? | No. |
| Reescribe cada expresión con la pantalla LCD. | |
| \(\begin{array} {ll} & \\ & \\ \text{Find the LCD.} &\begin{array} {l} \hspace{5mm} x^2−2x−3=(x+1)(x−3) \\ \underline{x^2+4x+3=(x+1)\quad (x+3)} \\ & \\ \qquad LCD=(x+1)(x−3)(x+3) \end{array} \end{array} \) | |
| Reescribe cada expresión racional como una expresión racional equivalente con la LCD. |
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| Simplifica los numeradores. |  |
| Añadir las expresiones racionales. |  |
| Simplifica el numerador. |  |
| El numerador es primo, por lo que no hay factores comunes. |
Agregar:\(\dfrac{1}{m^2−m−2}+\dfrac{5m}{m^2+3m+2}\).
- Responder
-
\(\dfrac{5m^2−9m+2}{(m+1)(m−2)(m+2)}\)
Agregar:\(\dfrac{2n}{n^2−3n−10}+\dfrac{6}{n^2+5n+6}\).
- Responder
-
\(\dfrac{2n^2+12n−30}{(n+2)(n−5)(n+3)}\)
El proceso que utilizamos para restar expresiones racionales con diferentes denominadores es el mismo que para la suma. Sólo hay que tener mucho cuidado con los signos a la hora de restar los numeradores.
Restar:\(\dfrac{8y}{y^2−16}−\dfrac{4}{y−4}\).
Solución
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| ¿Las expresiones tienen un denominador común? | No. |
| Reescribe cada expresión con la pantalla LCD. | |
| \(\begin{array} {ll} \text{Find the LCD.} &\begin{array} {l} y^2−16=(y−4)(y+4) \\ \quad \underline{y−4=y−4} \\ LCD=(y−4)(y+4) \end{array} \end{array} \) | |
| Reescribe cada expresión racional como una expresión racional equivalente con la LCD. |
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| Simplifica los numeradores. |  |
| Restar las expresiones racionales. |  |
| Simplifica el numerador. |  |
| Factorizar el numerador para buscar factores comunes. |  |
| Eliminar factores comunes |  |
| Simplificar. |  |
Restar:\(\dfrac{2x}{x^2−4}−\dfrac{1}{x+2}\).
- Responder
-
\(\dfrac{1}{x−2}\)
Restar:\(\dfrac{3}{z+3}−\dfrac{6z}{z^2−9}\).
- Responder
-
\(\dfrac{−3}{z−3}\)
Hay muchos signos negativos en el siguiente ejemplo. Ten mucho cuidado.
Restar:\(\dfrac{−3n−9}{n^2+n−6}−\dfrac{n+3}{2−n}\).
Solución
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| Facturar el denominador. |  |
| Dado que\(n−2\) y\(2−n\) son opuestos, multiplicaremos la segunda expresión racional por\(\dfrac{−1}{−1}\). |
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| Simplificar. Recuerda,\(a−(−b)=a+b\). |  |
| ¿Las expresiones racionales tienen un denominador común? No. |
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| \(\begin{array} {ll} \text{Find the LCD.} &\begin{array} {l} n^2+n−6=(n−2)(n+3) \\ \quad\underline{n−2=(n−2)} \\ LCD=\quad (n−2)(n+3) \end{array} \end{array} \) | |
| Reescribe cada expresión racional como una expresión racional equivalente con la LCD. |
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| Simplifica los numeradores. |  |
| Añadir las expresiones racionales. |  |
| Simplifica el numerador. |  |
| Factorizar el numerador para buscar factores comunes. |  |
| Simplificar. |  |
Restar:\(\dfrac{3x−1}{x^2−5x−6}−\dfrac{2}{6−x}\).
- Responder
-
\(\dfrac{5x+1}{(x−6)(x+1)}\)
Restar:\(\dfrac{−2y−2}{y^2+2y−8}−\dfrac{y−1}{2−y}\).
- Responder
-
\(\dfrac{y+3}{y+4}\)
Las cosas pueden ponerse muy desordenadas cuando ambas fracciones deben multiplicarse por un binomio para obtener el denominador común.
Restar:\(\dfrac{4}{a^2+6a+5}−\dfrac{3}{a^2+7a+10}\).
Solución
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| Facturar los denominadores. |  |
| ¿Las expresiones racionales tienen un denominador común? No. |
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\(\begin{array} {ll} \text{Find the LCD.} &\begin{array} {l} a^2+6a+5=(a+1)(a+5) \\ \underline{a^2+7a+10=(a+5)(a+2)} \\ LCD=(a+1)(a+5)(a+2) \end{array} \end{array} \) |
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| Reescribe cada expresión racional como una expresión racional equivalente con la LCD. |
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| Simplifica los numeradores. |  |
| Restar las expresiones racionales. |  |
| Simplifica el numerador. |  |
 |
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| Busque factores comunes. |  |
| Simplificar. |  |
Restar:\(\dfrac{3}{b^2−4b−5}−\dfrac{2}{b^2−6b+5}\).
- Responder
-
\(\dfrac{1}{(b+1)(b−1)}\)
Restar:\(\dfrac{4}{x^2−4}−\dfrac{3}{x^2−x−2}\).
- Responder
-
\(\dfrac{1}{(x+2)(x+1)}\)
Seguimos los mismos pasos que antes para encontrar la LCD cuando tenemos más de dos expresiones racionales. En el siguiente ejemplo, comenzaremos factorizando los tres denominadores para encontrar su LCD.
Simplificar:\(\dfrac{2u}{u−1}+\dfrac{1}{u}−\dfrac{2u−1}{u^2−u}\).
Solución
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| ¿Las expresiones tienen un denominador común? No. Reescribe cada expresión con la pantalla LCD. |
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| \(\begin{array} {ll} \text{Find the LCD.} &\begin{array} {l} u−1=(u−1) \\ u=u \\ \underline{u^2−u=u(u−1)} \\ LCD=u(u−1) \end{array} \end{array}\) | |
| Reescribe cada expresión racional como una expresión racional equivalente con la LCD. |
 |
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| Escribir como una sola expresión racional. |  |
| Simplificar. |  |
| Factorizar el numerador y eliminar los factores comunes. |
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| Simplificar. |  |
Simplificar:\(\dfrac{v}{v+1}+\dfrac{3}{v−1}−\dfrac{6}{v^2−1}\).
- Responder
-
\(\dfrac{v+3}{v+1}\)
Simplificar:\(\dfrac{3w}{w+2}+\dfrac{2}{w+7}−\dfrac{17w+4}{w^2+9w+14}\).
- Responder
-
\(\dfrac{3w}{w+7}\)
Sumar y restar funciones racionales
Para sumar o restar funciones racionales, utilizamos las mismas técnicas que usamos para sumar o restar funciones polinómicas.
Encuentra\(R(x)=f(x)−g(x)\) dónde\(f(x)=\dfrac{x+5}{x−2}\) y\(g(x)=\dfrac{5x+18}{x^2−4}\).
- xolución
-
Sustituto en las funciones\(f(x)\),\(g(x)\). 
Facturar los denominadores. 
¿Las expresiones tienen un denominador común? No.
Reescribe cada expresión con la pantalla LCD.\(\begin{array} {ll} \text{Find the LCD.} &\begin{array} {l} x−2=(x−2) \\ \underline{x^2−4=(x−2)(x+2)} \\ \hspace{4mm} LCD=(x−2)(x+2)\end{array} \end{array}\) Reescribe cada expresión racional como una expresión racional
equivalente con la LCD.
Escribir como una sola expresión racional. 
Simplificar. 
Factorizar el numerador y eliminar los factores
comunes.
Simplificar. 
Encuentra\(R(x)=f(x)−g(x)\) dónde\(f(x)=\dfrac{x+1}{x+3}\) y\(g(x)=\dfrac{x+17}{x^2−x−12}\).
- Responder
-
\(\dfrac{x−7}{x−4}\)
Encuentra\(R(x)=f(x)+g(x)\) dónde\(f(x)=\dfrac{x−4}{x+3}\) y\(g(x)=\dfrac{4x+6}{x^2−9}\).
- Responder
-
\(\dfrac{x^2−3x+18}{(x+3)(x−3)}\)
Acceda a este recurso en línea para obtener instrucción y práctica adicionales con la adición y sustracción de expresiones racionales.
- Sumar y restar expresiones racionales: a diferencia de los denominadores
Conceptos clave
- Expresión racional Suma y resta
Si\(p\)\(q\),, y\(r\) son polinomios donde\(r\neq 0\), entonces
\[\dfrac{p}{r}+\dfrac{q}{r}=\dfrac{p+q}{r} \quad \text{and} \quad \dfrac{p}{r}−\dfrac{q}{r}=\dfrac{p−q}{r}\nonumber\] - Cómo encontrar el mínimo denominador común de las expresiones racionales.
- Facturar cada expresión completamente.
- Enumere los factores de cada expresión. Haga coincidir los factores verticalmente cuando sea posible.
- Bajen las columnas.
- Escribe la pantalla LCD como producto de los factores.
- Cómo sumar o restar expresiones racionales.
- Determinar si las expresiones tienen un denominador común.
- Sí — ir al paso 2.
- No — Reescribe cada expresión racional con la pantalla LCD.
- Encuentra la pantalla LCD.
- Reescribe cada expresión racional como una expresión racional equivalente con la LCD.
- Sumar o restar las expresiones racionales.
- Simplificar, si es posible.
- Determinar si las expresiones tienen un denominador común.