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# 8.9: Utilizar el Sistema de Números Complejos

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##### Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrás:

• Sumar y restar números complejos
• Multiplicar números complejos
• Dividir números complejos
• Simplificar los poderes de$$i$$

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

1. Dados los números$$-4,-\sqrt{7}, 0 . \overline{5}, \frac{7}{3}, 3, \sqrt{81}$$, enumere el
1. números racionales
2. números irracionales
3. números reales
Si te perdiste este problema, revisa Ejemplo 1.42.
2. Multiplicar:$$(x−3)(2x+5)$$.
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 5.28.
3. Racionalizar el denominador:$$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$$
Si te perdiste este problema, revisa Ejemplo 5.32.

Siempre que tenemos una situación en la que tenemos una raíz cuadrada de un número negativo decimos que no hay un número real que iguala esa raíz cuadrada. Por ejemplo, para simplificar$$\sqrt{-1}$$, estamos buscando un número real para$$x$$ que eso$$x^{2}=-1$$. Dado que todos los números reales al cuadrado son números positivos, no hay un número real que sea igual$$–1$$ al cuadrado.

Los matemáticos a menudo han ampliado sus sistemas de números según sea necesario. Se sumaron$$0$$ a los números de conteo para obtener los números enteros. Cuando necesitaban saldos negativos, agregaban números negativos para obtener los enteros. Cuando necesitaban la idea de partes de un todo agregaban fracciones y obtuvieron los números racionales. Sumando los números irracionales permitió números como$$\sqrt{5}$$. Todos estos juntos nos dieron los números reales y hasta el momento en su estudio de las matemáticas, eso ha sido suficiente.

Pero ahora ampliaremos los números reales para incluir las raíces cuadradas de los números negativos. Comenzamos definiendo la unidad imaginaria$$i$$ como el número cuyo cuadrado es$$–1$$.

Definición$$\PageIndex{1}$$

La unidad imaginaria$$i$$ es el número cuyo cuadrado es$$-1$$.

$$i^{2}=-1 \text { or } i=\sqrt{-1}$$

Definición$$\PageIndex{2}$$

Si$$b$$ es un número real positivo, entonces

$$\sqrt{-b}=\sqrt{b} i$$

Usaremos esta definición en el siguiente ejemplo. Tenga cuidado de que quede claro que el no$$i$$ está bajo lo radical. A veces verás esto escrito como$$\sqrt{-b}=i \sqrt{b}$$ para enfatizar que el no$$i$$ está bajo lo radical. Pero el$$\sqrt{-b}=\sqrt{b} i$$ se considera forma estándar.

##### Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

Escribir cada expresión en términos de$$i$$ y simplificar es posible:

1. $$\sqrt{-25}$$
2. $$\sqrt{-7}$$
3. $$\sqrt{-12}$$

Solución:

a.

$$\sqrt{-25}$$

$$\sqrt{25} i$$

Simplificar.

$$5i$$

b.

$$\sqrt{-7}$$

$$\sqrt{7} i$$

Simplificar.

Tenga cuidado de que quede claro que no$$i$$ está bajo el signo radical.

c.

$$\sqrt{-12}$$

$$\sqrt{12} i$$

Simplificar$$\sqrt{12}$$.

$$2 \sqrt{3} i$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Escribe cada expresión en términos de$$i$$ y simplifica si es posible:

1. $$\sqrt{-81}$$
2. $$\sqrt{-5}$$
3. $$\sqrt{-18}$$
Contestar
1. $$9i$$
2. $$\sqrt{5} i$$
3. $$3 \sqrt{2} i$$
##### Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Escribe cada expresión en términos de$$i$$ y simplifica si es posible:

1. $$\sqrt{-36}$$
2. $$\sqrt{-3}$$
3. $$\sqrt{-27}$$
Contestar
1. $$6i$$
2. $$\sqrt{3} i$$
3. $$3\sqrt{3} i$$

Ahora que estamos familiarizados con el número imaginario$$i$$, podemos ampliar los números reales para incluir números imaginarios. El complejo sistema numérico incluye los números reales y los números imaginarios. Un número complejo es de la forma$$a+bi$$, donde$$a, b$$ están los números reales. Llamamos a$$a$$ la parte real y a$$b$$ la parte imaginaria.

Definición$$\PageIndex{3}$$

Un número complejo es de la forma$$a+bi$$, donde$$a$$ y$$b$$ son números reales.

Un número complejo está en forma estándar cuando se escribe como$$a+bi$$, dónde$$a$$ y$$b$$ son números reales.

Si$$b=0$$, entonces$$a+bi$$ se convierte$$a+0⋅i=a$$, y es un número real.

Si$$b≠0$$, entonces$$a+bi$$ es un número imaginario.

Si$$a=0$$, entonces$$a+bi$$ se convierte$$0+bi=bi$$, y se llama un número imaginario puro.

Resumimos esto aquí.

 $$a+bi$$ $$b=0$$ $$a+0 \cdot i$$ $$a$$ Número real $$b\neq 0$$ $$a+bi$$ Número imaginario $$a=0$$R $$0+bi$$ $$bi$$ Puro imaginario numbe4

La forma estándar de un número complejo es$$a+bi$$, así que esto explica por qué la forma preferida es$$\sqrt{-b}=\sqrt{b} i$$ cuándo$$b>0$$.

El diagrama nos ayuda a visualizar el complejo sistema numérico. Se compone tanto de los números reales como de los números imaginarios.

## Sumar o restar números complejos

Ahora estamos listos para realizar las operaciones de suma, resta, multiplicación y división en los números complejos, tal como hicimos con los números reales.

Sumar y restar números complejos es muy parecido a sumar o restar términos similares. Sumamos o restamos las partes reales y luego sumamos o restamos las partes imaginarias. Nuestro resultado final debe estar en forma estándar.

##### Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

Agregar:$$\sqrt{-12}+\sqrt{-27}$$.

Solución:

$$\sqrt{-12}+\sqrt{-27}$$

$$\sqrt{12} i+\sqrt{27} i$$

$$2 \sqrt{3} i+3 \sqrt{3} i$$

Agregar.

$$5 \sqrt{3} i$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Agregar:$$\sqrt{-8}+\sqrt{-32}$$.

Contestar

$$6 \sqrt{2} i$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Agregar:$$\sqrt{-27}+\sqrt{-48}$$

Contestar

$$7 \sqrt{3} i$$

Recuerda agregar tanto las partes reales como las partes imaginarias en este siguiente ejemplo.

##### Ejemplo$$\PageIndex{3}$$

Simplificar:

1. $$(4-3 i)+(5+6 i)$$
2. $$(2-5 i)-(5-2 i)$$

Solución:

a.

$$(4-3 i)+(5+6 i)$$

Usa la Propiedad Asociativa para juntar las partes reales y las partes imaginarias.

$$(4+5)+(-3 i+6 i)$$

Simplificar.

$$9+3i$$

b.

$$(2-5 i)-(5-2 i)$$

Distribuir.

$$2-5 i-5+2 i$$

Usa la Propiedad Asociativa para juntar las partes reales y las partes imaginarias.

$$2-5-5 i+2 i$$

Simplificar.

$$-3-3 i$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Simplificar:

1. $$(2+7 i)+(4-2 i)$$
2. $$(8-4 i)-(2-i)$$
Contestar
1. $$6+5i$$
2. $$6-3i$$
##### Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Simplificar:

1. $$(3-2 i)+(-5-4 i)$$
2. $$(4+3 i)-(2-6 i)$$
Contestar
1. $$-2-6i$$
2. $$2+9i$$

## Multiplicar números complejos

Multiplicar números complejos también es muy parecido a multiplicar expresiones con coeficientes y variables. Solo hay un caso especial que debemos considerar. Veremos eso después de practicar en los siguientes dos ejemplos.

##### Ejemplo$$\PageIndex{4}$$

Multiplicar:$$2 i(7-5 i)$$

Solución:

$$2 i(7-5 i)$$

Distribuir.

$$14 i-10 i^{2}$$

Simplificar$$i^{2}$$.

$$14 i-10(-1)$$

Multiplicar.

$$14 i+10$$

Escribir en forma estándar.

$$10+14i$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

Multiplicar:$$4 i(5-3 i)$$.

Contestar

$$12+20i$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

Multiplicar:$$-3 i(2+4 i)$$.

Contestar

$$12-6i$$

En el siguiente ejemplo, multiplicamos los binomios usando la Propiedad Distributiva o FOIL.

##### Ejemplo$$\PageIndex{5}$$

Multiplicar:$$(3+2 i)(4-3 i)$$.

Solución:

$$(3+2 i)(4-3 i)$$

Use FOIL.

$$12-9 i+8 i-6 i^{2}$$

Simplifica$$i^{2}$$ y combina términos similares.

$$12-i-6(-1)$$

Multiplicar.

$$12-i+6$$

Combina las partes reales.

$$18-i$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

Múltiple:$$(5-3 i)(-1-2 i)$$.

Contestar

$$-11-7i$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

Múltiple:$$(-4-3 i)(2+i)$$.

Contestar

$$-5-10i$$

En el siguiente ejemplo, podríamos usar FOIL o el Producto de Patrón Cuadrados Binomiales.

##### Ejemplo$$\PageIndex{6}$$

Multiplicar:$$(3+2 i)^{2}$$

Solución:

 Utilice el Producto de Patrón Cuadrados Binomiales,$$(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}$$. Simplificar. Simplificar$$i^{2}$$. Simplificar.
##### Ejercicio$$\PageIndex{11}$$

Multiplicar usando el patrón Cuadrados Binomiales:$$(-2-5 i)^{2}$$.

Contestar

$$-21+20 i$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{12}$$

Multiplicar usando el patrón Cuadrados Binomiales:$$(-5+4 i)^{2}$$.

Contestar

$$9-40i$$

Dado que la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real, no podemos usar la Propiedad del Producto para Radicales. Para multiplicar raíces cuadradas de números negativos primero debemos escribirlas como números complejos,$$\sqrt{-b}=\sqrt{b}i$$ usando.Este es un lugar donde los estudiantes tienden a cometer errores, así que ten cuidado cuando veas multiplicar por una raíz cuadrada negativa.

##### Ejemplo$$\PageIndex{7}$$

Multiplicar:$$\sqrt{-36} \cdot \sqrt{-4}$$.

Solución:

Para multiplicar raíces cuadradas de números negativos, primero los escribimos como números complejos.

$$\sqrt{-36} \cdot \sqrt{-4}$$

Escribir como números complejos usando$$\sqrt{-b}=\sqrt{b}i$$.

$$\sqrt{36} i \cdot \sqrt{4} i$$

Simplificar.

$$6 i \cdot 2 i$$

Multiplicar.

$$12i^{2}$$

Simplifica$$i^{2}$$ y multiplica.

$$-12$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{13}$$

Multiplicar:$$\sqrt{-49} \cdot \sqrt{-4}$$.

Contestar

$$-14$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{14}$$

Multiplicar:$$\sqrt{-36} \cdot \sqrt{-81}$$.

Contestar

$$-54$$

##### Ejemplo$$\PageIndex{8}$$

Multiplicar:$$(3-\sqrt{-12})(5+\sqrt{-27})$$.

Solución:

Para multiplicar raíces cuadradas de números negativos, primero los escribimos como números complejos.

$$(3-\sqrt{-12})(5+\sqrt{-27})$$

Escribir como números complejos usando$$\sqrt{-b}=\sqrt{b}i$$.

$$(3-2 \sqrt{3} i)(5+3 \sqrt{3} i)$$

Use FOIL.

$$15+9 \sqrt{3} i-10 \sqrt{3} i-6 \cdot 3 i^{2}$$

Combina términos similares y simplifica$$i^{2}$$.

$$15-\sqrt{3} i-6 \cdot(-3)$$

Multiplicar y combinar términos similares.

$$33-\sqrt{3} i$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{15}$$

Multiplicar:$$(4-\sqrt{-12})(3-\sqrt{-48})$$.

Contestar

$$-12-22 \sqrt{3} i$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{16}$$

Multiplicar:$$(-2+\sqrt{-8})(3-\sqrt{-18})$$.

Contestar

$$6+12 \sqrt{2} i$$

Primero observamos pares conjugados cuando estudiamos polinomios. Dijimos que un par de binomios que cada uno tiene el mismo primer término y el mismo último término, pero uno es una suma y uno es una diferencia se llama par conjugado y es de la forma$$(a−b),(a+b)$$.

Un par conjugado complejo es muy similar. Para un número complejo de la forma$$a+bi$$, su conjugado es$$a−bi$$. Observe que tienen el mismo primer término y el mismo último término, pero uno es una suma y otro es una diferencia.

Definición$$\PageIndex{4}$$

Un par conjugado complejo es de la forma$$a+bi,a-bi$$.

Multiplicaremos un par conjugado complejo en el siguiente ejemplo.

##### Ejemplo$$\PageIndex{9}$$

Multiplicar:$$(3-2 i)(3+2 i)$$.

Solución:

$$(3-2 i)(3+2 i)$$

Utilice FOIL

$$9+6 i-6 i-4 i^{2}$$

Combina términos similares y simplifica$$i^{2}$$.

$$9-4(-1)$$

Multiplicar y combinar términos similares.

$$13$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{17}$$

Multiplicar:$$(4-3 i) \cdot(4+3 i)$$.

Contestar

$$25$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{18}$$

Multiplicar:$$(-2+5 i) \cdot(-2-5 i)$$.

Contestar

$$29$$

A partir de nuestro estudio de polinomios, sabemos que el producto de los conjugados es siempre de la$$(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$$ forma.El resultado se llama diferencia de cuadrados. Podemos multiplicar un par conjugado complejo usando este patrón.

El último ejemplo usamos FOIL. Ahora usaremos el Patrón Producto de Conjugados.

Observe que este es el mismo resultado que encontramos en el Ejemplo 8.8.9.

Cuando multiplicamos conjugados complejos, el producto de los últimos términos siempre tendrá un$$i^{2}$$ que simplifica a$$−1$$.

$$\begin{array}{c}{(a-b i)(a+b i)} \\ {a^{2}-(b i)^{2}} \\ {a^{2}-b^{2} i^{2}} \\ {a^{2}-b^{2}(-1)} \\ {a^{2}+b^{2}}\end{array}$$

Esto nos lleva al Patrón de Producto de Conjugados Complejos:$$(a-b i)(a+b i)=a^{2}+b^{2}$$

Definición$$\PageIndex{5}$$

Si$$a$$ y$$b$$ son números reales, entonces

$$(a-b i)(a+b i)=a^{2}+b^{2}$$

##### Ejemplo$$\PageIndex{10}$$

Multiplicar usando el Producto de Conjugados Complejos Patrón:$$(8-2 i)(8+2 i)$$.

Solución:

 Utilice el Producto del Patrón de Conjugados Complejos,$$(a-b i)(a+b i)=a^{2}+b^{2}$$. Simplifica los cuadrados. Agregar.
##### Ejercicio$$\PageIndex{19}$$

Multiplicar usando el Producto de Conjugados Complejos Patrón:$$(3-10 i)(3+10 i)$$.

Contestar

$$109$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{20}$$

Multiplicar usando el Producto de Conjugados Complejos Patrón:$$(-5+4 i)(-5-4 i)$$.

Contestar

$$41$$

## Dividir números complejos

Dividir números complejos es muy parecido a racionalizar un denominador. Queremos que nuestro resultado esté en forma estándar sin números imaginarios en el denominador.

##### Ejemplo$$\PageIndex{11}$$ how to divide complex numbers

Dividir:$$\frac{4+3 i}{3-4 i}$$.

Solución:

 Paso 1: Escribe tanto el numerador como el denominador en forma estándar. Ambos están en forma estándar. $$\frac{4+3 i}{3-4 i}$$ Paso 2: Multiplica el numerador y el denominador por el complejo conjugado del denominador. El complejo conjugado de$$3-4i$$ es$$3+4i$$. $$\frac{(4+3 i)\color{red}{(3+4 i)}}{(3-4 i)\color{red}{(3+4 i)}}$$ Paso 3: Simplificar y escribir el resultado en forma estándar. Usa el patrón$$(a-b i)(a+b i)=a^{2}+b^{2}$$ en el denominador. Combina términos similares. Simplificar. Escribe el resultado en forma estándar. $$\begin{array}{c}{\frac{12+16 i+9 i+12 i^{2}}{9+16}} \\ {\frac{12+25 i-12}{25}} \\ {\frac{25 i}{25}} \\ {i}\end{array}$$
##### Ejercicio$$\PageIndex{21}$$

Dividir:$$\frac{2+5 i}{5-2 i}$$.

Contestar

$$i$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{22}$$

Dividir:$$\frac{1+6 i}{6-i}$$.

Contestar

$$i$$

Resumimos los pasos aquí.

### Cómo dividir números complejos

3. Simplifica y escribe el resultado en forma estándar.
##### Ejemplo$$\PageIndex{12}$$

Dividir, escribir las respuestas en forma estándar:$$\frac{-3}{5+2 i}$$.

Solución:

$$\frac{-3}{5+2 i}$$

$$\frac{-3(5-2 i)}{(5+2 i)(5-2 i)}$$

$$\frac{-15+6 i}{5^{2}+2^{2}}$$

Simplificar.

$$\frac{-15+6 i}{29}$$

Escribir en forma estándar.

$$-\frac{15}{29}+\frac{6}{29} i$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{23}$$

Dividir, escribir la respuesta en forma estándar:$$\frac{4}{1-4 i}$$.

Contestar

$$\frac{4}{17}+\frac{16}{17} i$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{24}$$

Dividir, escribir la respuesta en forma estándar:$$\frac{-2}{-1+2 i}$$.

Contestar

$$\frac{2}{5}+\frac{4}{5} i$$

##### Ejemplo$$\PageIndex{13}$$

Dividir:$$\frac{5+3 i}{4 i}$$.

Solución:

$$\frac{5+3 i}{4 i}$$

Escribe el denominador en forma estándar.

$$\frac{5+3 i}{0+4 i}$$

$$\frac{(5+3 i)(0-4 i)}{(0+4 i)(0-4 i)}$$

Simplificar.

$$\frac{(5+3 i)(-4 i)}{(4 i)(-4 i)}$$

Multiplicar.

$$\frac{-20 i-12 i^{2}}{-16 i^{2}}$$.

Simplificar el$$i^{2}$$.

$$\frac{-20 i+12}{16}$$

Reescribir en forma estándar.

$$\frac{12}{16}-\frac{20}{16} i$$

Simplificar las fracciones.

$$\frac{3}{4}-\frac{5}{4} i$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{25}$$

Dividir:$$\frac{3+3 i}{2 i}$$.

Contestar

$$\frac{3}{2}-\frac{3}{2} i$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{26}$$

Dividir:$$\frac{2+4 i}{5 i}$$.

Contestar

$$\frac{4}{5}-\frac{2}{5} i$$

## Simplificar los poderes de$$i$$

Los poderes de$$i$$ hacer un patrón interesante que nos ayude a simplificar los poderes superiores de$$i$$. Evaluemos los poderes de$$i$$ para ver el patrón.

$$\begin{array}{ccc}{i^{1}} & {i^{2}} & {i^{3}} & {i^{4}} \\ {i} & {-1} & {i^{2}\cdot i} & {i^{2}\cdot i^{2}}\\ {}&{}&{-1\cdot i}&{(-1)(-1)}\\ {}&{}&{-i}&{1}\end{array}$$

$$\begin{array}{cccc}{i^{5}} & {i^{6}} & {i^{7}} & {i^{8}} \\ {i^{4} \cdot i} & {i^{4} \cdot i^{2}} & {i^{4} \cdot i^{3}} & {i^{4} \cdot i^{4}} \\ {1 \cdot i} & {1 \cdot i^{2}} & {1 \cdot i^{3}} & {1 \cdot 1} \\ {i} & {i^{2}} & {i^{3}} & {1} \\ {}&{-1} & {-i}\end{array}$$

Resumimos esto ahora.

$$\begin{array}{ll}{i^{1}=i} & {i^{5}=i} \\ {i^{2}=-1} & {i^{6}=-1} \\ {i^{3}=-i} & {i^{7}=-i} \\ {i^{4}=1} & {i^{8}=1}\end{array}$$

Si continuamos, el patrón seguiría repitiéndose en bloques de cuatro. Podemos usar este patrón para ayudarnos a simplificar los poderes de$$i$$. Ya que$$i^{4}=1$$, reescribimos cada potencia$$i^{n}$$,, como un producto usando$$i^{4}$$ a una potencia y otra potencia de$$i$$.

Lo reescribimos en la forma$$i^{n}=\left(i^{4}\right)^{q} \cdot i^{r}$$, donde el exponente,$$q$$, es el cociente de$$n$$ dividido por$$4$$ y el exponente,$$r$$, es el resto de esta división. Por ejemplo, para simplificar$$i^{57}$$, dividimos$$57$$ por$$4$$ y obtenemos$$14$$ con un resto de$$1$$. En otras palabras,$$57=4⋅14+1$$. Entonces escribimos$$i^{57}=\left(1^{4}\right)^{14} \cdot i^{1}$$ y luego simplificamos a partir de ahí.

##### Ejemplo$$\PageIndex{14}$$

Simplificar:$$i^{86}$$.

Solución:

$$i^{86}$$

Dividir$$86$$ por$$4$$ y reescribir$$i^{86}$$ en el$$i^{n}=\left(i^{4}\right)^{q} \cdot i^{r}$$ formulario.

$$\left(1^{4}\right)^{21} \cdot i^{2}$$

Simplificar.

$$(1)^{21} \cdot(-1)$$

Simplificar.

$$-1$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{27}$$

Simplificar:$$i^{74}$$.

Contestar

$$-1$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{28}$$

Simplificar:$$i^{92}$$.

Contestar

$$1$$

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción y práctica adicionales con el complejo sistema de números.

• Restar y multiplicar números complejos
• Dividir números complejos
• Reescritura de los poderes de i

## Conceptos clave

• Si$$b$$ es un número real positivo, entonces\ (\ sqrt {-b} =\ sqrt {b} i\
 $$a+bi$$ $$b=0$$ $$a+0\cdot i$$ $$a$$ Número real $$b\neq 0$$ $$a+bi$$ Número imaginario $$a=0$$ $$0+bi$$ $$bi$$ Puro número imaginario
• Un número complejo está en forma estándar cuando se escribe como a + bi, donde a, b son números reales.

Figura 8.8.2
• Si$$a, b$$ son números reales, entonces
$$(a−bi)(a+bi)=a^{2}+b^{2}$$
• Cómo dividir números complejos
3. Simplifica y escribe el resultado en forma estándar.

## Glosario

Un par conjugado complejo es de la forma$$a+bi, a-bi$$.
Un número complejo es de la forma$$a+bi$$, donde$$a$$ y$$b$$ son números reales. Llamamos a$$a$$ la parte real y a$$b$$ la parte imaginaria.
La unidad imaginaria$$i$$ es el número cuyo cuadrado es$$–1$$. $$i^{2}=-1$$o$$i=\sqrt{−1}$$.
Un número complejo está en forma estándar cuando se escribe como$$a+bi$$, donde$$a, b$$ están los números reales.