10.2E: Ejercicios

La práctica hace la perfección

Ejercicio\(\PageIndex{19}\) Find and Evaluate Composite Functions

En los siguientes ejercicios, encuentra

1. \((f \circ g)(x)\)
2. \((g \circ f)(x)\)
3. \((f \cdot g)(x)\)

1. \(f(x)=4 x+3\)y\(g(x)=2 x+5\)
2. \(f(x)=3 x-1\)y\(g(x)=5 x-3\)
3. \(f(x)=6 x-5\)y\(g(x)=4 x+1\)
4. \(f(x)=2 x+7\)y\(g(x)=3 x-4\)
5. \(f(x)=3 x\)y\(g(x)=2 x^{2}-3 x\)
6. \(f(x)=2 x\)y\(g(x)=3 x^{2}-1\)
7. \(f(x)=2 x-1\)y\(g(x)=x^{2}+2\)
8. \(f(x)=4 x+3\)y\(g(x)=x^{2}-4\)

Contestar

1.

1. \(8x+23\)
2. \(8x+11\)
3. \(8 x^{2}+26 x+15\)

3.

1. \(24x+1\)
2. \(24x-19\)
3. \(24x^{2}+19x-5\)

5.

1. \(6 x^{2}-9 x\)
2. \(18 x^{2}-9 x\)
3. \(6 x^{3}-9 x^{2}\)

7.

1. \(2 x^{2}+3\)
2. \(4 x^{2}-4 x+3\)
3. \(2 x^{3}-x^{2}+4 x-2\)

Ejercicio\(\PageIndex{20}\) Find and Evaluate Composite Functions

En los siguientes ejercicios, encuentra los valores descritos.

1. Para funciones\(f(x)=2 x^{2}+3\) y\(g(x)=5x-1\), encontrar
   1. \((f \circ g)(-2)\)
   2. \((g \circ f)(-3)\)
   3. \((f \circ f)(-1)\)
2. Para funciones\(f(x)=5 x^{2}-1\) y\(g(x)=4x−1\), encontrar
   1. \((f \circ g)(1)\)
   2. \((g \circ f)(-1)\)
   3. \((f \circ f)(2)\)
3. Para funciones\(f(x)=2x^{3}\) y\(g(x)=3x^{2}+2\), encontrar
   1. \((f \circ g)(-1)\)
   2. \((g \circ f)(1)\)
   3. \((g \circ g)(1)\)
4. Para funciones\(f(x)=3 x^{3}+1\) y\(g(x)=2 x^{2}=3\), encontrar
   1. \((f \circ g)(-2)\)
   2. \((g \circ f)(-1)\)
   3. \((g \circ g)(1)\)

Contestar

1.

1. \(245\)
2. \(104\)
3. \(53\)

3.

1. \(250\)
2. \(14\)
3. \(77\)

Ejercicio\(\PageIndex{21}\) Determine Whether a Function is One-to-One

En los siguientes ejercicios, determine si el conjunto de pares ordenados representa una función y si es así, es la función uno a uno.

1. \(\begin{array}{l}{\{(-3,9),(-2,4),(-1,1),(0,0)}, {(1,1),(2,4),(3,9) \}}\end{array}\)
2. \(\begin{array}{l}{\{(9,-3),(4,-2),(1,-1),(0,0)}, {(1,1),(4,2),(9,3) \}}\end{array}\)
3. \(\begin{array}{l}{\{(-3,-5),(-2,-3),(-1,-1)}, {(0,1),(1,3),(2,5),(3,7) \}}\end{array}\)
4. \(\begin{array}{l}{\{(5,3),(4,2),(3,1),(2,0)}, {(1,-1),(0,-2),(-1,-3) \}}\end{array}\)

Contestar

1. Función; no uno a uno

3. Función uno a uno

Ejercicio\(\PageIndex{22}\) Determine Whether a Function is One-to-One

En los siguientes ejercicios, determine si cada gráfica es la gráfica de una función y si es así, es uno a uno.

1.

1. 
   
   Figura 10.1.65
2. 
   
   Figura 10.1.66

2.

1. 
   
   Figura 10.1.67
2. 
   
   Figura 10.1.68

3.

1. 
   
   Figura 10.1.69
2. 
   
   Figura 10.1.70

4.

1. 
   
   Figura 10.1.71
2. 
   
   Figura 10.1.72

Contestar

1.

1. No es una función
2. Función; no uno a uno

3.

1. Función uno a uno
2. Función; no uno a uno

Ejercicio\(\PageIndex{23}\) Determine Whether a Function is One-to-One

En los siguientes ejercicios, encuentra la inversa de cada función. Determinar el dominio y el rango de la función inversa.

1. \(\{(2,1),(4,2),(6,3),(8,4)\}\)
2. \(\{(6,2),(9,5),(12,8),(15,11)\}\)
3. \(\{(0,-2),(1,3),(2,7),(3,12)\}\)
4. \(\{(0,0),(1,1),(2,4),(3,9)\}\)
5. \(\{(-2,-3),(-1,-1),(0,1),(1,3)\}\)
6. \(\{(5,3),(4,2),(3,1),(2,0)\}\)

Contestar

1. \(\begin{array}{l}{\text { Inverse function: }\{(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)\} . \text { Domain: }\{1,2,3,4\} . \text { Range: }} {\{2,4,6,8\} .}\end{array}\)

3. \(\begin{array}{l}{\text { Inverse function: }\{(-2,0),(3,1),(7,2),(12,3)\} . \text { Domain: }\{-2,3,7,12\} \text { . }} {\text { Range: }\{0,1,2,3\}}\end{array}\)

5. \(\begin{array}{l}{\text { Inverse function: }\{(-3,-2),(-1,-1),(1,0),(3,1)\} . \text { Domain: }} {\{-3,-1,1,3\} . \text { Range: }\{-2,-1,0,1\}}\end{array}\)

Ejercicio\(\PageIndex{24}\) Determine Whether a Function is One-to-One

En los siguientes ejercicios, grafica, en el mismo sistema de coordenadas, la inversa de la función uno-a-uno que se muestra.

1. 
   
   Figura 10.1.73
2. 
   
   Figura 10.1.74
3. 
   
   Figura 10.1.75
4. 
   
   Figura 10.1.76

Contestar

1.

Figura 10.1.77

3.

Figura 10.1.78

Ejercicio\(\PageIndex{25}\) Determine Whether the given functions are inverses

En los siguientes ejercicios, determinar si las funciones dadas son inversas o no.

1. \(f(x)=x+8\)y\(g(x)=x-8\)
2. \(f(x)=x-9\)y\(g(x)=x+9\)
3. \(f(x)=7 x\)y\(g(x)=\frac{x}{7}\)
4. \(f(x)=\frac{x}{11}\)y\(g(x)=11 x\)
5. \(f(x)=7 x+3\)y\(g(x)=\frac{x-3}{7}\)
6. \(f(x)=5 x-4\)y\(g(x)=\frac{x-4}{5}\)
7. \(f(x)=\sqrt{x+2}\)y\(g(x)=x^{2}-2\)
8. \(f(x)=\sqrt[3]{x-4}\)y\(g(x)=x^{3}+4\)

Contestar

1. \(g(f(x))=x,\)y\(f(g(x))=x,\) así son inversos.

3. \(g(f(x))=x,\)y\(f(g(x))=x,\) así son inversos.

5. \(g(f(x))=x,\)y\(f(g(x))=x,\) así son inversos.

7. \(g(f(x))=x,\)y\(f(g(x))=x,\) así son inversos (para no negativos\(x )\)

Ejercicio\(\PageIndex{26}\) Determine the inverse of a function

En los siguientes ejercicios, encuentra la inversa de cada función.

1. \(f(x)=x-12\)
2. \(f(x)=x+17\)
3. \(f(x)=9 x\)
4. \(f(x)=8 x\)
5. \(f(x)=\frac{x}{6}\)
6. \(f(x)=\frac{x}{4}\)
7. \(f(x)=6 x-7\)
8. \(f(x)=7 x-1\)
9. \(f(x)=-2 x+5\)
10. \(f(x)=-5 x-4\)
11. \(f(x)=x^{2}+6, x \geq 0\)
12. \(f(x)=x^{2}-9, x \geq 0\)
13. \(f(x)=x^{3}-4\)
14. \(f(x)=x^{3}+6\)
15. \(f(x)=\frac{1}{x+2}\)
16. \(f(x)=\frac{1}{x-6}\)
17. \(f(x)=\sqrt{x-2}, x \geq 2\)
18. \(f(x)=\sqrt{x+8}, x \geq-8\)
19. \(f(x)=\sqrt[3]{x-3}\)
20. \(f(x)=\sqrt[3]{x+5}\)
21. \(f(x)=\sqrt[4]{9 x-5}, x \geq \frac{5}{9}\)
22. \(f(x)=\sqrt[4]{8 x-3}, x \geq \frac{3}{8}\)
23. \(f(x)=\sqrt[5]{-3 x+5}\)
24. \(f(x)=\sqrt[5]{-4 x-3}\)

Contestar

1. \(f^{-1}(x)=x+12\)

3. \(f^{-1}(x)=\frac{x}{9}\)

5. \(f^{-1}(x)=6 x\)

7. \(f^{-1}(x)=\frac{x+7}{6}\)

9. \(f^{-1}(x)=\frac{x-5}{-2}\)

11. \(f^{-1}(x)=\sqrt{x-6}\)

13. \(f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x+4}\)

15. \(f^{-1}(x)=\frac{1}{x}-2\)

17. \(f^{-1}(x)=x^{2}+2, x \geq 0\)

19. \(f^{-1}(x)=x^{3}+3\)

21. \(f^{-1}(x)=\frac{x^{4}+5}{9}, x \geq 0\)

23. \(f^{-1}(x)=\frac{x^{5}-5}{-3}\)

Ejercicio\(\PageIndex{27}\) Writing Exercises

1. Explicar cómo se relaciona la gráfica de la inversa de una función con la gráfica de la función.
2. Explicar cómo encontrar la inversa de una función a partir de su ecuación. Usa un ejemplo para demostrar los pasos.

Contestar

1. Las respuestas variarán.

Autocomprobación

a. después de completar los ejercicios, utilice esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

Figura 10.1.79

b. Si la mayoría de sus cheques fueron:

... con confianza. ¡Felicidades! Has logrado los objetivos en esta sección. Reflexiona sobre las habilidades de estudio que usaste para que puedas seguir usándolas. ¿Qué hiciste para confiar en tu capacidad para hacer estas cosas? Ser específico.

... con alguna ayuda. Esto debe abordarse rápidamente porque los temas que no dominas se convierten en baches en tu camino hacia el éxito. En matemáticas cada tema se basa en trabajos anteriores. Es importante asegurarse de tener una base sólida antes de seguir adelante. ¿A quién puedes pedir ayuda? Tus compañeros de clase e instructor son buenos recursos. ¿Hay algún lugar en el campus donde estén disponibles los tutores de matemáticas? ¿Se pueden mejorar tus habilidades de estudio?

... no, ¡no lo consigo! Esta es una señal de advertencia y no debes ignorarla. Debería obtener ayuda de inmediato o rápidamente se verá abrumado. Consulte a su instructor lo antes posible para discutir su situación. Juntos pueden idear un plan para obtener la ayuda que necesita.