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10.3: Evaluar y Graficar Funciones Exponenciales

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    112542
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Objetivos de aprendizaje

    Al final de esta sección, podrás:

    • Graficar funciones exponenciales
    • Resolver ecuaciones exponenciales
    • Usar modelos exponenciales en aplicaciones

    Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

    1. Simplificar:\(\left(\frac{x^{3}}{x^{2}}\right)\).
      Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 5.13.
    2. Evaluar: a.\(2^{0}\) b\(\left(\frac{1}{3}\right)^{0}\).
      Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 5.14.
    3. Evaluar: a.\(2^{−1}\) b\(\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}\).
      Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 5.15.

    Funciones Exponenciales Gráficas

    Las funciones que hemos estudiado hasta ahora no nos dan un modelo para muchos fenómenos naturales. Desde el crecimiento de las poblaciones y la propagación de virus hasta la desintegración radiactiva y el interés compuesto, los modelos son muy diferentes a lo que hemos estudiado hasta ahora. Estos modelos implican funciones exponenciales.

    Una función exponencial es una función de la forma\(f(x)=a^{x}\) donde\(a>0\) y\(a≠1\).

    Definición\(\PageIndex{1}\)

    Una función exponencial, donde\(a>0\) y\(a≠1\), es una función de la forma

    \(f(x)=a^{x}\)

    Observe que en esta función, la variable es el exponente. En nuestras funciones hasta el momento, las variables fueron la base.

    Esta figura muestra tres funciones: f de x es igual a negativo 3x más 4, que está marcado como lineal; f de x es igual a 2x al cuadrado más 5x menos 3, que está marcado como cuadrático; y f de x es igual a 6 a la potencia x, que se marca exponencial. Para las funciones marcadas lineal y cuadrática, x es la base. Para la función marcada exponencial, x es el exponente para la base 6.
    Figura 10.2.1

    Nuestra definición dice\(a≠1\). Si lo dejamos\(a=1\), entonces\(f(x)=a^{x}\) se convierte\(f(x)=1^{x}\). Ya que\(1^{x}=1\) para todos los números reales,\(f(x)=1\). Esta es la función constante.

    Nuestra definición también dice\(a>0\). Si dejamos que una base sea negativa, digamos\(−4\), entonces no\(f(x)=(−4)^{x}\) es un número real cuando\(x=\frac{1}{2}\).

    \(\begin{aligned} f(x) &=(-4)^{x} \\ f\left(\frac{1}{2}\right) &=(-4)^{\frac{1}{2}} \\ f\left(\frac{1}{2}\right) &=\sqrt{-4} \text { not a real number } \end{aligned}\)

    De hecho, no\(f(x)=(−4)^{x}\) sería un número real en ningún momento\(x\) es una fracción con un denominador par. Entonces nuestra definición requiere\(a>0\).

    Al graficar algunas funciones exponenciales, podremos ver sus propiedades únicas.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    En el mismo sistema de coordenadas gráfico\(f(x)=2^{x}\) y\(g(x)=3^{x}\).

    Solución:

    Usaremos el trazado de puntos para graficar las funciones.

    Esta tabla tiene siete filas y cinco columnas. La primera fila es fila de cabecera y lee x, f de x es igual a 2 a la potencia x, (x, f de x), g de x es igual a 3 a la potencia x, y (x, g de x). La segunda fila lee negativo 2, 2 al negativo 2 potencia es igual a 1 dividido por 2 al cuadrado que equivale a 1 sobre 4, (negativo 2, 1 sobre 4), 3 al negativo 2 potencia es igual a 1 dividido por 3 al cuadrado que equivale a 1 sobre 9, (negativo 2, 1 sobre 9). La tercera fila lee negativo 1, 2 al negativo 1 potencia es igual a 1 dividido por 2 a la primera potencia que equivale a 1 sobre 2, (negativo 1, 1 sobre 2), 3 al negativo 1 potencia es igual a 1 dividido por 3 a la primera potencia que equivale a 1 sobre 3, (negativo 1, 1 sobre 3). La cuarta fila dice 0, 2 a la potencia 0 es igual a 1, (0, 1), 3 a la potencia 0 es igual a 1, (0, 1). La quinta fila dice 1, 2 a la potencia 1 es igual a 2, (1, 2), 3 a la potencia 1 es igual a 9, (1, 3). La sexta fila dice 2, 2 a la potencia 2 es igual a 4, (2, 4), 3 a la potencia 2 es igual a 9, (2, 9). La séptima fila dice 3, 2 a la potencia 3 es igual a 8, (3, 8), 3 a la potencia 3 es igual a 27, (3, 27).
    Figura 10.2.2
    Esta figura muestra dos curvas. La primera curva está marcada en azul y pasa por los puntos (negativo 1, 1 sobre 2), (0, 1) y (1, 2). La segunda curva está marcada en rojo y pasa por los puntos (negativo 1, 1 sobre 3), (0, 1) y (1, 3).
    Figura 10.2.3
    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Gráfica:\(f(x)=4^{x}\).

    Contestar
    Esta figura muestra una curva que se inclina rápidamente hacia arriba desde justo arriba (negativo 3, 0) hasta (0, 1) hasta (1, 4).
    Figura 10.2.4
    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Gráfica:\(g(x)=5^{x}\)

    Contestar
    Esta figura muestra una curva que se inclina rápidamente hacia arriba desde justo arriba (negativo 3, 0) hasta (0, 1) hasta (1, 5).
    Figura 10.2.5

    Si observamos las gráficas del Ejemplo 10.2.1 y Ejercicios 10.2.1 y 10.2.2 anteriores, podemos identificar algunas de las propiedades de las funciones exponenciales.

    Las gráficas de\(f(x)=2^{x}\) y\(g(x)=3^{x}\), así como las gráficas de\(f(x)=4^{x}\) y\(g(x)=5^{x}\), todas tienen la misma forma básica. Esta es la forma que esperamos de una función exponencial donde\(a>1\).

    Notamos, que para cada función, la gráfica contiene el punto\((0,1)\). Esto tiene sentido porque\(a^{0}=1\) para cualquiera\(a\).

    La gráfica de cada función,\(f(x)=a^{x}\) también contiene el punto\((1,a)\). La gráfica de\(f(x)=2^{x}\) contenida\((1,2)\) y la gráfica de\(g(x)=3^{x}\) contenida\((1,3)\). Esto tiene sentido como\(a^{1}=a\).

    Observe también, la gráfica de cada función\(f(x)=a^{x}\) también contiene el punto\((−1,\frac{1}{a})\). La gráfica de\(f(x)=2^{x}\) contenida\((−1,\frac{1}{2})\) y la gráfica de\(g(x)=3^{x}\)\((−1,\frac{1}{3})\) contenido.Esto tiene sentido como\(a^{−1}=\frac{1}{a}\).

    ¿Cuál es el dominio para cada función? De las gráficas podemos ver que el dominio es el conjunto de todos los números reales. No hay restricción en el dominio. Escribimos el dominio en notación de intervalos como\((−∞,∞)\).

    Mira cada gráfica. ¿Cuál es el rango de la función? La gráfica nunca golpea el\(x\) eje -axis. El rango es todo números positivos. Escribimos el rango en notación de intervalos como\((0,∞)\).

    Siempre que una gráfica de una función se acerca a una línea pero nunca la toca, llamamos asíntota a esa línea. Para las funciones exponenciales que estamos viendo, la gráfica se acerca muy de cerca\(x\) al eje -pero nunca lo cruzará, llamamos a la línea\(y=0\), al\(x\) eje -eje, una asíntota horizontal.

    Propiedades de la Gráfica de\(f(x)=a^{x}\) cuándo\(a>1\)

    Dominio \((-\infty, \infty)\)
    Rango \((0, \infty)\)
    \(x\)-interceptar Ninguno
    \(y\)-interceptar \((0,1)\)
    Contiene \((1, a),\left(-1, \frac{1}{a}\right)\)
    Asymptota \(x\)-eje, la línea\(y=0\)
    Cuadro 10.2.1
    Esta figura muestra una curva que se inclina hacia arriba desde (negativo 1, 1 sobre a) a (0, 1), hasta (1, a).
    Figura 10.2.6

    Nuestra definición de una función exponencial\(f(x)=a^{x}\) dice\(a>0\), pero los ejemplos y discusión hasta ahora ha sido sobre funciones donde\(a>1\). Qué sucede cuando\(0<a<1\) El siguiente ejemplo explorará esta posibilidad.

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    En el mismo sistema de coordenadas, gráfico\(f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\) y\(g(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\).

    Solución:

    Usaremos el trazado de puntos para graficar las funciones.

    Esta tabla tiene siete filas y cinco columnas. La primera fila es fila de cabecera y lee x, f de x, equivale a 1 sobre 2 a la potencia x, (x, f de x), g de x es igual a 1 sobre 3 a la potencia x, y (x, g de x). La segunda fila lee negativo 2, 1 sobre 2 a la potencia negativa 2 es igual a 2 al cuadrado que equivale a 4, (negativo 2, 4), 3 al negativo 2 potencia es igual a 3 al cuadrado que equivale a 9, (negativo 2, 9). La tercera fila lee negativo 1, 1 sobre 2 a la potencia negativa 1 es igual a 2 a la primera potencia que es igual a 2, (negativo 1, 2), 1 sobre 3 a la potencia negativa 1 es igual a 3 a la primera potencia que es igual a 3, (negativo 1, 3). La cuarta fila dice 0, 1 sobre 2 a la potencia 0 es igual a 1, (0, 1), 1 sobre 3 a la potencia 0 es igual a 1, (0, 1). La quinta fila dice 1, 1 sobre 2 a la potencia 1 equivale a 1 sobre 2, (1, 1 sobre 2), 1 sobre 3 a la potencia 1 es igual a 1 sobre 3, (1, 1 sobre 3). La sexta fila dice 2, 1 sobre 2 a la potencia 2 equivale a 1 sobre 4, (2, 1 sobre 4), 1 sobre 3 a la potencia 2 equivale a 1 sobre 9, (2, 1 sobre 9). La séptima fila dice 3, 1 sobre 2 a la potencia 3 equivale a 1 sobre 8, (3, 1 sobre 8), 1 sobre 3 a la potencia 3 equivale a 1 sobre 27, (3, 1 sobre 27).
    Figura 10.2.7
    Esta figura muestra dos curvas. La primera curva está marcada en azul y pasa por los puntos (negativo 1, 2), (0, 1), y (1, 1 sobre 2). La segunda curva está marcada en rojo y pasa por los puntos (negativo 1, 3), (0, 1), y (1, 1 sobre 3).
    Figura 10.2.8
    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Gráfica:\(f(x)=\left(\frac{1}{4}\right)^{x}\).

    Contestar
    Esta figura muestra una curva que pasa por (negativo 1, 4), (0, 1) hasta un punto justo arriba (3, 0).
    Figura 10.2.9
    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Gráfica:\(g(x)=\left(\frac{1}{5}\right)^{x}\).

    Contestar
    Esta figura muestra una curva que pasa por (negativo 1, 5), (0, 1) hasta un punto justo arriba (3, 0).
    Figura 10.2.10

    Ahora veamos las gráficas del Ejemplo 10.2.2 anterior y Ejercicios 10.2.3 y 10.2.4 para que ahora podamos identificar algunas de las propiedades de las funciones exponenciales donde\(0<a<1\).

    Las gráficas de\(f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\) y así\(g(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\) como las gráficas de\(f(x)=\left(\frac{1}{4}\right)^{x}\) y\(g(x)=\left(\frac{1}{5}\right)^{x}\) todas tienen la misma forma básica. Si bien esta es la forma que esperamos de una función exponencial donde\(0<a<1\), las gráficas bajan de izquierda a derecha mientras que las gráficas anteriores, cuando\(a>1\), iban de arriba de izquierda a derecha.

    Notamos que para cada función, la gráfica aún contiene el punto\((0, 1)\). Esto tiene sentido porque\(a^{0}=1\) para cualquiera\(a\).

    Como antes, la gráfica de cada función,\(f(x)=a^{x}\), también contiene el punto\((1,a)\). La gráfica de\(f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\) contenida\(\left(1, \frac{1}{2}\right)\) y la gráfica de\(g(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\) contenida\(\left(1, \frac{1}{3}\right)\). Esto tiene sentido como\(a^{1}=a\).

    Observe también que la gráfica de cada función,\(f(x)=a^{x}\), también contiene el punto\(\left(-1, \frac{1}{a}\right)\). La gráfica de\(f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\) contenida\((−1,2)\) y la gráfica de\(g(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\) contenida\((−1,3)\). Esto tiene sentido como\(a^{-1}=\frac{1}{a}\).

    ¿Cuál es el dominio y el rango para cada función? De las gráficas podemos ver que el dominio es el conjunto de todos los números reales y escribimos el dominio en notación de intervalos como\((−∞,∞)\). Nuevamente, la gráfica nunca golpea el\(x\) eje -eje. El rango es todo números positivos. Escribimos el rango en notación de intervalos como\((0,∞)\).

    Resumiremos estas propiedades en la tabla a continuación. Que también incluyen cuándo\(a>1\).

    Propiedades de la Gráfica de\(f(x)=a^{x}\)

    Cuando\(a>1\) Cuando\(0<a<1\)
    \ (a">1\) ">Dominio \((-\infty, \infty)\) \ (0<a<1\) ">Dominio \((-\infty, \infty)\)
    \ (a">1\) ">Rango \((0, \infty)\) \ (0<a<1\) ">Rango \((0, \infty)\)
    \ (a">1\) ">\(x\) -interceptar ninguno \ (0<a<1\) ">\(x\) -interceptar ninguno
    \ (a">1\) ">\(y\) -interceptar \((0,1)\) \ (0<a<1\) ">\(y\) -interceptar \((0,1)\)
    \ (a">1\) ">Contiene \((1, a),\left(-1, \frac{1}{a}\right)\) \ (0<a<1\) ">Contiene \((1, a),\left(-1, \frac{1}{a}\right)\)
    \ (a">1\) ">Asymptote

    \(x\)-eje, la línea\(y=0\)

    \ (0<a<1\) ">Asintota \(x\)-eje, la línea\(y=0\)
    \ (a">1\) ">Forma básica aumentando \ (0<a<1\) ">Forma básica decreciente
    Cuadro 10.2.2
    Esta cifra tiene dos partes. A la izquierda, tenemos una curva que pasa a través de (negativo 1, 1 sobre a) a través de (0, 1) a (1, a). A la derecha, donde a se señala que es menor que 1, tenemos una curva que pasa a través de (negativo 1, 1 sobre a) a través de (0, 1) a (1, a).
    Figura 10.2.11

    Es importante para nosotros notar que ambos gráficos son uno a uno, ya que ambos pasan la prueba de línea horizontal. Esto significa que la función exponencial tendrá una inversa. Vamos a ver esto más adelante.

    Cuando graficamos funciones cuadráticas, pudimos graficar usando traducción en lugar de solo trazar puntos. ¿Funcionará eso en graficar funciones exponenciales?

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    En el mismo sistema de coordenadas gráfico\(f(x)=2^{x}\) y\(g(x)=2^{x+1}\).

    Solución:

    Usaremos el trazado de puntos para graficar las funciones.

    Esta tabla tiene siete filas y cinco columnas. La primera fila es fila de cabecera y lee x, f de x es igual a 2 a la potencia x, (x, f de x), g de x es igual a 2 a la potencia x más 1, y (x, g de x). La segunda fila lee negativo 2, 2 al negativo 2 potencia es igual a 1 dividido por 2 al cuadrado que equivale a 1 sobre 4, (negativo 2, 1 sobre 4), 2 al negativo 2 más 1 poder equivale a 1 dividido por 2 a la primera potencia que equivale a 1 sobre 2, (negativo 2, 1 sobre 2). La tercera fila lee negativo 1, 2 al negativo 1 potencia es igual a 1 dividido por 2 a la primera potencia que equivale a 1 sobre 2, (negativo 1, 1 sobre 2), 2 al negativo 1 más 1 poder es igual a 2 a la potencia 0 que es igual a 1, (negativo 1, 1). La cuarta fila dice 0, 2 a la potencia 0 es igual a 1, (0, 1), 2 a la potencia 0 más 1 es igual a 2 a la potencia 1 que equivale a 2, (0, 2). La quinta fila dice 1, 2 a la potencia 1 es igual a 2, (1, 2), 2 a la 1 más 1 potencia equivale a 2 a la segunda potencia que equivale a 4, (1, 4). La sexta fila dice 2, 2 a la potencia 2 es igual a 4, (2, 4), 2 a la potencia 2 más 1 equivale a 2 a la tercera potencia que equivale a 8, (2, 8). La séptima fila dice 3, 2 a la potencia 3 es igual a 8, (3, 8), 2 a la 3 más 1 potencia equivale a 2 a la cuarta potencia que equivale a 16, (3, 16).
    Figura 10.2.12
    Esta figura muestra dos curvas. La primera curva está marcada en azul y pasa por los puntos (negativo 1, 1 sobre 2), (0, 1) y (1, 2). La segunda curva está marcada en rojo y pasa por los puntos (negativos 1, 1), (0, 2) y (1, 4).
    Figura 10.2.13
    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    En el mismo sistema de coordenadas, grafica:\(f(x)=2^{x}\) y\(g(x)=2^{x-1}\).

    Contestar
    Esta figura muestra los gráficos de dos funciones. La primera función f de x es igual a 2 a la potencia x está marcada en azul y corresponde a una curva que pasa por los puntos (negativo 1, 1 sobre 2), (0, 1) y (1, 2). La segunda función g de x es igual a 2 a la potencia x menos 1 se marca en rojo y pasa por los puntos (0, 1 sobre 2), (1, 1) y (2, 2).
    Figura 10.2.14
    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    En el mismo sistema de coordenadas, gráfico\(f(x)=3^{x}\) y\(g(x)=3^{x+1}\).

    Contestar
    Esta figura muestra los gráficos de dos funciones. La primera función f de x es igual a 3 a la potencia x está marcada en azul y corresponde a una curva que pasa por los puntos (negativo 1, 1 sobre 3), (0, 1) y (1, 3). La segunda función g de x es igual a 3 a la potencia x más 1 se marca en rojo y pasa por los puntos (negativo 2, 1 sobre 3), (negativo 1, 1) y (0, 3).
    Figura 10.2.15

    Al mirar las gráficas de las funciones\(f(x)=2^{x}\) y\(g(x)=2^{x+1}\) en el último ejemplo, vemos que sumar una en el exponente provocó un desplazamiento horizontal de una unidad hacia la izquierda. Reconocer este patrón nos permite graficar otras funciones con el mismo patrón por traducción.

    Consideremos ahora otra situación que podría ser graficada más fácilmente por traducción, una vez que reconozcamos el patrón.

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    En el mismo sistema de coordenadas gráfico\(f(x)=3^{x}\) y\(g(x)=3^{x}-2\).

    Solución:

    Usaremos el trazado de puntos para graficar las funciones.

    Esta tabla tiene cinco filas y seis columnas. La primera fila es fila de cabecera y lee x, f de x es igual a 3 a la potencia x, (x, f de x), g de x es igual a 3 a la potencia x menos 2, y (x, g de x). La segunda fila lee negativo 2, 3 a la potencia negativa 2 es igual a 1 sobre 9, (negativo 2, 1 sobre 9), 3 a la potencia negativa 2 menos 2 es igual a 1 sobre 9 menos 2 que equivale a negativo 17 sobre 9, (negativo 2, negativo 17 sobre 9). La tercera fila lee negativo 1, 3 a la potencia negativa 1 es igual a 1 sobre 3, (negativo 1, 1 sobre 3), 3 al negativo 1 potencia menos 2 es igual a 1 sobre 3 menos 2 que equivale a negativo 5 sobre 3, (negativo 1, negativo 5 sobre 3). La cuarta fila dice 0, 3 a la potencia 0 es igual a 1, (0, 1), 3 a la potencia 0 menos 2 es igual a 1 menos 2 que equivale a 1 negativo, (0, 1 negativo). La quinta fila dice 1, 3 a la potencia 1 es igual a 3, (1, 3), 3 a la potencia 1 menos 2 es igual a 3 menos 2 que es igual a 1, (1, 1). La sexta fila dice 2, 3 al cuadrado es igual a 9, (2, 9), 3 al cuadrado menos 2 es igual a 9 menos 2 que es igual a 7, (2, 7).
    Figura 10.2.16
    Esta figura muestra dos curvas. La primera curva está marcada en azul y pasa por los puntos (negativo 1, 1 sobre 3), (0, 1) y (1, 3). La segunda curva está marcada en rojo y pasa por los puntos (negativo 1, negativo 5 sobre 3), (0, negativo 1) y (1, 1).
    Figura 10.2.17
    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    En el mismo sistema de coordenadas, gráfico\(f(x)=3^{x}\) y\(g(x)=3^{x}+2\).

    Contestar
    Esta figura muestra los gráficos de dos funciones. La primera función f de x es igual a 3 a la potencia x está marcada en azul y corresponde a una curva que pasa por los puntos (negativo 1, 1 sobre 3), (0, 1) y (1, 3). La segunda función g de x es igual a 3 a la potencia x más 2 se marca en rojo y pasa por los puntos (negativo 1, 7 sobre 3), (0, 3) y (1, 5).
    Figura 10.2.18
    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    En el mismo sistema de coordenadas, gráfico\(f(x)=4^{x}\) y\(g(x)=4^{x}-2\).

    Contestar
    Esta figura muestra los gráficos de dos funciones. La primera función f de x es igual a 4 a la potencia x está marcada en azul y corresponde a una curva que pasa por los puntos (negativo 1, 1 sobre 4), (0, 1) y (1, 4). La segunda función g de x es igual a 4 a la potencia x menos 2 se marca en rojo y pasa por los puntos (negativo 1, negativo 7 sobre 4), (0, negativo 1) y (1, 2).
    Figura 10.2.19

    Al mirar las gráficas de las funciones\(f(x)=3^{x}\) y\(g(x)=3^{x}−2\) en el último ejemplo, vemos que restar\(2\) provocó un desplazamiento vertical de dos unidades hacia abajo. Observe que la asíntota horizontal también desplazó\(2\) unidades hacia abajo. Reconocer este patrón nos permite graficar otras funciones con el mismo patrón por traducción.
    Todas nuestras funciones exponenciales han tenido como base un número entero o un número racional. Ahora veremos una función exponencial con un número irracional como base.

    Antes de poder mirar esta función exponencial, necesitamos definir el número irracional,\(e\). Este número se utiliza como base en muchas aplicaciones en las ciencias y negocios que son modelados por funciones exponenciales. El número se define como el valor de\(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\) como\(n\) se hace cada vez más grande. Decimos, como se\(n\) acerca al infinito, o aumenta sin ataduras. La tabla muestra el valor de\(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\) para varios valores de\(n\).

    \(n\) \(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\)
    \ (n\) ">\(1\) \ (\ izquierda (1+\ frac {1} {n}\ derecha) ^ {n}\) ">\(2\)
    \ (n\) ">\(2\) \ (\ izquierda (1+\ frac {1} {n}\ derecha) ^ {n}\) ">\(2.25\)
    \ (n\) ">\(5\) \ (\ izquierda (1+\ frac {1} {n}\ derecha) ^ {n}\) ">\(2.48832\)
    \ (n\) ">\(10\) \ (\ izquierda (1+\ frac {1} {n}\ derecha) ^ {n}\) ">\(2.59374246\)
    \ (n\) ">\(100\) \ (\ izquierda (1+\ frac {1} {n}\ derecha) ^ {n}\) ">\(2.704813829 \ldots\)
    \ (n\) ">\(1,000\) \ (\ izquierda (1+\ frac {1} {n}\ derecha) ^ {n}\) ">\(2.716923932 \ldots\)
    \ (n\) ">\(10,000\) \ (\ izquierda (1+\ frac {1} {n}\ derecha) ^ {n}\) ">\(2.718145927 \ldots\)
    \ (n\) ">\(100,000\) \ (\ izquierda (1+\ frac {1} {n}\ derecha) ^ {n}\) ">\(2.718268237 \ldots\)
    \ (n\) ">\(1,000,000\) \ (\ izquierda (1+\ frac {1} {n}\ derecha) ^ {n}\) ">\(2.718280469 \ldots\)
    \ (n\) ">\(1,000,000,000\) \ (\ izquierda (1+\ frac {1} {n}\ derecha) ^ {n}\) ">\(2.718281827 \ldots\)
    Cuadro 10.2.3

    \(e \approx 2.718281827\)

    El número\(e\) es como el número\(π\) en que usamos un símbolo para representarlo porque su representación decimal nunca se detiene ni se repite. El número irracional\(e\) se llama la base natural.

    Definición\(\PageIndex{2}\)

    Base Natural\(e\)

    El número\(e\) se define como el valor de\(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\), a medida que\(n\) aumenta sin límite. Decimos, como se\(n\) acerca al infinito,

    \(e \approx 2.718281827\)

    La función exponencial cuya base es\(e\),\(f(x)=e^{x}\) se llama la función exponencial natural.

    Definición\(\PageIndex{3}\)

    Función Exponencial Natural

    La función exponencial natural es una función exponencial cuya base es\(e\)

    \(f(x)=e^{x}\)

    El dominio es\((−∞,∞)\) y el rango es\((0,∞)\).

    Vamos a graficar la función\(f(x)=e^{x}\) en el mismo sistema de coordenadas que\(g(x)=2^{x}\) y\(h(x)=3^{x}\).

    Esta figura muestra los gráficos de tres funciones. La primera función, f de x es igual a 2 a x, se marca en rojo y pasa por los puntos (negativo 1, negativo 1 sobre 2), (0, negativo 1) y (2, 1). La segunda función, f de x es igual a 3 a la potencia x, está marcada en verde y corresponde a una curva que pasa por los puntos (negativo 1, 1 sobre 3), (0, 1) y (1, 3). La tercera función, f de x es igual a e a la potencia x, está marcada en azul y corresponde a una curva que pasa por los puntos (negativo 1, 1 sobre e), (0, 1) y (0, e).
    Figura 10.2.20

    Observe que la gráfica de\(f(x)=e^{x}\) está “entre” las gráficas de\(g(x)=2^{x}\) y\(h(x)=3^{x}\). ¿Tiene sentido esto como\(2<e<3\)?

    Resolver ecuaciones exponenciales

    Las ecuaciones que incluyen una expresión exponencial\(a^{x}\) se denominan ecuaciones exponenciales. Para resolverlos utilizamos una propiedad que dice siempre\(a>0\) y cuando y\(a≠1\), si\(a^{x}=a^{y}\) entonces es cierto que\(x=y\). Es decir, en una ecuación exponencial, si las bases son iguales entonces los exponentes son iguales.

    Definición\(\PageIndex{4}\)

    Propiedad uno a uno de las ecuaciones exponenciales

    Para\(a>0\) y\(a≠1\),

    Si\(a^{x}=a^{y}\), entonces\(x=y\).

    Para utilizar esta propiedad, debemos estar seguros de que ambos lados de la ecuación están escritos con la misma base.

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\) How to Solve an Exponential Equation

    Resolver:\(3^{2 x-5}=27\).

    Solución:

    Paso 1: Escribe ambos lados de la ecuación con la misma base. Como el lado izquierdo tiene base\(3\), escribimos el lado derecho con base\(3\). \(27=3^{3}\) \(3^{2 x-5}=27\)
    \(3^{2 x-5}=3^{3}\)
    Paso 2: Escribe una nueva ecuación estableciendo iguales los exponentes. Dado que las bases son las mismas, los exponentes deben ser iguales. \(2x-5=3\)
    Paso 3: Resolver la ecuación.

    Añadir\(5\) a cada lado.

    Dividir por\(2\).

    \(\begin{aligned} 2 x &=8 \\ x &=4 \end{aligned}\)
    Paso 4: Verifique la solución. Sustituir\(x=4\) en la ecuación original. \(\begin{aligned} 3^{2 x-5} &=27 \\ 3^{2 \cdot \color{red}{4}\color{black}{-}5} & \stackrel{?}{=} 27 \\ 3^{3} &\stackrel{?}{=}27 \\ 27 &=27 \end{aligned}\)
    Cuadro 10.2.4
    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    Resolver:\(3^{3 x-2}=81\).

    Contestar

    \(x=2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    Resolver:\(7^{x-3}=7\).

    Contestar

    \(x=4\)

    A continuación se resumen los pasos.

    Cómo resolver una función exponencial

    1. Escribe ambos lados de la ecuación con la misma base, si es posible.
    2. Escribe una nueva ecuación estableciendo los exponentes iguales.
    3. Resuelve la ecuación.
    4. Consulta la solución.

    En el siguiente ejemplo, usaremos nuestras propiedades sobre exponentes.

    Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

    Resolver\(\frac{e^{x^{2}}}{e^{3}}=e^{2 x}\).

    Solución:

      \(\frac{e^{x^{2}}}{e^{3}}=e^{2 x}\)
    Utilice la Propiedad de Exponentes:\(\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}\). \(e^{x^{2}-3}=e^{2 x}\)
    Escribe una nueva ecuación estableciendo los exponentes iguales. \(x^{2}-3=2 x\)
    Resuelve la ecuación. \(x^{2}-2 x-3=0\)
      \((x-3)(x+1)=0\)
      \(x=3, x=-1\)
    Consulta las soluciones.  
    .  
    Cuadro 10.2.5
    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    Resolver:\(\frac{e^{x^{2}}}{e^{x}}=e^{2}\).

    Contestar

    \(x=-1, x=2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

    Resolver:\(\frac{e^{x^{2}}}{e^{x}}=e^{6}\).

    Contestar

    \(x=-2, x=3\)

    Usar modelos exponenciales en aplicaciones

    Las funciones exponenciales modelan muchas situaciones. Si tienes una cuenta bancaria, has experimentado el uso de una función exponencial. Existen dos fórmulas que se utilizan para determinar el saldo en la cuenta cuando se ganan intereses. Si un principal,\(P\), se invierte a una tasa de interés\(r\), durante\(t\) años, el nuevo saldo,\(A\), dependerá de la frecuencia con la que se compense los intereses. Si el interés se agrava\(n\) veces al año utilizamos la fórmula\(A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}\). Si el interés se agrava continuamente, utilizamos la fórmula\(A=Pe^{rt}\). Estas son las fórmulas para el interés compuesto.

    Definición\(\PageIndex{5}\)

    Interés Compuesto

    Para un principal,\(P\), invertido a una tasa de interés,\(r\), durante\(t\) años, el nuevo saldo,\(A\), es:

    \(\begin{array}{ll}{A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}} & {\text { when compounded } n \text { times a year. }} \\ {A=P e^{r t}} & {\text { when compounded continuously. }}\end{array}\)

    A medida que trabaja con las fórmulas de interés, a menudo es útil identificar primero los valores de las variables y luego sustituirlos por la fórmula.

    Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

    \(10,000\)Se invirtió un total de $ en un fondo universitario para un nuevo nieto. Si la tasa de interés es\(5\)%, ¿cuánto habrá en la cuenta en\(18\) años por cada método de capitalización?

    1. compuesto trimestral
    2. compuesto mensual
    3. compuesto continuamente

    Solución:

    Identificar los valores de cada variable en las fórmulas. Recuerda expresar el porcentaje como decimal.

    \(\begin{aligned} A &=? \\ P &=\$ 10,000 \\ r &=0.05 \\ t &=18 \text { years } \end{aligned}\)

    a. Para la capitalización trimestral,\(n=4\). Hay\(4\) trimestres en un año.

    \(A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}\)

    Sustituir los valores en la fórmula.

    \(A=10,000\left(1+\frac{0.05}{4}\right)^{4 \cdot 18}\)

    Compute la cantidad. Tenga cuidado de considerar el orden de las operaciones al ingresar la expresión en su calculadora.

    \(A=\$ 24,459.20\)

    b. para la composición mensual,\(n=12\) .Hay\(12\) meses en un año.

    \(A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}\)

    Sustituir los valores en la fórmula.

    \(A=10,000\left(1+\frac{0.05}{12}\right)^{12 \cdot 18}\)

    Compute la cantidad.

    \(A=\$ 24,550.08\)

    c. Para componer continuamente,

    \(A=P e^{r t}\)

    Sustituir los valores en la fórmula.

    \(A=10,000 e^{0.05 \cdot 18}\)

    Compute la cantidad.

    \(A=\$ 24,596.03\)

    Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

    Angela invirtió $\(15,000\) en una cuenta de ahorros. Si la tasa de interés es\(4\)%, ¿cuánto habrá en la cuenta en\(10\) años por cada método de capitalización?

    1. compuesto trimestral
    2. compuesto mensual
    3. compuesto continuamente
    Contestar
    1. $\(22,332.96\)
    2. $\(22,362.49\)
    3. $\(22,377.37\)
    Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

    Allan invirtió $\(10,000\) en un fondo mutuo. Si la tasa de interés es\(5\)%, ¿cuánto habrá en la cuenta en\(15\) años por cada método de capitalización?

    1. compuesto trimestral
    2. compuesto mensual
    3. compuesto continuamente
    Contestar
    1. $\(21,071.81\)
    2. $\(21,137.04\)
    3. $\(21,170.00\)

    Otros temas que son modelados por funciones exponenciales involucran crecimiento y decaimiento. Ambos también utilizan la fórmula\(A=Pe^{rt}\) que usamos para el crecimiento del dinero. Para el crecimiento y la decadencia, generalmente usamos\(A_{0}\), como la cantidad original en lugar de llamarla\(P\), el principal. Vemos que el crecimiento exponencial tiene una tasa de crecimiento positiva y la decadencia exponencial tiene una tasa de crecimiento negativa.

    Definición\(\PageIndex{6}\)

    Crecimiento y Decaimiento Exponencial

    Para una cantidad original,\(A_{0}\), que crece o decae a una tasa\(r\),, por cierto tiempo,\(t\), la cantidad final,\(A\), es:

    \(A=A_{0} e^{r t}\)

    El crecimiento exponencial se observa típicamente en el crecimiento de poblaciones de humanos o animales o bacterias. Nuestro siguiente ejemplo analiza el crecimiento de un virus.

    Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

    Chris es investigador del Centro para el Control y la Prevención de Enfermedades y está tratando de entender el comportamiento de un virus nuevo y peligroso. Comienza su experimento con\(100\) del virus que crece a una tasa de\(25\)% por hora. Verificará el virus en\(24\) horas. ¿Cuántos virus va a encontrar?

    Solución:

    Identificar los valores de cada variable en las fórmulas. Asegúrese de poner el porcentaje en forma decimal. Asegúrese de que las unidades coincidan: la tarifa es por hora y la hora es en horas.

    \(\begin{aligned} A &=? \\ A_{0} &=100 \\ r &=0.25 / \text { hour } \\ t &=24 \text { hours } \end{aligned}\)

    Sustituir los valores en la fórmula:\(A=A_{0} e^{r t}\).

    \(A=100 e^{0.25 \cdot 24}\)

    Compute la cantidad.

    \(A=40,342.88\)

    Redondear al virus entero más cercano.

    \(A=40,343\)

    El investigador encontrará\(40,343\) virus.

    Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

    Otra investigadora del Centro para el Control y la Prevención de Enfermedades, Lisa, está estudiando el crecimiento de una bacteria. Ella inicia su experimento con\(50\) de la bacteria que crece a una tasa de\(15\)% por hora. Él revisará la bacteria cada\(8\) hora. ¿Cuántas bacterias encontrará en\(8\) horas?

    Contestar

    Encontrará\(166\) bacterias.

    Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

    María, bióloga, está observando el patrón de crecimiento de un virus. Comienza con\(100\) del virus que crece a una tasa de\(10\)% por hora. Ella revisará el virus en\(24\) horas. ¿Cuántos virus encontrará?

    Contestar

    Ella encontrará\(1,102\) virus.

    Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción y práctica adicionales con evaluación y graficación de funciones exponenciales.

    Conceptos clave

    • Propiedades de la Gráfica de\(f(x)=a^{x}\):
    Cuando\(a>1\) Cuando\(0<a<1\)
    \ (a">1\) ">Dominio \((-\infty, \infty)\) \ (0<a<1\) ">Dominio \((-\infty, \infty)\)
    \ (a">1\) ">Rango \((0, \infty)\) \ (0<a<1\) ">Rango \((0, \infty)\)
    \ (a">1\) ">\(x\) -interceptar ninguno \ (0<a<1\) ">\(x\) -interceptar ninguno
    \ (a">1\) ">\(y\) -interceptar \((0,1)\) \ (0<a<1\) ">\(y\) -interceptar \((0,1)\)
    \ (a">1\) ">Contiene \((1, a),\left(-1, \frac{1}{a}\right)\) \ (0<a<1\) ">Contiene \((1, a),\left(-1, \frac{1}{a}\right)\)
    \ (a">1\) ">Asymptote

    \(x\)-eje, la línea\(y=0\)

    \ (0<a<1\) ">Asintota \(x\)-eje, la línea\(y=0\)
    \ (a">1\) ">Forma básica aumentando \ (0<a<1\) ">Forma básica decreciente
    Cuadro 10.2.2
    Esta cifra tiene dos partes. A la izquierda, tenemos una curva que pasa a través de (negativo 1, 1 sobre a) a través de (0, 1) a (1, a). A la derecha, donde a se señala que es menor que 1, tenemos una curva que pasa a través de (negativo 1, 1 sobre a) a través de (0, 1) a (1, a).
    Figura 10.2.11
    • Propiedad uno a uno de las ecuaciones exponenciales:
      Para\(a>0\) y\(a≠1\),

      \(A=A_{0} e^{r t}\)

    • Cómo resolver una ecuación exponencial
      1. Escribe ambos lados de la ecuación con la misma base, si es posible.
      2. Escribe una nueva ecuación estableciendo los exponentes iguales.
      3. Resuelve la ecuación.
      4. Consulta la solución.
    • Interés Compuesto: Para un principal,\(P\), invertido a una tasa de interés,\(r\), por\(t\) años, el nuevo saldo,\(A\), es
      \(\begin{array}{ll}{A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}} & {\text { when compounded } n \text { times a year. }} \\ {A=P e^{r t}} & {\text { when compounded continuously. }}\end{array}\)
    • Crecimiento y Decaimiento Exponencial: Para una cantidad original,\(A_{0}\) que crece o decae a un ritmo\(r\),, durante cierto tiempo\(t\), la cantidad final,\(A\), es\(A=A_{0}e^{rt}\).

    Glosario

    asíntota
    Una línea que una gráfica de una función se acerca de cerca pero nunca toca.
    función exponencial
    Una función exponencial, donde\(a>0\) y\(a≠1\), es una función de la forma\(f(x)=a^{x}\).
    base natural
    El número\(e\) se define como el valor de\((1+\frac{1}{n})^{n}\), como\(n\) se hace cada vez más grande. Decimos, como\(n\) aumenta sin ataduras,\(e≈2.718281827...\)
    función exponencial natural
    La función exponencial natural es una función exponencial cuya base es\(e\):\(f(x)=e^{x}\). El dominio es\((−∞,∞)\) y el rango es\((0,∞)\).

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