10.4: Evaluar y graficar funciones logarítmicas
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- Convertir entre forma exponencial y logarítmica
- Evaluar funciones logarítmicas
- Funciones logarítmicas gráficas
- Resolver ecuaciones logarítmicas
- Usar modelos logarítmicos en aplicaciones
Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.
- Resolver:\(x^{2}=81\).
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 6.46. - Evaluar:\(3^{−2}\).
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 5.15. - Resolver:\(2^{4}=3x−5\).
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 2.2.
Hemos dedicado algún tiempo a encontrar la inversa de muchas funciones. Funciona bien para 'deshacer' una operación con otra operación. Restar la suma de 'deshace', la multiplicación 'deshace' la división, tomando la raíz cuadrada 'deshace' al cuadrado.
Al estudiar la función exponencial, vimos que es uno a uno ya que sus gráficas pasan la prueba de líneas horizontales. Esto significa que una función exponencial tiene una inversa. Si probamos nuestro método algebraico para encontrar una inversa, nos encontramos con un problema.
\(f(x)=a^{x}\)
Reescribir con\(y=f(x)\).
\(y=a^{x}\)
Intercambia las variables\(x\) y\(y\).
\(x=a^{y}\)
Resolver para\(y\).
¡Uy! ¡No tenemos forma de resolver para\(y\)!
Para hacer frente a esto definimos la función logaritmo con base a como la inversa de la función exponencial\(f(x)=a^{x}\). Usamos la notación\(f^{−1}(x)=log_{a}x\) y decimos que la función inversa de la función exponencial es la función logarítmica.
La función\(f(x)=\log_{a}x\) es la función logarítmica con base\(a\), donde\(a>0,x>0\), y\(a≠1\).
\(y=\log _{a} x\)es equivalente a\(x=a^{y}\)
Convertir entre forma exponencial y logarítmica
Dado que las ecuaciones\(y=\log _{a} x\) y\(x=a^{y}\) son equivalentes, podemos ir y venir entre ellas. Este suele ser el método para resolver algunas ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Para ayudar con la conversión de ida y vuelta echemos un vistazo de cerca a las ecuaciones. Ver Figura 10.3.1. Observe las posiciones del exponente y la base.
Si nos damos cuenta de que el logaritmo es el exponente facilita la conversión. Quizás quieras repetir, “base al exponente danos el número”.
Convertir a forma logarítmica:
- \(2^{3}=8\)
- \(5^{\frac{1}{2}}=\sqrt{5}\)
- \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=\frac{1}{16}\)
Solución:
Convertir a forma logarítmica:
- \(3^{2}=9\)
- \(7^{\frac{1}{2}}=\sqrt{7}\)
- \(\left(\frac{1}{3}\right)^{x}=\frac{1}{27}\)
- Contestar
-
- \(\log _{3} 9=2\)
- \(\log _{7} \sqrt{7}=\frac{1}{2}\)
- \(\log _{\frac{1}{3}} \frac{1}{27}=x\)
Convertir a forma logarítmica:
- \(4^{3}=64\)
- \(4^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{4}\)
- \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=\frac{1}{32}\)
- Contestar
-
- \(\log _{4} 64=3\)
- \(\log _{4} \sqrt[3]{4}=\frac{1}{3}\)
- \(\log _{\frac{1}{2}} \frac{1}{32}=x\)
En el siguiente ejemplo hacemos lo inverso—convertir la forma logarítmica en forma exponencial.
Convertir a forma exponencial:
- \(2=\log _{8} 64\)
- \(0=\log _{4} 1\)
- \(-3=\log _{10} \frac{1}{1000}\)
Solución:
Convertir a forma exponencial:
- \(3=\log _{4} 64\)
- \(0=\log _{x} 1\)
- \(-2=\log _{10} \frac{1}{100}\)
- Contestar
-
- \(64=4^{3}\)
- \(1=x^{0}\)
- \(\frac{1}{100}=10^{-2}\)
Convertir a forma exponencial:
- \(3=\log _{3} 27\)
- \(0=\log _{x} 1\)
- \(-1=\log _{10} \frac{1}{10}\)
- Contestar
-
- \(27=3^{3}\)
- \(1=x^{0}\)
- \(\frac{1}{10}=10^{-1}\)
Evaluar funciones logarítmicas
Podemos resolver y evaluar ecuaciones logarítmicas utilizando la técnica de convertir la ecuación a su ecuación exponencial equivalente.
Encuentra el valor de\(x\):
- \(\log _{x} 36=2\)
- \(\log _{4} x=3\)
- \(\log _{\frac{1}{2}} \frac{1}{8}=x\)
Solución:
a.
\(\log _{x} 36=2\)
Convertir a forma exponencial.
\(x^{2}=36\)
Resuelve la cuadrática.
\(x=6, \quad \cancel{x=-6}\)
La base de una función logarítmica debe ser positiva, por lo que eliminamos\(x=−6\).
\(x=6 \quad\)Por lo tanto,\(\log _{6} 36=2\)
b.
\(\log _{4} x=3\)
Convertir a forma exponencial.
\(4^{3}=x\)
Simplificar.
\(x=64 \quad\)Por lo tanto\(, \log _{4} 64=3\)
c.
\(\log _{\frac{1}{2}} \frac{1}{8}=x\)
Convertir a forma exponencial.
\(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=\frac{1}{8}\)
Reescribir\(\frac{1}{8}\) como\(\left(\frac{1}{2}\right)^{3}\).
\(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=\left(\frac{1}{2}\right)^{3}\)
Con la misma base, los exponentes deben ser iguales.
\(x=3 \quad\)Por lo tanto\(\log _{\frac{1}{2}} \frac{1}{8}=3\)
Encuentra el valor de\(x\):
- \(\log _{x} 64=2\)
- \(\log _{5} x=3\)
- \(\log _{\frac{1}{2}} \frac{1}{4}=x\)
- Contestar
-
- \(x=8\)
- \(x=125\)
- \(x=2\)
Encuentra el valor de\(x\):
- \(\log _{x} 81=2\)
- \(\log _{3} x=5\)
- \(\log _{\frac{1}{3}} \frac{1}{27}=x\)
- Contestar
-
- \(x=9\)
- \(x=243\)
- \(x=3\)
Cuando vemos una expresión como\(log_{3}27\), podemos encontrar su valor exacto de dos maneras. Por inspección nos damos cuenta que significa “¿\(3\)a qué poder será\(27\)”? Ya que\(3^{3}=27\), sabemos\(log_{3}27=3\). Una forma alternativa es establecer la expresión igual a\(x\) y luego convertirla en una ecuación exponencial.
Encuentra el valor exacto de cada logaritmo sin usar una calculadora:
- \(\log _{5} 25\)
- \(\log _{9} 3\)
- \(\log _{2} \frac{1}{16}\)
Solución:
a.
\(\log _{5} 25\)
\(5\)¿a qué poder será\(25\)?
\(\log _{5} 25=2\)
O
Establezca la expresión igual a\(x\).
\(\log _{5} 25=x\)
Cambiar a forma exponencial.
\(5^{x}=25\)
Reescribir\(25\) como\(5^{2}\).
\(5^{x}=5^{2}\)
Con la misma base los exponentes deben ser iguales.
\(x=2 \quad\)Por lo tanto\(, \log _{5} 25=2\).
b.
\(\log _{9} 3\)
Establezca la expresión igual a\(x\).
\(\log _{9} 3=x\)
Cambiar a forma exponencial.
\(9^{x}=3\)
Reescribir\(9\) como\(3^{2}\).
\(\left(3^{2}\right)^{x}=3^{1}\)
Simplifica los exponentes.
\(3^{2 x}=3^{1}\)
Con la misma base los exponentes deben ser iguales.
\(2 x=1\)
Resuelve la ecuación.
\(x=\frac{1}{2} \quad\)Por lo tanto\(, \log _{9} 3=\frac{1}{2}\).
c.
\(\log _{2} \frac{1}{16}\)
Establezca la expresión igual a\(x\).
\(\log _{2} \frac{1}{16}=x\)
Cambiar a forma exponencial.
\(2^{x}=\frac{1}{16}\)
Reescribir\(16\) como\(2^{4}\).
\(2^{x}=\frac{1}{2^{4}}\)
\(2^{x}=2^{-4}\)
Con la misma base los exponentes deben ser iguales.
\(x=-4 \quad\)Por lo tanto\(, \log _{2} \frac{1}{16}=-4\).
Encuentra el valor exacto de cada logaritmo sin usar una calculadora:
- \(\log _{12} 144\)
- \(\log _{4} 2\)
- \(\log _{2} \frac{1}{32}\)
- Contestar
-
- \(2\)
- \(\frac{1}{2}\)
- \(-5\)
Encuentra el valor exacto de cada logaritmo sin usar una calculadora:
- \(\log _{9} 81\)
- \(\log _{8} 2\)
- \(\log _{3} \frac{1}{9}\)
- Contestar
-
- \(2\)
- \(\frac{1}{3}\)
- \(-2\)
Funciones logarítmicas gráficas
Para graficar una función logarítmica\(y=log_{a}x\), es más fácil convertir la ecuación a su forma exponencial,\(x=a^{y}\). Generalmente, cuando buscamos pares ordenados para la gráfica de una función, generalmente elegimos un\(x\) -value y luego determinamos su\(y\) valor -correspondiente. En este caso puede resultarle más fácil elegir\(y\) -valores y luego determinar su\(x\) valor -correspondiente.
Gráfica\(y=\log _{2} x\).
Solución:
Para graficar la función, primero reescribiremos la ecuación logarítmica\(y=\log _{2} x\),, en forma exponencial,\(2^{y}=x\).
Usaremos el trazado de puntos para graficar la función. Será más fácil comenzar con valores de\(y\) y luego obtener\(x\).
| \(y\) | \(2^{y}=x\) | \((x,y)\) |
|---|---|---|
| \ (y\) ">\(-2\) | \ (2^ {y} =x\) ">\(2^{-2}=\frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{4}\) | \ ((x, y)\) ">\((\frac{1}{4},2)\) |
| \ (y\) ">\(-1\) | \ (2^ {y} =x\) ">\(2^{-1}=\frac{1}{2^{1}}=\frac{1}{2}\) | \ ((x, y)\) ">\((\frac{1}{2},-1)\) |
| \ (y\) ">\(0\) | \ (2^ {y} =x\) ">\(2^{0}=1\) | \ ((x, y)\) ">\((1,0)\) |
| \ (y\) ">\(1\) | \ (2^ {y} =x\) ">\(2^{1}=2\) | \ ((x, y)\) ">\((2,1)\) |
| \ (y\) ">\(2\) | \ (2^ {y} =x\) ">\(2^{2}=4\) | \ ((x, y)\) ">\((4,2)\) |
| \ (y\) ">\(3\) | \ (2^ {y} =x\) ">\(2^{3}=8\) | \ ((x, y)\) ">\((8,3)\) |
Gráfica:\(y=\log _{3} x\).
- Contestar
-
Figura 10.3.5
Gráfica:\(y=\log _{5} x\).
- Contestar
-
Figura 10.3.6
Las gráficas de\(y=\log _{2} x, y=\log _{3} x\), y\(y=\log _{5} x\) son la forma que esperamos de una función logarítmica donde\(a>1\).
Notamos que para cada función la gráfica contiene el punto\((1,0)\). Esto tiene sentido porque\(0=log_{a}1\) significa\(a^{0}=1\) que es cierto para cualquiera\(a\).
La gráfica de cada función, también contiene el punto\((a,1)\). Esto tiene sentido como\(1=\log _{a} a\) medio\(a^{1}=a\). lo cual es cierto para cualquiera\(a\).
Observe también, la gráfica de cada función\(y=\log _{a} x\) también contiene el punto\(\left(\frac{1}{a},-1\right)\). Esto tiene sentido como\(-1=\log _{a} \frac{1}{a}\) medio\(a^{-1}=\frac{1}{a}\), lo cual es cierto para cualquiera\(a\).
Mira cada gráfica de nuevo. Ahora veremos que muchas características de la función logaritmo son simplemente 'imágenes espejadas' de las características de la función exponencial correspondiente.
¿Cuál es el dominio de la función? La gráfica nunca golpea el\(y\) eje -axis. El dominio es todo números positivos. Escribimos el dominio en notación de intervalos como\((0,∞)\).
¿Cuál es el rango para cada función? De las gráficas podemos ver que el rango es el conjunto de todos los números reales. No hay restricción en el rango. Escribimos el rango en notación de intervalos como\((−∞,∞)\).
Cuando la gráfica se acerca muy de cerca\(y\) al eje -pero nunca lo cruzará, llamamos a la línea\(x=0\), al\(y\) eje, una asíntota vertical.
| Dominio | \((0, \infty)\) |
| Rango | \((-\infty, \infty)\) |
| \(x\)-interceptar | \((1,0)\) |
| \(y\)-interceptar | Ninguno |
| Contiene | \((a, 1),\left(\frac{1}{a},-1\right)\) |
| Asymptota | \(y\)-eje |
Nuestro siguiente ejemplo mira la gráfica de\(y=log_{a}x\) cuándo\(0<a<1\).
Gráfica\(y=\log _{\frac{1}{3}} x\).
Solución:
Para graficar la función, primero reescribiremos la ecuación logarítmica\(y=\log _{\frac{1}{3}} x\),, en forma exponencial,\(\left(\frac{1}{3}\right)^{y}=x\).
Usaremos el trazado de puntos para graficar la función. Será más fácil comenzar con valores de\(y\) y luego obtener\(x\).
| \(y\) | \(\left(\frac{1}{3}\right)^{y}=x\) | \((x,y)\) |
|---|---|---|
| \ (y\) ">\(-2\) | \ (\ izquierda (\ frac {1} {3}\ derecha) ^ {y} =x\) ">\(\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}=3^{2}=9\) | \ ((x, y)\) ">\((9,-2)\) |
| \ (y\) ">\(-1\) | \ (\ izquierda (\ frac {1} {3}\ derecha) ^ {y} =x\) ">\(\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}=3^{1}=3\) | \ ((x, y)\) ">\((3,-1)\) |
| \ (y\) ">\(0\) | \ (\ izquierda (\ frac {1} {3}\ derecha) ^ {y} =x\) ">\(\left(\frac{1}{3}\right)^{0}=1\) | \ ((x, y)\) ">\((1,0)\) |
| \ (y\) ">\(1\) | \ (\ izquierda (\ frac {1} {3}\ derecha) ^ {y} =x\) ">\(\left(\frac{1}{3}\right)^{1}=\frac{1}{3}\) | \ ((x, y)\) ">\(\left(\frac{1}{3}, 1\right)\) |
| \ (y\) ">\(2\) | \ (\ izquierda (\ frac {1} {3}\ derecha) ^ {y} =x\) ">\(\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}\) | \ ((x, y)\) ">\(\left(\frac{1}{9}, 2\right)\) |
| \ (y\) ">\(3\) | \ (\ izquierda (\ frac {1} {3}\ derecha) ^ {y} =x\) ">\(\left(\frac{1}{3}\right)^{3}=\frac{1}{27}\) | \ ((x, y)\) ">\(\left(\frac{1}{27}, 3\right)\) |
Gráfica:\(y=\log _{\frac{1}{2}} x\).
- Contestar
-
Gráfica:\(y=\log _{\frac{1}{4}} x\).
- Contestar
-
Ahora, veamos las gráficas\(y=\log _{\frac{1}{2}} x, y=\log _{\frac{1}{3}} x\) y\(y=\log _{\frac{1}{4}} x\), así podremos identificar algunas de las propiedades de las funciones logarítmicas donde\(0<a<1\).
Las gráficas de todas tienen la misma forma básica. Si bien esta es la forma que esperamos de una función logarítmica donde\(0<a<1\).
Notamos, que para cada función de nuevo, la gráfica contiene los puntos,\((1,0),(a, 1),\left(\frac{1}{a},-1\right)\). Esto tiene sentido por las mismas razones que argumentamos anteriormente.
Notamos que el dominio y el rango también son los mismos: el dominio es\((0,∞)\) y el rango es\((−∞,∞)\). El\(y\) eje -es nuevamente la asíntota vertical.
Resumiremos estas propiedades en la tabla a continuación. Que también incluyen cuándo\(a>1\).
| Cuando\(a>1\) | Cuando\(0<a<1\) | ||
|---|---|---|---|
| \ (a">1\) ">Dominio | \((0, \infty)\) | \ (0<a<1\) ">Dominio | \((0, \infty)\) |
| \ (a">1\) ">Rango | \((-\infty, \infty)\) | \ (0<a<1\) ">Rango | \((-\infty, \infty)\) |
| \ (a">1\) ">\(x\) -interceptar | \((1,0)\) | \ (0<a<1\) ">\(x\) -interceptar | \((1,0)\) |
| \ (a">1\) ">\(y\) -interceptar | Ninguno | \ (0<a<1\) ">\(y\) -interceptar | Ninguno |
| \ (a">1\) ">Contiene | \((a, 1),\left(\frac{1}{a},-1\right)\) | \ (0<a<1\) ">Contiene | \((a, 1),\left(\frac{1}{a},-1\right)\) |
| \ (a">1\) ">Asymptote | \(y\)-eje | \ (0<a<1\) ">Asymptote | \(y\)-eje |
| \ (a">1\) ">Forma básica | Incrementando | \ (0<a<1\) ">Forma básica | Disminuyendo |
Hablamos antes de cómo la función logarítmica\(f^{-1}(x)=\log _{a} x\) es la inversa de la función exponencial\(f(x)=a^{x}\). Las gráficas de la Figura 10.3.12 muestran las funciones exponencial (azul) y logarítmica (roja) en la misma gráfica para ambos\(a>1\) y\(0<a<1\).
Observe cómo las gráficas son reflejos unos de otros a través de la línea\(y=x\). Sabemos que esto es cierto en el caso de las funciones inversas. Mantener una visión en tu mente de estas gráficas te ayudará a recordar el dominio y el rango de cada función. Observe que el\(x\) eje -es la asíntota horizontal para las funciones exponenciales y el\(y\) eje es la asíntota vertical para las funciones logarítmicas.
Resolver ecuaciones logarítmicas
Cuando hablamos de funciones exponenciales, introdujimos el número\(e\). Así como\(e\) era una base para una función exponencial, también se puede usar una base para funciones logarítmicas. La función logarítmica con base\(e\) se llama la función logarítmica natural. La función\(f(x)=\log _{e} x\) es generalmente escrita\(f(x)=\ln x\) y la leemos como “el en of”\(x\).
La función\(f(x)=\ln x\) es la función logarítmica natural con base\(e\), donde\(x>0\).
\(y=\ln x\)es equivalente a\(x=e^{y}\)
Cuando la base de la función logaritmo es\(10\), la llamamos la función logarítmica común y la base no se muestra. Si no se muestra la base\(a\) de un logaritmo, asumimos que lo es\(10\).
La función\(f(x)=\log x\) es la función logarítmica común con base\(10\), donde\(x>0\).
\(y=\log x\)es equivalente a\(x=10^{y}\)
Para resolver ecuaciones logarítmicas, una estrategia es cambiar la ecuación a forma exponencial y luego resolver la ecuación exponencial como hicimos antes. A medida que resolvemos ecuaciones logarítmicas\(y=log_{a}x\),, tenemos que recordar eso para la base\(a\),\(a>0\) y\(a≠1\). También, el dominio es\(x>0\). Al igual que con las ecuaciones radicales, debemos verificar nuestras soluciones para eliminar cualquier solución extraña.
Resolver:
- \(\log _{a} 49=2\)
- \(\ln x=3\)
Solución:
a.
\(\log _{a} 49=2\)
Reescribir en forma exponencial.
\(a^{2}=49\)
Resuelve la ecuación usando la propiedad raíz cuadrada.
\(a=\pm 7\)
La base no puede ser negativa, así que eliminamos\(a=-7\).
\(a=7, \quad \cancel{a=-7}\)
Cheque. \(a=7\)
\(\begin{aligned} \log _{a} 49&=2 \\ \log_{7}49&\stackrel{?}{=}2 \\ 7^{2}&\stackrel{?}{=}49 \\ 49&=49 \end{aligned}\)
b.
\(\ln x=3\)
Reescribir en forma exponencial.
\(e^{3}=x\)
Cheque. \(x=e^{3}\)
\(\begin{aligned} \ln x &=3 \\ \ln e^{3} & \stackrel{?}{=} 3 \\ e^{3} &=e^{3} \end{aligned}\)
Resolver:
- \(\log _{a} 121=2\)
- \(\ln x=7\)
- Contestar
-
- \(a=11\)
- \(x=e^{7}\)
Resolver:
- \(\log _{a} 64=3\)
- \(\ln x=9\)
- Contestar
-
- \(a=4\)
- \(x=e^{9}\)
Resolver:
- \(\log _{2}(3 x-5)=4\)
- \(\ln e^{2 x}=4\)
Solución:
a.
\(\log _{2}(3 x-5)=4\)
Reescribir en forma exponencial.
\(2^{4}=3 x-5\)
Simplificar.
\(16=3 x-5\)
Resuelve la ecuación.
\(21=3 x\)
\(7=x\)
Cheque. \(x=7\)
\(\begin{aligned} \log _{2}(3 x-5)&=4 \\ \log_{2}(3\cdot7-5)&\stackrel{?}{=}4\\ \log_{2}(16)&\stackrel{?}{=}4 \\ 2^{4}& \stackrel{?}{=}16 \\ 16&=16 \end{aligned}\)
b.
\(\ln e^{2 x}=4\)
Reescribir en forma exponencial.
\(e^{4}=e^{2 x}\)
Dado que las bases son iguales los exponentes son iguales.
\(4=2 x\)
Resuelve la ecuación.
\(2=x\)
Cheque. \(x=2\)
\(\begin{aligned} \ln e^{2 x} &=4 \\ \ln e^{2 \cdot 2} & \stackrel{?}{=} 4 \\ \ln e^{4} &=4 \\ e^{4} &=e^{4} \end{aligned}\)
Resolver:
- \(\log _{2}(5 x-1)=6\)
- \(\ln e^{3 x}=6\)
- Contestar
-
- \(x=13\)
- \(x=2\)
Resolver:
- \(\log _{3}(4 x+3)=3\)
- \(\ln e^{4 x}=4\)
- Contestar
-
- \(x=6\)
- \(x=1\)
Usar modelos logarítmicos en aplicaciones
Hay muchas aplicaciones que se modelan mediante ecuaciones logarítmicas. Primero veremos la ecuación logarítmica que da el nivel de sonido de decibelios (dB). Los decibelios van desde\(0\), que es apenas audible hasta\(160\), que puede romperse un tímpano. El\(10^{−12}\) en la fórmula representa la intensidad del sonido que apenas es audible.
Nivel de sonido de decibelios
El nivel de sonoridad\(D\),, medido en decibelios, de un sonido de intensidad,\(I\), medido en vatios por pulgada cuadrada es
\(D=10 \log \left(\frac{I}{10^{-12}}\right)\)
La exposición prolongada al ruido que mide\(85\) dB puede causar daños permanentes en el oído interno lo que resultará en pérdida auditiva. ¿Cuál es el nivel de decibelios de la música que viene a través de auriculares con intensidad\(10^{−2}\) vatios por pulgada cuadrada?
Solución:
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| Sustituto en el nivel de intensidad,\(I\). |  |
| Simplificar. |  |
| Ya que\(\log 10^{10}=10\). |  |
| Multiplicar. |  |
| El nivel de decibelios de la música que llega a través de los auriculares es\(100\) dB. |
¿Cuál es el nivel de decibelios de uno de los nuevos lavavajillas silenciosos con intensidad\(10^{−7}\) vatios por pulgada cuadrada?
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Los silenciosos lavavajillas tienen un nivel de decibelios de\(50\) dB.
¿Cuál es el nivel de decibelios de tráfico urbano pesado con intensidad\(10^{−3}\) vatios por pulgada cuadrada?
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El nivel de decibelios del tráfico pesado es\(90\) dB.
La magnitud\(R\) de un sismo se mide mediante una escala logarítmica llamada escala de Richter. El modelo es\(R=\log I\), donde\(I\) está la intensidad de la onda de choque. Este modelo proporciona una manera de medir la intensidad del terremoto.
La magnitud\(R\) de un sismo se mide por\(R=\log I\), donde\(I\) está la intensidad de su onda de choque.
En 1906, San Francisco experimentó un intenso terremoto con una magnitud de\(7.8\) en la escala de Richter. Más del\(80\)% de la ciudad fue destruida por los incendios resultantes. En 2014, Los Ángeles experimentó un sismo moderado que midió\(5.1\) en la escala de Richter y causó daños de $\(108\) millones de dólares. Comparar las intensidades de los dos sismos.
Solución:
Para comparar las intensidades, primero necesitamos convertir las magnitudes en intensidades usando la fórmula logarítmica. Entonces estableceremos una relación para comparar las intensidades.
Convertir las magnitudes en intensidades.
\(R=\log I\)
Terremoto de 1906
\(7.8=\log I\)
Convertir a forma exponencial.
\(I=10^{7.8}\)
Terremoto de 2014
\(5.1=\log I\)
Convertir a forma exponencial.
\(I=10^{5.1}\)
Formar una relación de las intensidades.
\(\frac{\text { Intensity for } 1906}{\text { Intensity for } 2014}\)
Sustituto en los valores.
\(\frac{10^{7.8}}{10^{5.1}}\)
Dividir restando los exponentes.
\(10^{2.7}\)
Evaluar.
\(501\)
La intensidad del sismo de 1906 fue aproximadamente\(501\) veces la intensidad del sismo de 2014.
En 1906, San Francisco experimentó un intenso terremoto con una magnitud de\(7.8\) en la escala de Richter. En 1989, el sismo de Loma Prieta también afectó la zona de San Francisco, y midió\(6.9\) en la escala de Richter. Comparar las intensidades de los dos sismos.
- Contestar
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La intensidad del sismo de 1906 fue aproximadamente\(8\) veces la intensidad del sismo de 1989.
En 2014, Chile experimentó un intenso sismo con una magnitud de\(8.2\) en la escala de Richter. En 2014, Los Ángeles también experimentó un terremoto que midió\(5.1\) en la escala de Richter. Comparar las intensidades de los dos sismos.
- Contestar
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La intensidad del sismo en Chile fue aproximadamente\(1,259\) veces la intensidad del sismo en Los Ángeles.
Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción y práctica adicionales con funciones logarítmicas de evaluación y representación gráfica.
Conceptos clave
- Propiedades de la Gráfica de\(y=\log _{a} x\):
| Cuando\(a>1\) | Cuando\(0<a<1\) | ||
|---|---|---|---|
| \ (a">1\) ">Dominio | \((0, \infty)\) | \ (0<a<1\) ">Dominio | \((0, \infty)\) |
| \ (a">1\) ">Rango | \((-\infty, \infty)\) | \ (0<a<1\) ">Rango | \((-\infty, \infty)\) |
| \ (a">1\) ">\(x\) -interceptar | \((1,0)\) | \ (0<a<1\) ">\(x\) -interceptar | \((1,0)\) |
| \ (a">1\) ">\(y\) -interceptar | Ninguno | \ (0<a<1\) ">\(y\) -interceptar | Ninguno |
| \ (a">1\) ">Contiene | \((a, 1),\left(\frac{1}{a},-1\right)\) | \ (0<a<1\) ">Contiene | \((a, 1),\left(\frac{1}{a},-1\right)\) |
| \ (a">1\) ">Asymptote | \(y\)-eje | \ (0<a<1\) ">Asymptote | \(y\)-eje |
| \ (a">1\) ">Forma básica | Incrementando | \ (0<a<1\) ">Forma básica | Disminuyendo |
- Nivel de sonido de decibelios: El nivel de sonoridad\(D\),, medido en decibelios, de un sonido de intensidad\(I\),, medido en vatios por pulgada cuadrada es\(D=10 \log \left(\frac{I}{10^{-12}}\right)\).
- Intensidad sísmica: La magnitud\(R\) de un sismo se mide por\(R=\log I\), donde\(I\) está la intensidad de su onda de choque.
Glosario
- función logarítmica común
- La función\(f(x)=\log x\) es la función logarítmica común con base\(10\), donde\(x>0\).
\(y=\log x\)es equivalente a\(x=10^{y}\)
- función logarítmica
- La función\(f(x)=\log _{a} x\) es la función logarítmica con base\(a\), donde\(a>0,x>0\), y\(a≠1\).
\(y=\log _{a} x\)es equivalente a\(x=a^{y}\)
- función logarítmica natural
- La función\(f(x)=\ln x\) es la función logarítmica natural con base\(e\), donde\(x>0\).
\(y=\ln x\)es equivalente a\(x=e^{y}\)