10.5: Utilizar las propiedades de logaritmos
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- Utilizar las propiedades de logaritmos
- Usar la fórmula de cambio de base
Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.
- Evaluar: a.\(a^{0}\) b\(a^{1}\).
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 5.14. - Escribir con un exponente racional:\(\sqrt[3]{x^{2} y}\).
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 8.27. - Redondear a tres decimales:\(2.5646415\).
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 1.34.
Utilizar las propiedades de logaritmos
Ahora que hemos aprendido sobre las funciones exponenciales y logarítmicas, podemos introducir algunas de las propiedades de los logaritmos. Estos serán de gran ayuda ya que continuemos resolviendo ecuaciones tanto exponenciales como logarítmicas.
Las dos primeras propiedades derivan de la definición de logaritmos. Ya que\(a^{0}=1\), podemos convertir esto a forma logarítmica y get\(\log _{a} 1=0\). También, ya que\(a^{1}=a\), obtenemos\(\log _{a} a=1\).
Propiedades de logaritmos
\(\log _{a} 1=0 \quad \log _{a} a=1\)
En el siguiente ejemplo podríamos evaluar el logaritmo convirtiendo a forma exponencial, como lo hemos hecho anteriormente, pero reconocer y luego aplicar las propiedades ahorra tiempo.
Evaluar usando las propiedades de logaritmos:
- \(\log _{8} 1\)
- \(\log _{6} 6\)
Solución:
a.
\(\log _{8} 1\)
Utilice la propiedad,\(\log _{a} 1=0\).
\(0 \quad \log _{8} 1=0\)
b.
\(\log _{6} 6\)
Utilice la propiedad,\(\log _{a} a=1\).
\(1 \quad \log _{6} 6=1\)
Evaluar usando las propiedades de logaritmos:
- \(\log _{13} 1\)
- \(\log _{9} 9\)
- Contestar
-
- \(0\)
- \(1\)
Evaluar usando las propiedades de logaritmos:
- \(\log _{5} 1\)
- \(\log _{7} 7\)
- Contestar
-
- \(0\)
- \(1\)
Las siguientes dos propiedades también se pueden verificar convirtiéndolas de forma exponencial a forma logarítmica, o a la inversa.
La ecuación exponencial se\(a^{\log _{a} x}=x\) convierte en la ecuación logarítmica\(\log _{a} x=\log _{a} x\), que es una declaración verdadera para valores positivos por\(x\) solo.
La ecuación logarítmica se\(\log _{a} a^{x}=x\) convierte en la ecuación exponencial\(a^{x}=a^{x}\), que también es una afirmación verdadera.
Estas dos propiedades se llaman propiedades inversas porque, cuando tenemos la misma base, elevando a una potencia “deshace” el tronco y tomando el registro “deshace” subiendo a una potencia. Estas dos propiedades muestran la composición de las funciones. Ambos terminaron con la función de identidad que muestra nuevamente que las funciones exponenciales y logarítmicas son funciones inversas.
Propiedades inversas de logaritmos
Para\(a>0, x>0\) y\(a \neq 1\),
\(a^{\log _{a} x}=x \quad \log _{a} a^{x}=x\)
En el siguiente ejemplo, aplicar las propiedades inversas de logaritmos.
Evaluar usando las propiedades de logaritmos:
- \(4^{\log _{4} 9}\)
- \(\log _{3} 3^{5}\)
Solución:
a.
\(4^{\log _{4} 9}\)
Utilice la propiedad,\(a^{\log _{a} x}=x\).
\(9 \quad 4^{\log _{4} 9}=9\)
b.
\(\log _{3} 3^{5}\)
Utilice la propiedad,\(a^{\log _{a} x}=x\).
\(5 \quad \log _{3} 3^{5}=5\)
Evaluar usando las propiedades de logaritmos:
- \(5^{\log _{5} 15}\)
- \(\log _{7} 7^{4}\)
- Contestar
-
- \(15\)
- \(4\)
Evaluar usando las propiedades de logaritmos:
- \(2^{\log _{2} 8}\)
- \(\log _{2} 2^{15}\)
- Contestar
-
- \(8\)
- \(15\)
Hay tres propiedades más de logaritmos que serán útiles en nuestro trabajo. Sabemos que las funciones exponenciales y la función logarítmica están muy interrelacionadas. Nuestra definición de logaritmo nos muestra que un logaritmo es el exponente del exponencial equivalente. Las propiedades de los exponentes tienen propiedades relacionadas para los exponentes.
En la Propiedad Producto de Exponentes,\(a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}\), vemos que para multiplicar la misma base, sumamos los exponentes. El Producto Propiedad de Logaritmos, nos\(\log _{a} M \cdot N=\log _{a} M+\log _{a} N\) dice que tomemos el registro de un producto, añadimos el registro de los factores.
Propiedad del producto de logaritmos
Si\(M>0, N>0, \mathrm{a}>0\) y\(\mathrm{a} \neq 1,\) entonces
\(\log _{a}(M \cdot N)=\log _{a} M+\log _{a} N\)
El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos.
Utilizamos esta propiedad para escribir el registro de un producto como una suma de los registros de cada factor.
Utilice la Propiedad Producto de logaritmos para escribir cada logaritmo como una suma de logaritmos. Simplifique, si es posible:
- \(\log _{3} 7 x\)
- \(\log _{4} 64 x y\)
Solución:
a.
\(\log _{3} 7 x\)
Utilice la Propiedad del Producto,\(\log _{a}(M \cdot N)=\log _{a} M+\log _{a} N\).
\(\log _{3} 7+\log _{3} x\)
\(\log _{3} 7 x=\log _{3} 7+\log _{3} x\)
b.
\(\log _{4} 64 x y\)
Utilice la Propiedad del Producto,\(\log _{a}(M \cdot N)=\log _{a} M+\log _{a} N\).
\(\log _{4} 64+\log _{4} x+\log _{4} y\)
Simplificar estar evaluando,\(\log _{4} 64\).
\(3+\log _{4} x+\log _{4} y\)
\(\log _{4} 64 x y=3+\log _{4} x+\log _{4} y\)
Utilice la Propiedad Producto de logaritmos para escribir cada logaritmo como una suma de logaritmos. Simplifique, si es posible:
- \(\log _{3} 3 x\)
- \(\log _{2} 8 x y\)
- Contestar
-
- \(1+\log _{3} x\)
- \(3+\log _{2} x+\log _{2} y\)
Utilice la Propiedad Producto de logaritmos para escribir cada logaritmo como una suma de logaritmos. Simplifique, si es posible:
- \(\log _{9} 9 x\)
- \(\log _{3} 27 x y\)
- Contestar
-
- \(1+\log _{9} x\)
- \(3+\log _{3} x+\log _{3} y\)
De igual manera, en la Propiedad Cociente de Exponentes\(\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}\),, vemos que para dividir la misma base, restamos los exponentes. El cociente Propiedad de logaritmos, nos\(\log _{a} \frac{M}{N}=\log _{a} M-\log _{a} N\) dice que tomemos el log de un cociente, restamos el log del numerador y denominador.
Propiedad del cociente de logaritmos
Si\(M>0, N>0, \mathrm{a}>0\) y\(\mathrm{a} \neq 1,\) entonces
\(\log _{a} \frac{M}{N}=\log _{a} M-\log _{a} N\)
El logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos.
Tenga en cuenta que\(\log _{a} M=\log _{a} N \not=\log _{a}(M-N)\).
Utilizamos esta propiedad para escribir el log de un cociente como diferencia de los logs de cada factor.
Utilice la propiedad de cociente de logaritmos para escribir cada logaritmo como una diferencia de logaritmos. Simplificar, si es posible.
- \(\log _{5} \frac{5}{7}\)
- \(\log \frac{x}{100}\)
Solución:
a.
\(\log _{5} \frac{5}{7}\)
Utilizar la Propiedad Cociente,\(\log _{a} \frac{M}{N}=\log _{a} M-\log _{a} N\).
\(\log _{5} 5-\log _{5} 7\)
Simplificar.
\(1-\log _{5} 7\)
\(\log _{5} \frac{5}{7}=1-\log _{5} 7\)
b.
\(\log \frac{x}{100}\)
Utilizar la Propiedad Cociente,\(\log _{a} \frac{M}{N}=\log _{a} M-\log _{a} N\).
\(\log x-\log 100\)
Simplificar.
\(\log x-2\)
\(\log \frac{x}{100}=\log x-2\)
Utilice la propiedad de cociente de logaritmos para escribir cada logaritmo como una diferencia de logaritmos. Simplificar, si es posible.
- \(\log _{4} \frac{3}{4}\)
- \(\log \frac{x}{1000}\)
- Contestar
-
- \(\log _{4} 3-1\)
- \(\log x-3\)
Utilice la propiedad de cociente de logaritmos para escribir cada logaritmo como una diferencia de logaritmos. Simplificar, si es posible.
- \(\log _{2} \frac{5}{4}\)
- \(\log \frac{10}{y}\)
- Contestar
-
- \(\log _{2} 5-2\)
- \(1-\log y\)
La tercera propiedad de logaritmos está relacionada con la Propiedad de Poder de los Exponentes\(\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m \cdot n}\),, vemos que para elevar una potencia a una potencia, multiplicamos los exponentes. La propiedad de poder de logaritmos, nos\(\log _{a} M^{p}=p \log _{a} M\) dice tomar el registro de un número elevado a una potencia, multiplicamos la potencia por el registro del número.
Propiedad de potencia de logaritmos
Si\(M>0, \mathrm{a}>0, \mathrm{a} \neq 1\) y\(p\) es algún número real entonces,
\(\log _{a} M^{p}=p \log _{a} M\)
El registro de un número elevado a una potencia como el producto producto de la potencia multiplicado por el registro del número.
Utilizamos esta propiedad para escribir el registro de un número elevado a una potencia como el producto de la potencia multiplicada por el registro del número. Esencialmente tomamos el exponente y lo tiramos frente al logaritmo.
Utilice la Propiedad de Poder de los Logaritmos para escribir cada logaritmo como un producto de logaritmos. Simplificar, si es posible.
- \(\log _{5} 4^{3}\)
- \(\log x^{10}\)
Solución:
a.
\(\log _{5} 4^{3}\)
Utilice la Propiedad de Poder,\(\log _{a} M^{p}=p \log _{a} M\).
3\(\log _{5} 4\)
\(\log _{5} 4^{3}=3 \log _{5} 4\)
b.
\(\log x^{10}\)
Utilice la Propiedad de Poder,\(\log _{a} M^{p}=p \log _{a} M\).
\(10\log x\)
\(\log x^{10}=10 \log x\)
Utilice la Propiedad de Poder de los Logaritmos para escribir cada logaritmo como un producto de logaritmos. Simplificar, si es posible.
- \(\log _{7} 5^{4}\)
- \(\log x^{100}\)
- Contestar
-
- \(4\log _{7} 5\)
- 100\(\cdot \log x\)
Utilice la Propiedad de Poder de los Logaritmos para escribir cada logaritmo como un producto de logaritmos. Simplificar, si es posible.
- \(\log _{2} 3^{7}\)
- \(\log x^{20}\)
- Contestar
-
- \(7\log _{2} 3\)
- \(20\cdot \log x\)
Resumimos las Propiedades de logaritmos aquí para una fácil referencia. Si bien los logaritmos naturales son un caso especial de estas propiedades, a menudo es útil mostrar también la versión logaritmo natural de cada propiedad.
Propiedades de logaritmos
Si\(M>0, \mathrm{a}>0, \mathrm{a} \neq 1\) y\(p\) es algún número real entonces,
| Propiedad | Base\(a\) | Base\(e\) |
|---|---|---|
| \ (a\) ">\(\log _{a} 1=0\) | \ (e\) ">\(\ln 1=0\) | |
| \ (a\) ">\(\log _{a} a=1\) | \ (e\) ">\(\ln e=1\) | |
| Propiedades inversas | \ (a\) ">\(a^{\log _{a} x}=x\) \(\log _{a} a^{x}=x\) |
\ (e\) ">\(e^{\ln x}=x\) \(\ln e^{x}=x\) |
| Propiedad del producto de logaritmos | \ (a\) ">\(\log _{a}(M \cdot N)=\log _{a} M+\log _{a} N\) | \ (e\) ">\(\ln (M \cdot N)=\ln M+\ln N\) |
| Propiedad del cociente de logaritmos | \ (a\) ">\(\log _{a} \frac{M}{N}=\log _{a} M-\log _{a} N\) | \ (e\) ">\(\ln \frac{M}{N}=\ln M-\ln N\) |
| Propiedad de potencia de logaritmos | \ (a\) ">\(\log _{a} M^{p}=p \log _{a} M\) | \ (e\) ">\(\ln M^{p}=p \ln M\) |
Ahora que tenemos las propiedades podemos usarlas para “expandir” una expresión logarítmica. Esto significa escribir el logaritmo como suma o diferencia y sin ningún poder.
Generalmente aplicamos las Propiedades del Producto y del Cociente antes de aplicar la Propiedad Power.
Utilice las Propiedades de logaritmos para expandir el logaritmo\(\log _{4}\left(2 x^{3} y^{2}\right)\). Simplificar, si es posible.
Solución:
Utilice la Propiedad del Producto,\(\log _{a} M \cdot N=\log _{a} M+\log _{a} N\).
Utilice la Propiedad Power,\(\log _{a} M^{p}=p \log _{a} M\), en los dos últimos términos. Simplificar.
Utilice las Propiedades de logaritmos para expandir el logaritmo\(\log _{2}\left(5 x^{4} y^{2}\right)\). Simplificar, si es posible.
- Contestar
-
\(\log _{2} 5+4 \log _{2} x+2 \log _{2} y\)
Utilice las Propiedades de logaritmos para expandir el logaritmo\(\log _{3}\left(7 x^{5} y^{3}\right)\). Simplificar, si es posible.
- Contestar
-
\(\log _{3} 7+5 \log _{3} x+3 \log _{3} y\)
Cuando tenemos un radical en la expresión logarítmica, es útil escribir primero su radicando como exponente racional.
Utilice las Propiedades de logaritmos para expandir el logaritmo\(\log _{2} \sqrt[4]{\frac{x^{3}}{3 y^{2} z}}\). Simplificar, si es posible.
Solución
\(\log _{2} \sqrt[4]{\frac{x^{3}}{3 y^{2} z}}\)
Reescribir el radical con un exponente racional.
\(\log _{2}\left(\frac{x^{3}}{3 y^{2} z}\right)^{\frac{1}{4}}\)
Utilice la Propiedad de Poder,\(\log _{a} M^{p}=p \log _{a} M\).
\(\frac{1}{4} \log _{2}\left(\frac{x^{3}}{3 y^{2} z}\right)\)
Utilizar la Propiedad Cociente,\(\log _{a} M \cdot N=\log _{a} M-\log _{a} N\).
\(\frac{1}{4}\left(\log _{2}\left(x^{3}\right)-\log _{2}\left(3 y^{2} z\right)\right)\)
Utilizar la Propiedad del Producto,\(\log _{a} M \cdot N=\log _{a} M+\log _{a} N\), en el segundo término.
\(\frac{1}{4}\left(\log _{2}\left(x^{3}\right)-\left(\log _{2} 3+\log _{2} y^{2}+\log _{2} z\right)\right)\)
Utilice la propiedad Power,\(\log _{a} M^{p}=p \log _{a} M\), dentro de los paréntesis.
\(\frac{1}{4}\left(3 \log _{2} x-\left(\log _{2} 3+2 \log _{2} y+\log _{2} z\right)\right)\)
Simplifique distribuyendo.
\(\frac{1}{4}\left(3 \log _{2} x-\log _{2} 3-2 \log _{2} y-\log _{2} z\right)\)
\(\log _{2} \sqrt[4]{\frac{x^{3}}{3 y^{2} z}}=\frac{1}{4}\left(3 \log _{2} x-\log _{2} 3-2 \log _{2} y-\log _{2} z\right)\)
Utilice las Propiedades de logaritmos para expandir el logaritmo\(\log _{4} \sqrt[5]{\frac{x^{4}}{2 y^{3} z^{2}}}\). Simplificar, si es posible.
- Contestar
-
\(\frac{1}{5}\left(4 \log _{4} x-\frac{1}{2}-3 \log _{4} y-2 \log _{4} z\right)\)
Utilice las Propiedades de logaritmos para expandir el logaritmo\(\log _{3} \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{5 y z}}\). Simplificar, si es posible.
- Contestar
-
\(\frac{1}{3}\left(2 \log _{3} x-\log _{3} 5-\log _{3} y-\log _{3} z\right)\)
Lo opuesto a expandir un logaritmo es condensar una suma o diferencia de logaritmos que tienen la misma base en un solo logaritmo. Nuevamente utilizamos las propiedades de logaritmos para ayudarnos, pero a la inversa.
Para condensar expresiones logarítmicas con la misma base en un logaritmo, comenzamos usando la Propiedad Power para obtener que los coeficientes de los términos logarítmicos sean uno y luego las Propiedades Producto y Cociente según sea necesario.
Utilice las Propiedades de los Logaritmos para condensar el logaritmo\(\log _{4} 3+\log _{4} x-\log _{4} y\). Simplificar, si es posible.
Solución:
Todas las expresiones logarítmicas tienen la misma base,\(4\).
Se agregan los dos primeros términos, por lo que utilizamos la Propiedad del Producto,\(\log _{a} M+\log _{a} N=\log _{a} M : N\).
Dado que se restan los registros, utilizamos la Propiedad Cociente,\(\log _{a} M-\log _{a} N=\log _{a} \frac{M}{N}\).
Utilice las Propiedades de los Logaritmos para condensar el logaritmo\(\log _{2} 5+\log _{2} x-\log _{2} y\). Simplificar, si es posible.
- Contestar
-
\(\log _{2} \frac{5 x}{y}\)
Utilice las Propiedades de los Logaritmos para condensar el logaritmo\(\log _{3} 6-\log _{3} x-\log _{3} y\). Simplificar, si es posible.
- Contestar
-
\(\log _{3} \frac{6}{x y}\)
Utilice las Propiedades de los Logaritmos para condensar el logaritmo\(2 \log _{3} x+4 \log _{3}(x+1)\). Simplificar, si es posible.
Solución:
Las expresiones logarítmicas tienen la misma base,\(3\).
\(2 \log _{3} x+4 \log _{3}(x+1)\)
Utilice la Propiedad de Poder,\(\log _{a} M+\log _{a} N=\log _{a} M \cdot N\).
\(\log _{3} x^{2}+\log _{3}(x+1)^{4}\)
Se agregan los términos, por lo que utilizamos la Propiedad del Producto,\(\log _{a} M+\log _{a} N=\log _{a} M \cdot N\).
\(\log _{3} x^{2}(x+1)^{4}\)
\(2 \log _{3} x+4 \log _{3}(x+1)=\log _{3} x^{2}(x+1)^{4}\)
Utilice las Propiedades de los Logaritmos para condensar el logaritmo\(3 \log _{2} x+2 \log _{2}(x-1)\). Simplificar, si es posible.
- Contestar
-
\(\log _{2} x^{3}(x-1)^{2}\)
Utilice las Propiedades de los Logaritmos para condensar el logaritmo\(2 \log x+2 \log (x+1)\). Simplificar, si es posible.
- Contestar
-
\(\log x^{2}(x+1)^{2}\)
Utilice la fórmula de cambio de base
Para evaluar un logaritmo con cualquier otra base, podemos usar la Fórmula de Cambio de Base. Mostraremos cómo se deriva esto.
\(\begin{array} {l c} {\text{Suppose we want to evaluate} \log_{a}M} & {\log_{a}M} \\ {\text{Let} \:y =\log_{a}M. }&{y=\log_{a}M} \\ {\text{Rewrite the epression in exponential form. }}&{a^{y}=M } \\ {\text{Take the }\:\log_{b} \text{of each side.}}&{\log_{b}a^{y}=\log_{b}M}\\ {\text{Use the Power Property.}}&{y\log_{b}a=\log_{b}M} \\ {\text{Solve for}\:y. }&{y=\frac{\log_{b}M}{\log_{b}a}} \\ {\text{Substiture}\:y=\log_{a}M.}&{\log_{a}M=\frac{\log_{b}M}{\log_{b}a}} \end{array}\)
La fórmula de cambio de base introduce una nueva base\(b\). Esta puede ser cualquier base\(b\) que queramos donde\(b>0,b≠1\). Debido a que nuestras calculadoras tienen claves para logaritmos base\(10\) y base\(e\), reescribiremos la Fórmula de Cambio de Base con la nueva base como\(10\) o\(e\).
Fórmula de cambio de base
Para cualquier base logarítmica\(a, b\) y\(M>0\),
\(\begin{array}{lll}{\log _{a} M=\frac{\log _{b} M}{\log _{b} a}} & {\log _{a} M=\frac{\log M}{\log a}} & {\log _{a} M=\frac{\ln M}{\ln a}} \\ {\text { new base } b} & {\text { new base } 10} & {\text { new base } e}\end{array}\)
Cuando usamos una calculadora para encontrar el valor logaritmo, generalmente redondeamos a tres decimales. Esto nos da un valor aproximado y así usamos el símbolo aproximadamente igual\((≈)\).
Redondeo a tres decimales, aproximado\(\log _{4} 35\).
Solución:
 |
|
| Usa la Fórmula de Cambio de Base. |  |
| Identificar\(a\) y\(M\). Escoge\(10\) por\(b\). |  |
| Ingresa la expresión\(\frac{\log 35}{\log 4}\) en la calculadora usando el botón de registro para base\(10\). Redondear a tres decimales. |  |
Redondeo a tres decimales, aproximado\(\log _{3} 42\).
- Contestar
-
\(3.402\)
Redondeo a tres decimales, aproximado\(\log _{5} 46\).
- Contestar
-
\(2.379\)
Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica con el uso de las propiedades de los logaritmos.
Conceptos clave
- \(\log _{a} 1=0 \quad \log _{a} a=1\)
- Propiedades inversas de logaritmos
- Para\(a>0,x>0\) y\(a≠1\)
\(a^{\log _{a} x}=x \quad \log _{a} a^{x}=x\)
- Para\(a>0,x>0\) y\(a≠1\)
- Propiedad del producto de logaritmos
- Si\(M>0,N>0,a>0\) y\(a≠1\), entonces,
\(\log _{a} M \cdot N=\log _{a} M+\log _{a} N\)
El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos.
- Si\(M>0,N>0,a>0\) y\(a≠1\), entonces,
- Propiedad del cociente de logaritmos
- Si\(M>0, N>0, \mathrm{a}>0\) y\(a≠1\), entonces,
\(\log _{a} \frac{M}{N}=\log _{a} M-\log _{a} N\)
El logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos.
- Si\(M>0, N>0, \mathrm{a}>0\) y\(a≠1\), entonces,
- Propiedad de potencia de logaritmos
- Si\(M>0,a>0,a≠1\) y\(p\) es algún número real entonces,
\(\log _{a} M^{p}=p \log _{a} M\)
El registro de un número elevado a una potencia es el producto de la potencia multiplicada por el registro del número.
- Si\(M>0,a>0,a≠1\) y\(p\) es algún número real entonces,
- Propiedades de logaritmos Resumen
Si\(M>0,a>0,a≠1\) y\(p\) es algún número real entonces,
| Inmueble | Base\(a\) | Base\(e\) |
|---|---|---|
| \ (a\) ">\(\log _{a} 1=0\) | \ (e\) ">\(\ln 1=0\) | |
| \ (a\) ">\(\log _{a} a=1\) | \ (e\) ">\(\ln e=1\) | |
| Propiedades inversas | \ (a\) ">\(a^{\log _{a} x}=x\) \(\log _{a} a^{x}=x\) |
\ (e\) ">\(e^{\ln x}=x\) \(\ln e^{x}=x\) |
| Propiedad del producto de logaritmos | \ (a\) ">\(\log _{a}(M \cdot N)=\log _{a} M+\log _{a} N\) | \ (e\) ">\(\ln (M \cdot N)=\ln M+\ln N\) |
| Propiedad del cociente de logaritmos | \ (a\) ">\(\log _{a} \frac{M}{N}=\log _{a} M-\log _{a} N\) | \ (e\) ">\(\ln \frac{M}{N}=\ln M-\ln N\) |
| Propiedad de potencia de logaritmos | \ (a\) ">\(\log _{a} M^{p}=p \log _{a} M\) | \ (e\) ">\(\ln M^{p}=p \ln M\) |
- Fórmula de cambio de base
Para cualquier base logarítmica\(a\) y\(b\), y\(M>0\),\(\begin{array}{ll}{\log _{a} M=\frac{\log _{b} M}{\log _{b} a}} & {\log _{a} M=\frac{\log M}{\log a}} & {\log _{a} M=\frac{\ln M}{\ln a}} \\ {\text { new base } b} & {\text { new base } 10} & {\text { new base } e}\end{array}\)