4: Sistemas de Ecuaciones Lineales en Dos y Tres Variables
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Al final de este capítulo, el alumno debería ser capaz de
- Resolver un sistema de ecuaciones con dos y tres ecuaciones lineales en dos y tres variables mediante la representación gráfica, sustitución y eliminación incluyendo infinitamente muchas soluciones o ninguna solución
- Resolver aplicaciones que involucran sistemas de ecuaciones que incluyen problemas de mezcla, valor, distancia e interés
- Grafica y encuentra las soluciones para sistemas de dos desigualdades lineales en dos variables
- Usar matrices para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables
Hemos resuelto ecuaciones lineales como\(3x − 4 = 11\) sumando\(4\) a ambos lados y luego dividiendo por\(3\) (solución es\(x = 5\)). Observe, solo tenemos una variable en esta ecuación. ¿Y si tenemos\(2\) variables? Por suerte, tenemos métodos para resolver ecuaciones con más de una variable. Resulta que para resolver más de una variable necesitaremos el mismo número de ecuaciones que las variables. Por ejemplo, para resolver para dos variables, como\(x\) y\(y\), necesitaremos dos ecuaciones con las mismas variables. Al resolver para más de una ecuación y una variable, llamamos al conjunto de ecuaciones un sistema de ecuaciones. A la hora de resolver un sistema de ecuaciones, estamos buscando una solución que haga que ambas ecuaciones sean verdaderas. Ya que estamos resolviendo para\(x\) y\(y\), debería recordarnos a graficar líneas, y la solución es un par ordenado\((x, y)\). Este par ordenado está en ambas líneas.
Se da un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables en la forma\[\left\{\begin{array}{l}ax+by=c \\ dx+ey=f\end{array}\right.\nonumber\] donde\(a,\: b,\: c,\: d,\: e,\) y\(f\) son coeficientes y\(x\) y\(y\) son variables. Este sistema se representa en forma estándar.
- 4.2: Sistemas de Ecuaciones - El Método de Sustitución
- Resolver un sistema graficando tiene sus limitaciones. Rara vez usamos gráficos para resolver sistemas. En cambio, utilizamos un enfoque algebraico. Hay dos enfoques y el primero se llama sustitución. Construimos los conceptos de sustitución a través de varios ejemplos y luego concluimos con un proceso general de cuatro pasos para resolver problemas utilizando este método.
- 4.3: Sistema de Ecuaciones - El Método de Adición
- El método de sustitución se utiliza a menudo para resolver sistemas en diversas áreas del álgebra. No obstante, la sustitución puede involucrarse bastante, sobre todo si hay fracciones porque esto solo permite más margen de error. De ahí que necesitamos una forma aún más sofisticada de resolver sistemas en general. Llamamos a este método el método de adición, también llamado el método de eliminación. Construiremos el concepto en los siguientes ejemplos, luego definiremos un proceso de cuatro pasos que podemos usar para resolver por eliminación.
- 4.4: Aplicaciones con sistemas de ecuaciones
- Vimos este tipo de ejemplos en un capítulo anterior, pero con una variable. En esta sección, revisamos los mismos tipos de aplicaciones, pero resolviendo de una manera más sofisticada utilizando sistemas de ecuaciones. Una vez que configuramos el sistema, podemos resolverlo usando cualquier método que elijamos. Sin embargo, configurar el sistema puede ser el reto, pero siempre y cuando sigamos el método que usamos antes, estaremos bien. Utilizamos tablas para organizar los parámetros.
- 4.5: Sistemas de tres ecuaciones lineales en tres variables
- Resolver sistemas de ecuaciones lineales en tres variables es muy similar a los métodos en los que resolvemos sistemas lineales en dos variables. Con sistemas lineales en dos variables, reducimos el sistema a una ecuación lineal en una variable. Con sistemas lineales en tres variables, aplicamos el mismo método excepto que reducimos el sistema de tres ecuaciones lineales en tres variables a dos ecuaciones lineales en dos variables primero, luego a una ecuación lineal en una variable.
- 4.6: Sistemas de dos desigualdades lineales en dos variables
- En una sección anterior, discutimos las desigualdades lineales en dos variables, donde tenemos la línea límite, discontinua o sólida, y el sombreado ya sea por encima o por debajo de la intersección y, dependiendo del símbolo de desigualdad. Bueno, usemos esta misma idea para encontrar la solución a un sistema de dos desigualdades lineales en dos variables.