7.4: Productos especiales
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- Diferencia de dos cuadrados:\(a^2 − b^2 = (a + b)(a − b)\)
- Diferencia de dos cuartos poderes:\(a^4 − b^4 = (a^2 + b^2)(a + b)(a − b)\)
- Trinomios cuadrados perfectos:\(a^2 − 2ab + b^2 = (a − b)^2\) o\(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\)
Diferencia de Dos Cuadrados
Factor completamente:\(x^2-16\)
Solución
Observe que tenemos una diferencia de dos cuadrados. Podemos usar la fórmula para factorial:
\[\begin{array}{rl}x^2-16&\text{Difference of two squares} \\ (x)^2-(4)^2&\text{Factor} \\ (x+4)(x-4)&\text{Factored form}\end{array}\nonumber\]
Siempre y cuando determinemos\(a\) y\(b\) a partir de la fórmula, podemos escribir fácilmente la expresión en forma factorizada. Sigamos con otro ejemplo.
Factor completamente:\(9a^2-25b^2\)
Solución
Observe que tenemos una diferencia de dos cuadrados. Podemos usar la fórmula para factorial:
\[\begin{array}{rl}9a^2-25b^2 &\text{Difference of two squares} \\ (3a)^2-(5b)^2&\text{Factor} \\ (3a+5b)(3a-5b)&\text{Factored form}\end{array}\nonumber\]
Es importante señalar que una suma de cuadrados, e.g.\(x^2 + y^2\), no es factorizable. Por lo tanto, una suma de dos cuadrados es siempre prima a menos que haya un mayor factor común
Diferencia de dos cuartos poderes
La diferencia de dos cuartos poderes es solo una diferencia de dos cuadrados con la excepción de que hay una diferencia adicional de dos cuadrados a factorizar para factorizar completamente
Factor completamente:\(a^4-b^4\)
Solución
Observe que tenemos una diferencia de dos cuadrados. Podemos usar la fórmula para factorial:
\[\begin{array}{rl}a^4-b^4&\text{Difference of two squares} \\ (a^2)^2-(b^2)^2&\text{Factor} \\ (a^2+b^2)(a^2-b^2)&\text{Difference of two squares...again} \\ (a^2+b^2)(a+b)(a-b)&\text{Factored form}\end{array}\nonumber\]
Factor completamente:\(x^4-16\)
Solución
Observe que tenemos una diferencia de dos cuadrados. Podemos usar la fórmula para factorial:
\[\begin{array}{rl}x^4-16&\text{Difference of two squares} \\ (x^2)^2-(4)^2&\text{Factor} \\ (x^2+4)(x^2-4)&\text{Difference of two squares...again} \\ (x^2+4)(x+2)(x-2)&\text{Factored form}\end{array}\nonumber\]
Trinomios Cuadrados Perfectos
Los estudiantes tienden a preguntarse el motivo de la palabra “cuadrado” en la fórmula cuando hay cuatro lados a la forma cuadrada geométrica. Bueno, sucede que estos dos están relacionados. Tomemos un trinomio cuadrado perfecto genérico:\(a^2 + 2ab + b^2\), y pongamos esto en una representación geométrica:
Mirando el cuadrado a la derecha, el área de cada cuadrado y rectángulo se etiquetan dentro de cada figura. Si sumamos las áreas juntas, obtendríamos\[a^2+2ab+b^2\nonumber\] La razón por la que llamamos a esto un trinomio cuadrado perfecto es porque la suma de todas las áreas es el área del cuadrado exterior.
Factor completamente:\(x^2-6x+9\)
Solución
Observe que tenemos tres términos. Podríamos factorizar como de costumbre, o reconocer que se trata de un producto especial, un trinomio cuadrado perfecto.
\[\begin{array}{rl}x^2-6x+9&\text{Perfect square trinomial} \\ (x)^2-2(x)(3)+(3)^2&\text{Factor} \\ (x-3)^2&\text{Factored form}\end{array}\nonumber\]
Dado que el término medio del trinomio fue negativo, entonces tenemos resta en la forma factorizada.
Factor completamente:\(4x^2+20xy+25y^2\)
Solución
Observe que tenemos tres términos. Podríamos factorizar como de costumbre, o reconocer que se trata de un producto especial, un trinomio cuadrado perfecto.
\[\begin{array}{rl}4x^2+20xy+25y^2&\text{Perfect square trinomial} \\ (2x)^2+2(2x)(5y)+(5y)^2&\text{Factor} \\ (2x+5y)^2&\text{Factored form}\end{array}\nonumber\]
Dado que el término medio del trinomio fue positivo, entonces tenemos adición en la forma factorizada.
Factorización de productos especiales con un factor común más grande
Factor completamente:\(72x^2-2\)
Solución
Tenemos dos términos y resta en el medio. Observe que esto no es diferente de dos cuadrados, sino que sí tenemos un GCF. Vamos a factorizar el GCF y luego ver si podemos usar una fórmula de producto especial:
\[\begin{array}{rl}72x^2-2&\text{Factor a GCF }2 \\ \color{blue}{2}\color{black}{}(36x^2-1)&\text{Difference of two squares} \\ \color{blue}{2}\color{black}{}((6x)^2-(1)^2)&\text{Factor} \\ \color{blue}{2}\color{black}{}(6x+1)(6x-1)&\text{Factored form}\end{array}\nonumber\]
En Example 7.4.7 , no pudimos factorizar usando la diferencia de dos cuadrados de inmediato. No fue hasta después de factorizar el GCF que reconocimos la expresión como una diferencia de dos cuadrados. Por lo tanto, siempre buscamos un GCF a factorizar antes de aplicar cualquier otro método de factorización.
Factor completamente:\(48x^2y-24xy+3y\)
Solución
Vamos a factorizar el GCF y luego ver si podemos usar una fórmula de producto especial:
\[\begin{array}{rl}48x^2y-24xy+3y&\text{Factor a GCF }3y \\ \color{blue}{3y}\color{black}{}(16x^2-8x+1)&\text{Perfect square trinomial} \\ \color{blue}{3y}\color{black}{}((4x)^2-2(4x)(1)+(1)^2)&\text{Factor} \\ \color{blue}{3y}\color{black}{}(4x-1)^2&\text{Factored form}\end{array}\nonumber\]
Dado que el término medio del trinomio fue negativo, entonces tenemos resta en la forma factorizada.
El primer registro conocido de trabajo con polinomios proviene de los chinos alrededor del 200 a.C. Los problemas se escribirían como “tres gavillas de una buena cosecha, dos gavillas de un cultivo mediocre, y una gavilla de mala cosecha vendida por 29 dou. Esta sería la ecuación polinomial (trinomial)\(3x + 2y + z = 29\).
Una suma o diferencia de dos cubos
Existen fórmulas especiales para una suma o diferencia de dos cubos.
- Diferencia de dos cubos:\(a^3 − b^3 = (a − b)(a^2 + ab + b^2)\)
- Suma de dos cubos:\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 − ab + b^2)\)
También podemos usar el acrónimo SOAP para las fórmulas para factorizar una suma o diferencia de dos cubos.
\[\begin{array}{ll}\textbf{S}\text{ame}&\text{binomial has the same sign as the expression} \\ \textbf{O}\text{pposite}&\text{middle term of the trinomial has the opposite sign than the expression} \\ \textbf{A}\text{lways} \\ \textbf{P}\text{ositive}&\text{last term of the trinomial is always positive}\end{array}\nonumber\]
El SOAP es una manera más fácil de recordar los signos en la fórmula porque las fórmulas para la suma y diferencia de dos cubos son las mismas a excepción de los signos. Echemos un vistazo:
\[\begin{array}{c}a^3\color{blue}{\underset{sign}{\underbrace{-}}}\color{black}{}b^3=(a\color{blue}{\underset{same}{\underbrace{-}}}\color{black}{}b)(a^2\color{blue}{\underset{opposite}{\underbrace{+}}}\color{black}{}ab\color{blue}{\underset{positive}{\underbrace{+}}}\color{black}{}b^2) \\ a^3\color{blue}{\underset{sign}{\underbrace{+}}}\color{black}{}b^3=(a\color{blue}{\underset{same}{\underbrace{+}}}\color{black}{}b)(a^2\color{blue}{\underset{opposite}{\underbrace{-}}}\color{black}{}ab\color{blue}{\underset{positive}{\underbrace{+}}}\color{black}{}b^2)\end{array}\nonumber\]
Una vez que nos identifiquemos\(a\) y\(b\), entonces podemos simplemente enchufar y chug en una de las fórmulas y usar SOAP para las señales.
Factor completamente:\(m^3-27\)
Solución
Observe que tenemos una diferencia de dos cubos. Podemos usar la fórmula para factorial:
\[\begin{array}{rl}m^3-27&\text{Difference of two cubes} \\ (m)^3-(3)^3&\text{Factor, where }a=m\text{ and }b=3 \\ (m-3)((m)^2+(3)(m)+(3)^2)&\text{Simplify} \\ (m-3)(m^2+3m+9)&\text{Factored form}\end{array}\nonumber\]
Factor completamente:\(125p^3+8r^3\)
Solución
Observe que tenemos una suma de dos cubos. Podemos usar la fórmula para factorial:
\[\begin{array}{rl}125p^3+8r^3&\text{Sum of two cubes} \\ (5p)^3+(2r)^3&\text{Factor, where }a=5p\text{ and }b=2r \\ (5p+2r)((5p)^2-(5p)(2r)+(2r)^2)&\text{Simplify} \\ (5p+2r)(25p^2-10pr+4r^2)&\text{Factored form}\end{array}\nonumber\]
Factorar completamente. \(128a^4b^2+54ab^5\)
Solución
Vamos a factorizar el GCF y luego ver si podemos usar una fórmula de producto especial:
\[\begin{array}{rl}128a^4b^2+54ab^5&\text{Factor a GCF }2ab^2 \\ \color{blue}{2ab^2}\color{black}{}(64a^3+27b^3)&\text{Sum of two cubes} \\ \color{blue}{2ab^2}\color{black}{}((4a)^3+(3b)^3)&\text{Factor, where }a=4a\text{ and }b=3b \\ \color{blue}{2ab^2}\color{black}{}(4a+3b)((4a)^2-(4a)(3b)+(3b)^2)&\text{Simplify} \\ \color{blue}{2ab^2}\color{black}{}(4a+3b)(16a^2-12ab+9b^2)&\text{Factored form}\end{array}\nonumber\]
Testo de Productos Especiales
Factorizar completamente mediante el uso de las fórmulas especiales del producto.
\(r^2-16\)
\(v^2-25\)
\(p^2-4\)
\(9k^2-4\)
\(3x^2-27\)
\(16x^2-36\)
\(18a^2-50b^2\)
\(a^2-2a+1\)
\(x^2+6x+9\)
\(x^2-6x+9\)
\(25p^2-10p+1\)
\(25a^2+30ab+9b^2\)
\(4a^2-20ab+25b^2\)
\(8x^2-24xy+18y^2\)
\(8-m^3\)
\(x^3-64\)
\(216-u^3\)
\(125a^3-64\)
\(64x^3+27y^3\)
\(54x^3+250y^3\)
\(a^4-81\)
\(16-z^4\)
\(x^4-y^4\)
\(m^4-81b^4\)
\(x^2-9\)
\(x^2-1\)
\(4v^2-1\)
\(9a^2-1\)
\(5n^2-20\)
\(125x^2+45y^2\)
\(4m^2+64n^2\)
\(k^2+4k+4\)
\(n^2-8n+16\)
\(k^2-4k+4\)
\(x^2+2x+1\)
\(x^2+8xy+16y^2\)
\(18m^2-24mn+8n^2\)
\(20x^2+20xy+5y^2\)
\(x^3+64\)
\(x^3+8\)
\(125x^3-216\)
\(64x^3-27\)
\(32m^3-108n^3\)
\(375m^3+648n^3\)
\(x^4-256\)
\(n^4-1\)
\(16a^4-b^4\)
\(81c^4-16d^4\)