8.4: Sumar y restar expresiones racionales
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Para sumar y restar con expresiones racionales, aquí hay algunos consejos útiles:
- Identificar los denominadores: ¿son iguales o diferentes?
- Combina las expresiones racionales en una sola expresión.
- Una vez combinado en una sola expresión, entonces reduzca la fracción, si es posible.
- Una fracción es reducible solo si hay un gcf entre el numerador y el denominador.
- Si el numerador y el denominador no pueden ser factorizados, es poco probable que tengan algún factor común.
Suma o resta expresiones racionales con un denominador común
Recordar. Podemos usar las mismas propiedades para sumar o restar fracciones con denominadores comunes también para sumar y restar expresiones racionales con denominadores comunes:
\[\dfrac{a}{c}\pm\dfrac{b}{c}=\dfrac{a\pm b}{c}\nonumber\]
Agregar:\(\dfrac{x-4}{x^2-2x-8}+\dfrac{x+8}{x^2-2x-8}\)
Solución
Usando los consejos útiles anteriores, los denominadores son los mismos. Combinemos en una fracción sumando numeradores y manteniendo el denominador igual:
\[\begin{array}{rl}\dfrac{x-4}{x^2-2x-8}+\dfrac{x+8}{x^2-2x-8}&\text{Like denominators, add across numerators} \\ \dfrac{2x+4}{x^2-2x-8}&\text{Factor the numerator and denominator} \\ \dfrac{2(x+2)}{(x+2)(x-4)}&\text{Reduce out a factor of }(x+2) \\ \dfrac{2\color{blue}{\cancel{(x+2)}}}{\color{blue}{\cancel{(x+2)}}\color{black}{}(x-4)}&\text{Rewrite} \\ \dfrac{2}{(x-4)}&\text{Sum}\end{array}\nonumber\]
Observe, teníamos un GCF en el numerador. Esto es cuando sabemos que la fracción puede ser reducible y facetamos el GCF y determinamos si la expresión es reducible.
La resta con denominadores comunes sigue el mismo patrón. Sin embargo, con la resta, primero distribuimos la resta a través del numerador. Entonces simplifique como de costumbre. Este proceso es lo mismo que “sumar lo contrario” al restar con enteros negativos.
Restar:\(\dfrac{6x-12}{3x-6}-\dfrac{15x-6}{3x-6}\)
Solución
Usando los consejos útiles anteriores, los denominadores son los mismos. Combinemos en una fracción restando entre numeradores y manteniendo el denominador igual:
\[\begin{array}{rl}\dfrac{6x-12}{3x-6}-\dfrac{15x-6}{3x-6}&\text{Like denominators, subtract across numerators} \\ \dfrac{6x-12\color{blue}{-(15x-6)}}{3x-6}&\color{black}{\text{Simplify the numerator}} \\ \dfrac{-9x-6}{3x-6}&\text{Factor the numerator and denominator} \\ \dfrac{-3(3x+2)}{3(x-2)}&\text{Reduce out a factor of }3 \\ \dfrac{-\color{blue}{\cancel{3}}\color{black}{}(3x+2)}{\color{blue}{\cancel{3}}\color{black}{}(x-2)}&\text{Rewrite} \\ \dfrac{-(3x+2)}{x-2}&\text{Difference}\end{array}\nonumber\]
Observe, teníamos un GCF en el numerador. Esto es cuando sabemos que la fracción puede ser reducible y facetamos el GCF y determinamos si la expresión es reducible.
El papiro Rhindi de Egipto de 1650 a. C. da algunos de los primeros símbolos conocidos para sumar y restar. Por adición, un par de piernas caminando en la dirección que uno lee, y para restar, un par de piernas caminando en sentido contrario.
Sumar y restar expresiones racionales con denominadores diferentes
Recordar. Podemos usar las mismas propiedades para sumar y restar fracciones enteras con denominadores diferentes para sumar y restar expresiones racionales con denominadores diferentes.
Agregar:\(\dfrac{7a}{3a^2b}+\dfrac{4b}{6ab^4}\)
Solución
Usando los consejos útiles anteriores, los denominadores son diferentes. Necesitamos encontrar la LCD, reescribir cada fracción con la LCD, luego combinarla en una fracción.
\[\begin{array}{rl}\dfrac{7a}{3a^2b}+\dfrac{4b}{6ab^4}&\text{Unlike denominators; LCD}=6a^2b^4 \\ \color{blue}{\dfrac{2b^3}{2b^3}}\color{black}{}\cdot\dfrac{7a}{3a^2b}+\dfrac{4b}{6ab^4}\cdot\color{blue}{\dfrac{a}{a}}&\color{black}{\text{Rewrite each fraction with the LCD}} \\ \dfrac{14ab^3}{6a^2b^4}+\dfrac{4ab}{6a^2b^4}&\text{Same denominator, add across numerators} \\ \dfrac{14ab^3+4ab}{6a^2b^4}&\text{Factor the numerator}\\ \dfrac{2ab(7b^3+2)}{6a^2b^4}&\text{Reduce out a factor of }2ab \\ \dfrac{\color{blue}{\cancel{2ab}}\color{black}{}(7b^3+2)}{\color{blue}{\cancelto{3}{6}}\color{black}{}a^{\color{blue}{\cancelto{1}{2}}}\color{black}{}b^{\color{blue}{\cancelto{3}{4}}} }&\color{black}{\text{Rewrite}} \\ \dfrac{7b^3+2}{3ab^3}&\text{Sum}\end{array}\nonumber\]
Como no hay un GCF en el numerador, como se indica en los consejos útiles, no podemos reducir aún más la fracción.
Restar:\(\dfrac{4}{5a}-\dfrac{7b}{4a^2}\)
Solución
Usando los consejos útiles anteriores, los denominadores son diferentes. Necesitamos encontrar la LCD, reescribir cada fracción con la LCD, luego combinarla en una fracción.
\[\begin{array}{rl}\dfrac{4}{5a}-\dfrac{7b}{4a^2}&\text{Unlike denominators; LCD}=20a^2 \\ \color{blue}{\dfrac{4a}{4a}}\color{black}{}\cdot\dfrac{4}{5a}-\dfrac{7b}{4a^2}\cdot\color{blue}{\dfrac{5}{5}}&\color{black}{\text{Rewrite each fraction with the LCD}} \\ \dfrac{16a}{20a^2}-\dfrac{35b}{20a^2}&\text{Same denominator, subtract across numerators} \\ \dfrac{16a-35b}{20a^2}&\text{Difference}\end{array}\nonumber\]
Como no hay un GCF en el numerador, como se indica en los consejos útiles, no podemos reducir aún más la fracción.
Agregar:\(\dfrac{6}{8a+4}+\dfrac{3a}{8}\)
Solución
Usando los consejos útiles anteriores, los denominadores son diferentes. Necesitamos encontrar la LCD, reescribir cada fracción con la LCD, luego combinarla en una fracción. Para determinar la LCD, tenemos que factorizar el binomio en el denominador de la primera fracción.
\[\begin{array}{rl}\dfrac{6}{8a+4}+\dfrac{3a}{8}&\text{Factor the first denominator} \\ \dfrac{6}{4(2a+1)}+\dfrac{3a}{8}&\text{Unlike denominators; LCD}=8(2a+1) \\ \color{blue}{\dfrac{2}{2}}\color{black}{}\cdot\dfrac{6}{4(2a+1)}+\dfrac{3a}{8}\cdot\color{blue}{\dfrac{(2a+1)}{(2a+1)}}&\color{black}{\text{Rewrite each fraction with the LCD}} \\ \dfrac{12}{8(2a+1)}+\dfrac{3a(2a+1)}{8(2a+1)}&\text{Same denominator, add across numerators} \\ \dfrac{12+6a^2+3a}{8(2a+1)}&\text{Factor the numerator} \\ \dfrac{3(2a^2+a+4)}{8(2a+1)}&\text{Expression is irreducible} \\ \dfrac{3(2a^2+a+4)}{8(2a+1)}&\text{Sum}\end{array}\nonumber\]
Observe que hay un GCF de\(3\) en el numerador, pero\(3\) no es un factor común. Sin embargo, todavía necesitamos factorial el GCF cuando sea posible desde el numerador para verificar que podemos reducir o no reducir la expresión.
Restar:\(\dfrac{x+1}{x-4}-\dfrac{x+1}{x^2-7x+12}\)
Solución
Usando los consejos útiles anteriores, los denominadores son diferentes. Necesitamos encontrar la LCD, reescribir cada fracción con la LCD, luego combinarla en una fracción. Para determinar la LCD, tenemos que factorizar el trinomio en el denominador de la segunda fracción.
\[\begin{array}{rl}\dfrac{x+1}{x-4}-\dfrac{x+1}{x^2-7x+12}&\text{Factor the second denominator} \\ \dfrac{x+1}{(x-4)}-\dfrac{x+1}{(x-3)(x-4)}&\text{Unlike denominators; LCD}=(x-3)(x-4) \\ \color{blue}{\dfrac{(x-3)}{(x-3)}}\color{black}{}\cdot\dfrac{(x+1)}{(x-4)}-\dfrac{(x+1)}{(x-3)(x-4)}&\text{Rewrite each fraction with the LCD} \\ \dfrac{(x-3)(x+1)}{(x-3)(x-4)}-\dfrac{(x+1)}{(x-3)(x-4)}&\text{Same denominator, FOIL, subtract across numerators} \\ \dfrac{x^2-2x-3\color{blue}{-(x-1)}}{(x-3)(x-4)}&\text{Simplify the numerator} \\ \dfrac{x^2-3x-4}{(x-3)(x-4)}&\text{Factor the numerator} \\ \dfrac{(x-4)(x+1)}{(x-3)(x-4)}&\text{Reduce out a factor of }(x-4) \\ \dfrac{\color{blue}{\cancel{(x-4)}}\color{black}{}(x+1)}{(x-3)\color{blue}{\cancel{(x-4)}}}&\color{black}{\text{Rewrite}} \\ \dfrac{(x+1)}{(x-3)}&\text{Difference}\end{array}\nonumber\]
Recordemos, no reducimos términos, solo factores. Así, la fracción anterior es la diferencia.
No se nos permite reducir términos, solo factores.
Sumar y restar con funciones racionales
Dejar\(P(x)=\dfrac{x+6}{x+5}\) y\(R(x)=\dfrac{x+3}{x-9}\). Agregue y simplifique\((P+R)(x)\).
Solución
Usando los consejos útiles anteriores, los denominadores son diferentes. Necesitamos encontrar la LCD, reescribir cada fracción con la LCD, luego combinarla en una fracción. Para determinar la LCD, observamos los denominadores.
\[\begin{array}{rl}(P+R)(x)=P(x)+R(x)&\text{Replace }P\text{ and }R \\ (P+R)(x)=\dfrac{x+6}{x+5}+\dfrac{x+3}{x-9}&\text{Unlike denominators; LCD}=(x+5)(x-9) \\ (P+R)(x)=\color{blue}{\dfrac{(x-9)}{(x-9)}}\color{black}{}\cdot\dfrac{(x+6)}{(x+5)}+\dfrac{(x+3)}{(x-9)}\cdot\color{blue}{\dfrac{(x+5)}{(x+5)}}&\color{black}{\text{Rewrite each fraction with the LCD}} \\ (P+R)(x)=\dfrac{(x-9)(x+6)}{(x-9)(x+5)}+\dfrac{(x+3)(x+5)}{(x-9)(x+5)}&\text{Multiply each numerator} \\ (P+R)(x)=\dfrac{x^2-3x-54}{(x-9)(x+5)}+\dfrac{x^2+8x+15}{(x-9)(x+5)}&\text{Same denominator, add across numerators} \\ (P+R)(x)=\dfrac{2x^2+5x-39}{(x-9)(x+5)}&\text{Expression is irreducible} \\ (P+R)(x)=\dfrac{2x^2+5x-39}{(x-9)(x+5)}&\text{Sum of }P\text{ and }R\end{array}\nonumber\]
Dado que el numerador no es factorizable, como se indica en los consejos útiles, no podemos reducir aún más la fracción.
Dejar\(f(x)=\dfrac{x-3}{x+5}\) y\(g(x)=\dfrac{-5x+7}{x^2+6x+5}\). Restar y simplificar\((f-g)(x)\).
Solución
Usando los consejos útiles anteriores, los denominadores son diferentes. Necesitamos encontrar la LCD, reescribir cada fracción con la LCD, luego combinarla en una fracción. Para determinar la LCD, observamos los denominadores.
\[\begin{array}{rl}(f-g)(x)=f(x)-g(x)&\text{Replace }f\text{ and }g \\ (f-g)(x)=\dfrac{x-3}{x+5}-\dfrac{-5x+7}{x^2+6x+5}&\text{Factor the second denominator} \\ (f-g)(x)=\dfrac{x-3}{x+5}-\dfrac{-5x+7}{(x+5)(x+1)}&\text{Unlike denominators; LCD}=(x+5)(x+1) \\ (f-g)(x)=\color{blue}{\dfrac{(x+1)}{(x+1)}}\color{black}{}\cdot\dfrac{(x-3)}{(x+5)}-\dfrac{-5x+7}{(x+5)(x+1)}&\text{Rewrite each fraction with the LCD} \\ (f-g)(x)=\dfrac{(x+1)(x-3)}{(x+5)(x+1)}-\dfrac{-5x+7}{(x+5)(x+1)}&\text{Multiply the first numerator} \\ (f-g)(x)=\dfrac{x^2-2x-3}{(x+5)(x+1)}-\dfrac{-5x+7}{(x+5)(x+1)}&\text{Same denominator, subtract across numerators} \\ (f-g)(x)=\dfrac{x^2-2x-3-(-5x+7)}{(x+5)(x+1)}&\text{Simplify the numerator}\\ (f-g)(x)=\dfrac{x^2+3x-10}{(x+5)(x+1)}&\text{Factor the numerator} \\ (f-g)(x)=\dfrac{(x+5)(x-2)}{(x+5)(x+1)}&\text{Reduce out a factor of }x+5 \\ (f-g)(x)=\dfrac{\color{blue}{\cancel{(x+5)}}\color{black}{}(x-2)}{\color{blue}{\cancel{(x+5)}}\color{black}{}(x+1)}&\text{Rewrite} \\ (f-g)(x)=\dfrac{(x-2)}{(x+1)}&\text{Difference of }f\text{ and }g\end{array}\nonumber\]
Sumar y restar expresiones racionales
Sumar o restar las expresiones racionales. Simplifique completamente.
\(\dfrac{2}{a+3}+\dfrac{4}{a+3}\)
\(\dfrac{t^2+4t}{t-1}+\dfrac{2t-7}{t-1}\)
\(\dfrac{2x^2+3}{x^2-6x+5}-\dfrac{x^2-5x+9}{x^2-6x+5}\)
\(\dfrac{5}{6r}-\dfrac{5}{8r}\)
\(\dfrac{8}{9t^3}+\dfrac{5}{6t^2}\)
\(\dfrac{a+2}{2}-\dfrac{a-4}{4}\)
\(\dfrac{x-1}{4x}-\dfrac{2x+3}{x}\)
\(\dfrac{5x+3y}{2x^2y}-\dfrac{3x+4y}{xy^2}\)
\(\dfrac{2z}{z-1}-\dfrac{3z}{z+1}\)
\(\dfrac{8}{x^2-4}-\dfrac{3}{x+2}\)
\(\dfrac{t}{t-3}-\dfrac{5}{4t-12}\)
\(\dfrac{2}{5x^2+5x}-\dfrac{4}{3x+3}\)
\(\dfrac{t}{y-t}-\dfrac{y}{y+t}\)
\(\dfrac{x}{x^2+5x+6}-\dfrac{2}{x^2+3x+2}\)
\(\dfrac{x}{x^2+15x+56}-\dfrac{7}{x^2+13x+42}\)
\(\dfrac{5x}{x^2-x-6}-\dfrac{18}{x^2-9}\)
\(\dfrac{2x}{x^2-1}-\dfrac{4}{x^2+2x-3}\)
\(\dfrac{x+1}{x^2-2x-35}+\dfrac{x+6}{x^2+7x+10}\)
\(\dfrac{4-a^2}{a^2-9}-\dfrac{a-2}{3-a}\)
\(\dfrac{2z}{1-2z}+\dfrac{3z}{2z+1}-\dfrac{3}{4z^2-1}\)
\(\dfrac{2x-3}{x^2+3x+2}+\dfrac{3x-1}{x^2+5x+6}\)
\(\dfrac{2x+7}{x^2-2x-3}-\dfrac{3x-2}{x^2+6x+5}\)
\(\dfrac{x^2}{x-2}-\dfrac{6x-8}{x-2}\)
\(\dfrac{a^2+3a}{a^2+5a-6}-\dfrac{4}{a^2+5a-6}\)
\(\dfrac{3}{x}+\dfrac{4}{x^2}\)
\(\dfrac{7}{xy^2}+\dfrac{3}{x^2y}\)
\(\dfrac{x+5}{8}+\dfrac{x-3}{12}\)
\(\dfrac{2a-1}{3a^2}+\dfrac{5a+1}{9a}\)
\(\dfrac{2c-d}{c^2d}-\dfrac{c+d}{cd^2}\)
\(\dfrac{2}{x-1}+\dfrac{2}{x+1}\)
\(\dfrac{2}{x-5}+\dfrac{3}{4x}\)
\(\dfrac{4x}{x^2-25}+\dfrac{x}{x+5}\)
\(\dfrac{2}{x+3}+\dfrac{4}{(x+3)^2}\)
\(\dfrac{3a}{4a-20}+\dfrac{9a}{6a-30}\)
\(\dfrac{x}{x-5}+\dfrac{x-5}{x}\)
\(\dfrac{2x}{x^2-1}-\dfrac{3}{x^2+5x+4}\)
\(\dfrac{2x}{x^2-9}+\dfrac{5}{x^2+x-6}\)
\(\dfrac{4x}{x^2-2x-3}-\dfrac{3}{x^2-5x+6}\)
\(\dfrac{x-1}{x^2+3x+2}+\dfrac{x+5}{x^2+4x+3}\)
\(\dfrac{3x+2}{3x+6}+\dfrac{x}{4-x^2}\)
\(\dfrac{4y}{y^2-1}-\dfrac{2}{y}-\dfrac{2}{y+1}\)
\(\dfrac{2r}{r^2-s^2}+\dfrac{1}{r+s}-\dfrac{1}{r-s}\)
\(\dfrac{x+2}{x^2-4x+3}+\dfrac{4x+5}{x^2+4x-5}\)
\(\dfrac{3x-8}{x^2+6x+8}+\dfrac{2x-3}{x^2+3x+2}\)
Realizar la operación indicada y simplificar.
Dejar\(P(x)=\dfrac{x}{x+6}\) y\(R(x)=\dfrac{5x+6}{x^2+8x+12}\). Agregue y simplifique\((P+R)(x)\).
Dejar\(f(x)=\dfrac{x}{x+7}\) y\(g(x)=\dfrac{10x+42}{x^2+10x+21}\). Agregue y simplifique\((f+g)(x)\).
Dejar\(S(x)=\dfrac{x-1}{x+4}\) y\(V(x)=\dfrac{1x+14}{x^2+6x+8}\). Restar y simplificar\((S-V)(x)\).
Dejar\(r(n)=\dfrac{n-2}{n-3}\) y\(q(n)=\dfrac{11n-25}{n^2+2n-15}\). Restar y simplificar\((r-q)(n)\).