12.4: Propiedades del logaritmo
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Comprender las propiedades de los logaritmos
Un logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos:
\[\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N\nonumber\]
donde\(a\) esta la base,\(a > 0\) y\(a\neq 1\), y\(M,\: N > 0\).
Reescribir como suma de logaritmos:\(\log_3 (6\cdot 5)\)
Solución
Ya que\(3\) es la base\(6\) y y\(5\) son los factores, vemos en la fórmula\(\log_a (MN)\),\(a = 3\),\(M = 6\), y\(N = 5\). Por lo tanto,
\[\log_3 (6\cdot 5)=\log_3 6+\log_3 5\nonumber\]
Reescribir como suma de logaritmos:\(\ln(2k)\)
Solución
Ya que\(e\) es la base\(2\) y y\(k\) son los factores (se ve esto cuando escribimos\(2k\) como\(2\cdot k\)), vemos en la fórmula\(\log_a (MN)\),\(a = e\),\(M = 2\), y\(N = k\). Por lo tanto,
\[\ln(2k) = \log_e (2\cdot k) = \log_e 2 + \log_e k = \ln 2 + \ln k\nonumber\]
Un logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos:
\[\log_a \left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_a M − \log_a N\nonumber\]
donde\(a\) esta la base,\(a > 0\) y\(a\neq 1\), y\(M,\: N > 0\).
Reescribir como diferencia de logaritmos:\(\log_3\left(\dfrac{7}{5}\right)\)
Solución
Ya que\(3\) es la base,\(7\) es el numerador, y\(5\) es el denominador, vemos en la fórmula\(\log_a\left(\dfrac{M}{N}\right)\),\(a = 3\),\(M = 7\), y\(N = 5\). Por lo tanto,
\[\log_3\left(\dfrac{7}{5}\right)=\log_3 7-\log_3 5\nonumber\]
Tenga cuidado de observar que el valor del log después del signo menos es el valor del denominador de la fracción.
Reescribir como diferencia de logaritmos:\(\ln\left(\dfrac{7}{2}\right)\)
Solución
Ya que\(e\) es la base,\(7\) es el numerador, y\(2\) es el denominador, vemos en la fórmula\(\log_a\left(\dfrac{M}{N}\right)\),\(a = e\),\(M = 7\), y\(N = 2\). Por lo tanto,
\[\ln\left(\dfrac{7}{2}\right)=\log_e\left(\dfrac{7}{2}\right)=\log_e 7-\log_e 2=\ln 7-\ln 2\nonumber\]
Un logaritmo de una potencia es el producto del poder y logaritmo:
\[\log_a M^p =p\log_a M\nonumber\]
donde\(a\) esta la base,\(a>0\) y\(a\neq 1\), y\(M>0\).
Reescribir todos los poderes como factores:\(\log_7 2^4\).
Solución
Como\(4\) es el poder encendido\(2\), entonces podemos derribar\(4\) delante del registro:
\[\begin{aligned}\log_7 2^{\color{blue}{4}}& \color{black}{=}\color{blue}{4}\color{black}{\cdot}\log_7 2 \\ &=4\log_7 2\end{aligned}\]
Notar\(4\) y\(\log_7 2\) convertirse en factores.
Reescribir todos los poderes como factores:\(\ln x^{\sqrt{2}}\).
Solución
Ya que\(\sqrt{2}\) es el poder encendido\(x\), entonces podemos derribar\(\sqrt{2}\) frente a la\(\ln\):
\[\begin{aligned}\ln x^{\color{blue}{\sqrt{2}}}&\color{black}{=}\color{blue}{\sqrt{2}}\color{black}{\cdot}\ln x \\ &=\sqrt{2}\ln x\end{aligned}\]
Notar\(\sqrt{2}\) y\(\ln x\) convertirse en factores.
Otras propiedades de logaritmos
Aquí hay algunas otras propiedades de logaritmos que nos parecen útiles a la hora de simplificar. Recordemos, utilizamos estas propiedades para tener mejor técnica cuando tenemos que resolver ecuaciones con logaritmos.
Si\(a\),\(M>0\), y\(a\neq 1\), entonces
\[\log_a 1=0\quad \log_a a=1\nonumber\]
\[a^{\log_a M}=M\quad \log_a a^r=r\nonumber\]
Evaluar cada logaritmo.
- \(\log_5 1\)
- \(\log 10\)
- \(\log 10^{-4}\)
- \(12^{\log_{12}\sqrt{12}}\)
Solución
- Ya que necesitamos encontrar\(5^? = 1\), entonces por la primera propiedad sabemos que el resultado es cero. Así,\(\log_5 1 = 0\).
- Primero, el tronco no tiene base visible. Por defecto, usamos el logaritmo común y asumimos que la base es\(10\). Entonces, ya que necesitamos encontrar\(10^? = 10\), entonces por la segunda propiedad sabemos que el resultado es uno. Así,\(\log 10 = 1\).
- Primero, el tronco no tiene base visible. Por defecto, usamos el logaritmo común y asumimos que la base es\(10\). Entonces, ya que necesitamos encontrar\(10^? = 10^{−4}\), entonces por la última propiedad sabemos que el resultado es\(−4\). Así,\(\log 10^{−4} = −4\).
- Si reescribimos esto en forma logarítmica,\[\log_{12}?=\log_{12}\sqrt{12}\nonumber\] obtenemos Podemos ver fácilmente si esta afirmación tiene que ser cierta, entonces\(? =\sqrt{12}\). También, por el tercer inmueble, sabemos que el resultado es\(\sqrt{12}\). Así,\(12^{\log_{12}\sqrt{12}}=\sqrt{12}\).
Ampliar y Contraer Logaritmos
Discutimos la expansión y la contratación de expresiones logarítmicas como parte de la aplicación de las propiedades. En una sección futura, aplicamos estas propiedades para resolver ecuaciones logarítmicas.
Al expandir logaritmos desde una sola expresión, asegúrese de escribir todos los logaritmos de
Regla 1. Productos como sumas
Regla 2. Cocientes como diferencias
Regla 3. Poderes como factores
Usamos orden de operaciones al expandir una expresión y aplicamos la propiedad power, y luego las propiedades del producto y del cociente- en ese orden.
Expandir el logaritmo reescribiendo como suma o diferencia de logaritmos con potencias como factores.
\[\log\left(\dfrac{1000\sqrt{x}}{y}\right)\nonumber\]
Solución
Vemos un cociente para el valor del logaritmo, por lo que prevemos que usaremos la propiedad cociente de logaritmos. Si miramos más de cerca al numerador, vemos que hay un producto de dos factores. De ahí que también usaremos la propiedad producto de logaritmos. Además, tendremos que usar la propiedad de poder de los logaritmos.
\[\begin{array}{rl} \log\left(\dfrac{1000\sqrt{x}}{y}\right) &\text{Apply quotient property of logarithms} \\ \log(1000\cdot\sqrt{x})-\log y&\text{Apply product property of logarithms} \\ \log 1000 +\log(\sqrt{x})-\log y&\text{Rewrite }\sqrt{x}\text{ as }x^{1/2} \\ \log 1000+\log x^{1/2}-\log y &\text{Apply power property of logarithms} \\ \log 1000+\dfrac{1}{2}\log x-\log y &\text{Expanded logarithmic expression}\end{array}\nonumber\]
Observe, tuvimos que reescribir\(\sqrt{x}\) ya\(x^{1/2}\) que para poder ver había un encendido\(x\) en el que teníamos que usar la propiedad producto de logaritmos para derribarlo como factor. Así, todos los productos se escriben como sumas, todos los cocientes se escriben como diferencias y todos los poderes se escriben como factor
Al contratar logaritmos a partir de una sola expresión, asegúrese de escribir cualquier
Regla 1. Múltiple de un logaritmo como potencia del argumento
Regla 2. Sumas de logaritmos como logaritmo de un producto
Regla 3. Diferencias de logaritmos como logaritmo de un cociente
Escribir\(\log_2 9 + 2 \log_2 x − \log_2 (x − 4)\) como un solo logaritmo
Solución
De inmediato, vemos una suma y diferencia con logaritmos, así sabemos que usaremos el cociente y propiedad producto de logaritmos. Además, tendremos que usar la propiedad de poder de los logaritmos.
\[\begin{array}{rl} \log_2 9+\color{red}{2}\color{black}{\log_2}x-\log_2(x-4)&\text{Apply power property of logarithms} \\ \color{blue}{\log_2 9+\log_2 x}\color{red}{^{2}}\color{black}{-}\log_2(x-4)&\text{Apply product property of logarithms} \\ \color{blue}{\log_2 9x^2}\color{black}{-}\log_2 (x-4)&\text{Apply quotient property of logarithms} \\ \log_2\left(\dfrac{9x^2}{x-4}\right)&\text{Contracted logarithmic expression}\end{array}\nonumber\]
Observe, tuvimos que reescribir\(2 \log_2 x\) ya\(\log_2 x^2\) que para poder ver había un power on\(x\) en el que teníamos que usar la propiedad producto de logaritmos para escribir\(2\) como exponente. Así, todos los factores se escriben como poderes, todas las sumas se escriben como productos, y todas las diferencias se escriben como cocientes.
El matemático escocés John Napier publicó su descubrimiento de logaritmos en 1614. Su propósito era ayudar en la multiplicación de cantidades que entonces se llamaban senos. El seno entero era el valor del lado de un triángulo rectángulo con una hipotenusa grande.
Cambio de Fórmula Base
la A veces necesitamos poder reescribir logaritmos en términos de otras bases. Esto es especialmente útil cuando se cuenta en diferentes sistemas de numeración. Por ejemplo, en el lenguaje informático, contamos en un sistema de numeración binaria, base\(2\). Podemos usar el cambio de fórmula base para reescribir números en diferentes bases y es particularmente útil en informática. Sin embargo, en este libro de texto, aprendemos el cambio de fórmula base para las bases logaritmos comunes y naturales, es decir, base\(10\) y base\(e\).
Tomemos una ecuación exponencial general simple\(a^y = M\). Normalmente reescribimos su forma logarítmica como\(y = \log_a M\). Bueno, ahora, resolvamos\(y\) por llevando el logaritmo común, log, a cada lado:
\[\begin{array}{rl} a^y=M &\text{Take common logarithm to each side} \\ \log a^y =\log M&\text{Apply the power rule of logarithms} \\ y\log a=\log M&\text{Solve for }y \\ y=\dfrac{\log M}{\log a}&\text{This is the change of base formula}\end{array}\nonumber\]
Si\(a\),\(b\),\(M>0\), y\(a\),\(b\neq 1\), entonces
\[\log_a M=\dfrac{\log M}{\log a}\quad\text{or}\quad \log_a M=\dfrac{\ln M}{\ln a}\nonumber\]
donde log es el logaritmo común, y ln es el logaritmo natural. Podemos formular y obtener el mismo resultado.
Reescribe la expresión usando la fórmula Change of Base y luego aproxima la respuesta a tres decimales.
\[\log_2 9\nonumber\]
Solución
Nos gustaría aproximar este valor usando una calculadora, pero no podemos introducir fácilmente un logaritmo en base\(2\). Debemos reescribir\(\log_2 9\) para que podamos introducirlo fácilmente en la calculadora. Aquí es donde la fórmula de Cambio de Base (COB) viene muy bien. Observe la base\(a = 2\) y el valor\(M = 9\). Usando la fórmula COB, reescribimos\(\log_2 9\) como
\[\log_{\color{red}{2}}\color{blue}{9}\color{black}{=}\dfrac{\log\color{blue}{9}}{\log\color{red}{2}}\nonumber\]
Recordemos, log es el logaritmo común,\(\log_{10}\). Poniendo\(\dfrac{\log 9}{\log 2}\) en la calculadora, aproximamos\(3.170\).
Podríamos haber utilizado fácilmente el logaritmo natural en la fórmula COB y habríamos obtenido el mismo resultado. No hay necesidad de usar ambas fórmulas- una será suficiente.
Propiedades del logaritmo Tareas
Escribir la expresión como un logaritmo de una sola expresión. Supongamos que las variables representan números positivos.
\(\log_a m-\log_a n+6\log_a k\)
\(\log_8 6+\log_8 x\)
\(\log_8 3+\log_8 (x^{3}-2)+\log_8 2\)
\(3\log_a (2x+1)-2\log_a(2x-1)+2\)
Escribir como la suma y/o diferencia de logaritmos. Expresar poderes como factores.
\(\log_{4}\left(\dfrac{64}{\sqrt{x-1}}\right)\)
\(\log_2\left(\dfrac{x^2}{y^6}\right)\)
\(\log_b (xz^3)\)
\(\log_b\left(\dfrac{xy^5}{z^7}\right)\)
Utilice la Fórmula de Cambio de Base y una calculadora para evaluar el logaritmo. Redondear a cuatro decimales.
\(\log_3 23\)
\(\log_{0.4}20\)
\(\log_{19}57.8\)
Evaluar cada logaritmo.
\(\log_{23}23\)
\(\log_{\sqrt{11}}\left(\sqrt{11}^{0.394}\right)\)
\(247^{\log_{247}\sqrt{5}}\)
\(\log_{\dfrac{1}{3}}1\)