1.2: Factores, productos y exponentes
- Page ID
- 112224
Descripción general
- Factores
- Notación exponencial
Factores
Comencemos nuestra revisión de la aritmética recordando el significado de multiplicación para números enteros (los números de conteo y cero)
Multiplicación
La multiplicación es una descripción de la adición repetida.
En la adición
\(7+7+7+7 \)
el número 7 se repite como una adición* 4 veces. Por lo tanto, decimos que tenemos cuatro veces siete y lo describimos escribiendo
\(4 · 7\)
El punto elevado entre los números 4 y 7 indica multiplicación. El punto nos dirige a multiplicar los dos números que separa. En álgebra, se prefiere el punto sobre el símbolo × para denotar multiplicación porque la letra x se usa a menudo para representar un número. Por lo tanto,
\(4 · 7=7+7+7+7\)
Factores y Productos
En la multiplicación, los números que se multiplican se denominan factores. El resultado de una multiplicación se llama producto. Por ejemplo, en la multiplicación
\(4 · 7=28 \)
los números 4 y 7 son factores, y el número 28 es el producto. Decimos que 4 y 7 son factores de 28. (No son los únicos factores de 28. ¿Puedes pensar en los demás?)
Ahora sabemos que
(factor) · (factor) = producto
Esto indica que un primer número es un factor de un segundo número si el primer número se divide en el segundo número sin resto. Por ejemplo, ya que
\(4 · 7=28\)
tanto 4 como 7 son factores de 28 ya que tanto 4 como 7 se dividen en 28 sin remanente.
Notación exponencial
Muy a menudo, un número determinado se repetirá como factor en una multiplicación. Por ejemplo, en la multiplicación
\(7 · 7 · 7 · 7\)
el número 7 se repite como factor 4 veces. Esto lo describimos por escrito\(7^{4}\). Así,
\(7 · 7 · 7 · 7=7^4\)
El factor repetido es el número menor (la base), y el número que registra cuántas veces se repite el factor es el número mayor (el superíndice). El número superíndice se llama exponente.
Un exponente es un número que registra cuántas veces ocurre el número al que está unido como factor en una multiplicación.
Conjunto de Muestras A
Para los Ejemplos 1, 2 y 3, exprese cada producto usando exponentes.
\(3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3\) Dado que 3 ocurre como factor 6 veces,
\(3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3=3^6\)
\(8 · 8\) Dado que 8 ocurre como factor 2 veces,
\(8 · 8=8^2\)
\(5 · 5 · 5 · 9 · 9\)Ya que 5 ocurre como factor 3 veces, tenemos \(5^{3}\). Ya que 9 ocurre como factor 2 veces, tenemos \(9^{2}\). Deberíamos ver los siguientes reemplazos.
Entonces tenemos
\(5 · 5 · 5 · 9 · 9=5^3 · 9^2\)
Ampliar\(3^{5}\). La base es 3 por lo que es el factor repetido. El exponente es 5 y registra el número de veces que se repite la base 3. Así, 3 se va a repetir como factor 5 veces.
\(3^5 =3 · 3 · 3 · 3 · 3\)
Ampliar\(6^{2}\) ·\(10^{4}\). La notación\(6^{2}\) ·\(10^{4}\) registra los dos hechos siguientes: 6 debe repetirse como factor 2 veces y 10 debe repetirse como factor 4 veces. Por lo tanto,
\(6^2 · 10^4=6 · 6 · 10 · 10 · 10 · 10\)
Ejercicios
Para los siguientes problemas, exprese cada producto utilizando exponentes.
Ejercicio\(\PageIndex{1}\)
8 · 8 · 8
- Responder
-
\(8^3\)
Ejercicio\(\PageIndex{2}\)
12 · 12 · 12 · 12 · 12
- Responder
-
\(12^5\)
Ejercicio\(\PageIndex{3}\)
1 · 1
- Responder
-
\(1^2\)
Ejercicio\(\PageIndex{4}\)
3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 4 · 4
- Responder
-
\(3^5\)·\(4^2\)
Ejercicio\(\PageIndex{5}\)
2 · 2 · 2 · 9 · 9 · 9 · 9 · 9 · 9 · 9 · 9
- Responder
-
\(2^3\)·\(9^8\)
Ejercicio\(\PageIndex{6}\)
3 · 3 · 10 · 10 · 10
- Responder
-
\(3^2\)·\(10^3\)
Ejercicio\(\PageIndex{7}\)
3 · 3 · 3 · 4 · 4
- Responder
-
\(3^5\)·\(4^2\)
Ejercicio\(\PageIndex{8}\)
Supongamos que las letras x e y se utilizan cada una para representar números. Utilice exponentes para expresar el siguiente producto.
\(x\)·\(x\)\(x\) ·\(y\) ·\(y\)
- Responder
-
\(x^3\)·\(y^2\)
Ejercicio\(\PageIndex{9}\)
\(x\)·\(x\) ·\(x\)\(x\) ·\(x\) ·\(y\) ·\(y\) ·\(y\)
- Responder
-
\(x^5\)·\(y^3\)
Para los siguientes problemas, expanda cada producto (no compute el valor real).
Ejercicio\(\PageIndex{10}\)
\(3^4\)
- Responder
-
3 · 3 · 3 · 3
Ejercicio\(\PageIndex{11}\)
\(4^3\)
- Responder
-
4 · 4 · 4
Ejercicio\(\PageIndex{12}\)
\(2^5\)
- Responder
-
2 · 2 · 2 · 2 · 2
Ejercicio\(\PageIndex{13}\)
\(9^6\)
- Responder
-
9 · 9 · 9 · 9 · 9
Ejercicio\(\PageIndex{14}\)
\(5^3\)·\(6^2\)
- Responder
-
5 · 5 · 5 · 6 · 6
Ejercicio\(\PageIndex{15}\)
\(2^7\)·\(3^4\)
- Responder
-
2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3
Ejercicio\(\PageIndex{16}\)
\(x^4\)·\(y^4\)
- Responder
-
\(x\)·\(x\)\(x\) ·\(x\) ·\(y\) · \(y\) · \(y\) · \(y\)
Ejercicio\(\PageIndex{17}\)
\(x^6\)·\(y^2\)
- Responder
-
\(x\)·\(x\)\(x\) ·\(x\) ·\(x\) · \(x\) · \(y\) · \(y\)
Para los siguientes problemas, especifique todos los factores de número entero de cada número. Por ejemplo, el conjunto completo de factores de número entero de 6 es 1, 2, 3, 6.
Ejercicio\(\PageIndex{18}\)
20
- Responder
-
1, 2, 4, 5, 10, 20
Ejercicio\(\PageIndex{19}\)
14
- Responder
-
1, 2, 7, 14
Ejercicio\(\PageIndex{20}\)
12
- Responder
-
1, 2, 3, 4, 6, 12
Ejercicio\(\PageIndex{21}\)
30
- Responder
-
1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
Ejercicio\(\PageIndex{22}\)
21
- Responder
-
1, 3, 7, 21
Ejercicio\(\PageIndex{23}\)
45
- Responder
-
1, 3, 5, 9, 15, 45
Ejercicio\(\PageIndex{24}\)
11
- Responder
-
1, 11
Ejercicio\(\PageIndex{25}\)
17
- Responder
-
1, 17
Ejercicio\(\PageIndex{26}\)
19
- Responder
-
1, 19
Ejercicio\(\PageIndex{27}\)
2
- Responder
-
1, 2