1.4: El múltiplo menos común
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- Múltiplos
- Multiplos Comunes
- El múltiplo menos común (LCM)
- Encontrar el múltiplo menos común
Múltiplos
Cuando un número entero se multiplica por otros números enteros, con la excepción de Multiples cero, los productos resultantes se denominan múltiplos del número entero dado.
| Multiplos de 2 | Multiplos de 3 | Multiplos de 8 | Multiplos de 10 |
| 2·1=2 | 3·1=3 | 8·1=8 | 10·1=10 |
| 2·2=4 | 3·2=6 | 8·2=16 | 10·2=20 |
| 2·3=6 | 3·3=9 | 8·3=24 | 10·3=30 |
| 2·4=8 | 3·4=12 | 8·4=32 | 10·4=40 |
| 2·5=10 | 3·5=15 | 8·5=40 | 10·5=50 |
| ... | ... | ... | ... |
Multiplos Comunes
Habrá momentos en los que se nos den dos o más números enteros y necesitaremos saber si hay múltiplos que sean comunes a cada uno de ellos. Si las hay, necesitaremos saber cuáles son. Por ejemplo, algunos de los múltiplos que son comunes a 2 y 3 son 6, 12 y 18.
Conjunto de Muestras A
Podemos visualizar múltiplos comunes usando la línea numérica.
Observe que los múltiplos comunes se pueden dividir por ambos números enteros.
El múltiplo menos común (LCM)
Observe que en nuestra visualización de líneas numéricas de múltiplos comunes (arriba) el primer múltiplo común es también el múltiplo más pequeño, o menos común, abreviado por LCM.
El múltiplo menos común, LCM, de dos o más números enteros es el número entero más pequeño en el que se dividirá cada uno de los números dados sin un resto.
Encontrar el múltiplo menos común
Encontrar el LCM
Para encontrar el LCM de dos o más números,
- Escribe la factorización prima de cada número, usando exponentes sobre factores repetidos.
- Escribe cada base que aparece en cada una de las factorizaciones principales.
- A cada base, adjuntar el mayor exponente que aparece en ella en las factorizaciones primos.
- El LCM es el producto de los números que se encuentran en el paso 3.
Conjunto de Muestras B
Encuentra el LCM.
9 y 12
- 9 = 3 · 3 =\(3^2\)
12 = 2 · 6 = 2 · 2 · 3 =\(2^2\) · 3 - Las bases que aparecen en las factorizaciones prime son 2 y 3.
- Los exponentes más grandes que aparecen en 2 y 3 en las factorizaciones primos son, respectivamente, 2 y 2 (o 2 2 de 12, y 3 2 de 9).
- El LCM es el producto de estos números.
LCM =2 2 · 3 2 =4 · 9=36
Así, 36 es el número más pequeño en el que tanto el 9 como el 12 dividen sin restos.
90 y 630
- 90 = 2 · 45 = 2 · 3 · 15 = 2 · 3 · 3 · 5 = 2 ·\(3^2\) · 5
630 = 2 · 315 = 2 · 3 · 205 = 2 · 3 · 3 · 35 = 2 · 3 · 3 · 5 · 7 = 2 · \(3^2\) · 5 · 7 - Las bases que aparecen en las factorizaciones primos son 2, 3, 5 y 7.
- Los exponentes más grandes que aparecen en 2, 3, 5 y 7 son, respectivamente, 1, 2, 1 y 1.
\(2^1\)desde 90 ó 630
\(3^2\) desde 90 ó 630 desde 90 o 630
\(5^1\) desde 90 o 630
\(7^1\) desde 630 - El LCM es el producto de estos números.
LCM =2 · 3 2 · 5 · 7 = 2 · 9 · 5 · 7 = 630
Así, 630 es el número más pequeño en el que tanto 90 como 630 dividen sin restos.
33, 110 y 484
- 33 = 3 · 11
110 = 2 · 55 = 2 · 5 · 11
484 = 2 · 242 = 2 · 2 · 121 = 2 · 2 · 11 · 11 =\(2^2\) ·\(11^2\) - Las bases que aparecen en las factorizaciones primos son 2, 3, 5 y 11.
- Los exponentes más grandes que aparecen en 2, 3, 5 y 11 son, respectivamente, 2, 1, 1 y 2.
\(2^2\)de 484
\(3^1\) de 33
\(5^1\) del 110
\(11^2\) del 484 - El LCM es el producto de estos números.
LCM =\(2^2\) · 3 · 5 ·\(11^2\)
= 4 · 3 · 5 · 121
= 7260
Así, 7260 es el número más pequeño en el que 33, 110 y 484 dividen sin restos.
Ejercicios:
Para los siguientes problemas, encuentra el múltiplo menos común de números dados.
Ejercicio\(\PageIndex{1}\)
8, 12
- Answer
-
\(2^3\) · \(3\)
Exercise \(\PageIndex{2}\)
8, 10
Exercise \(\PageIndex{3}\)
6, 12
- Answer
-
\(2^2\) · \(3\)
Exercise \(\PageIndex{4}\)
9, 18
Exercise \(\PageIndex{5}\)
5, 6
- Answer
-
2 · 3 · 5
Exercise \(\PageIndex{6}\)
7, 9
Exercise \(\PageIndex{7}\)
28, 36
- Answer
-
\(2^2\) · \(3^2\) · 7
Exercise \(\PageIndex{8}\)
24, 36
Exercise \(\PageIndex{9}\)
28, 42
- Answer
-
\(2^2\) · 3 · 7
Exercise \(\PageIndex{10}\)
20, 24
Exercise \(\PageIndex{11}\)
25, 30
- Answer
-
\(2\) · \(3\) · \(5^2\)
Exercise \(\PageIndex{12}\)
24, 54
Exercise \(\PageIndex{13}\)
16, 24
- Answer
-
\(2^4\) · \(3\)
Exercise \(\PageIndex{14}\)
36, 48
Exercise \(\PageIndex{15}\)
15, 21
- Answer
-
\(3\) · \(5\) · \(7\)
Exercise \(\PageIndex{16}\)
7, 11, 33
Exercise \(\PageIndex{17}\)
8, 10, 15
- Answer
-
\(2^3\) · 3 · 5
Exercise \(\PageIndex{18}\)
4, 5, 21
Exercise \(\PageIndex{19}\)
45, 63, 98
- Answer
-
\(2\) · \(3^2\) · \(5\) · \(7^2\)
Exercise \(\PageIndex{20}\)
15, 25, 40
Exercise \(\PageIndex{21}\)
12, 16, 20
- Answer
-
\(2^4\) · \(3\) · \(5\)
Exercise \(\PageIndex{22}\)
12, 16, 24
Exercise \(\PageIndex{23}\)
12, 16, 24, 36
- Answer
-
\(2^4\) · \(3^2\)
Exercise \(\PageIndex{24}\)
6, 9, 12, 18