Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

4.4: Clasificación de Expresiones y Ecuaciones

  • Page ID
    112277
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Polinomios

    Polinomios

    Consideremos la colección de todas las expresiones algebraicas que no contienen variables en los denominadores de fracciones y donde todos los exponentes en las cantidades variables son números enteros. Las expresiones de esta colección se denominan polinomios.

    Algunas expresiones que son polinomios son

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    \(3x^4\)

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    \(\dfrac{2}{5}x^2y^6\)

    Se produce una fracción, pero no aparece ninguna variable en el denominador.

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    \(5x^3+3x^2-2x+1\)

    Algunas expresiones que no son polinomios son

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    \(\dfrac{3}{x}-16\)

    Una variable aparece en el denominador

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    \(4x^2 - 5x + x^{-3}\)

    Un exponente negativo aparece en una variable

    Clasificación de polinomios

    Los polinomios se pueden clasificar utilizando dos criterios: el número de términos y el grado del polinomio.

    Número de términos Nombre Ejemplo Comentar
    Uno Monmial \(4x^2\) mono significa “uno” en griego
    Dos Binomial \(4x^2 - 7x\) bi significa “dos” en latín
    Tres Trinomio \(4x^2-7x+3\) Tri significa “tres” en griego
    Cuatro o más Polinomio \(4x^3-7x^2+3x-1\) Poly significa “muchos” en griego

    Grado de un Término que Contiene Una Variable

    El grado de un término que contiene solo una variable es el valor del exponente de la variable. Los exponentes que aparecen en los números no afectan el grado del término. Consideramos solo el exponente de la variable. Por ejemplo:

    Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

    \(5x^3\)es un monomio de grado\(3\).

    Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

    \(60a^5\)es un monomio de grado\(5\).

    Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

    \(21b^2\)es un monomio de grado\(2\)

    Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

    \(8\)es un monomio de grado 0. Decimos que un número distinto de cero es un término de\(0\) grado ya que podría escribirse como\(8x^0\). Ya que\(x^0=1(x\not =0)\),\(8x^0=8\). El exponente sobre la variable es\(0\) así que debe ser de grado\(0\). (Por convención, el número no\(0\) tiene título.)

    Ejemplo\(\PageIndex{10}\)

    \(4x\)es un monomio de primer grado. \(4x\)podría escribirse como\(4x^1\). El exponente sobre la variable es\(1\) así que debe ser de primer grado.

    Grado de un Término que Contiene Varias Variables

    El grado de un término que contiene más de una variable es la suma de los exponentes de las variables, como se muestra a continuación.

    Ejemplo\(\PageIndex{11}\)

    \(4x^2y^5\)es un monomio de grado\(2 + 5 = 7\). Se trata de un monomio de 7º grado.

    Ejemplo\(\PageIndex{12}\)

    \(37ab^2c^6d^3\)es un monomio de grado\(1 + 2 + 6 + 3 = 12\). Se trata de un monomio de 12 grados.

    Ejemplo\(\PageIndex{13}\)

    \(5xy\)es un monomio de grado\(1 + 1 = 2\). Se trata de un monomio de 2do grado.

    Grado de un polinomio

    El grado de un polinomio es el grado del término de grado más alto; por ejemplo:

    Ejemplo\(\PageIndex{14}\)

    \(2x^3 + 6x - 1\)es un trinomio de grado\(3\). El primer término,\(2x^3\), es el término del grado más alto. Por lo tanto, su grado es el grado del polinomio.

    Ejemplo\(\PageIndex{15}\)

    \(7y -10y^4\)es un binomio de grado\(4\).

    Ejemplo\(\PageIndex{16}\)

    \(a - 4 + 5a^2\)es un trinomio de grado\(2\).

    Ejemplo\(\PageIndex{17}\)

    \(2x^6 + 9x^4 - x^7 - 8x^3 + x - 9\)es un polinomio de grado\(7\).

    Ejemplo\(\PageIndex{18}\)

    \(4x^3y^5 - 2xy^3\)es un binomio de grado\(8\). El grado del primer término es\(8\).

    Ejemplo\(\PageIndex{19}\)

    \(3x + 10\)es un binomio de grado\(1\).

    Cuadrático lineal cúbico

    Los polinomios de primer grado se denominan polinomios lineales.
    Los polinomios de segundo grado se denominan polinomios cuadráticos.
    Los polinomios de tercer grado se denominan polinomios cúbicos.
    Los polinomios de cuarto grado se denominan polinomios de cuarto grado.
    Los polinomios de enésimo grado se denominan polinomios de grado\(n\) th.
    Las constantes distintas de cero son polinomios de grado.

    A continuación se presentan algunos ejemplos de estos polinomios:

    Ejemplo\(\PageIndex{20}\)

    \(4x - 9\)es un polinomio lineal.

    Ejemplo\(\PageIndex{21}\)

    \(3x^2 + 5x - 7\)es un polinomio cuadrático.

    Ejemplo\(\PageIndex{22}\)

    \(8y - 2x^3\)es un polinomio cúbico

    Ejemplo\(\PageIndex{23}\)

    \(16a^2 - 32a^5 - 64\)es un polinomio de 5to grado.

    Ejemplo\(\PageIndex{24}\)

    \(x^{12} - y^{12}\)es un polinomio de 12 grados.

    Ejemplo\(\PageIndex{25}\)

    \(7x^5y^7z^3 - 2x^4y^7z + x^3y^7\)es un polinomio de 15 grados. El primer término es de grado\(5 + 7 + 3 = 15\).

    Ejemplo\(\PageIndex{26}\)

    \(43\)es un polinomio de 0 grados.

    Clasificación de Ecuaciones Polinómicas

    Como sabemos, una ecuación está compuesta por dos expresiones algebraicas separadas por un signo igual. Si las dos expresiones resultan ser expresiones polinómicas, entonces podemos clasificar la ecuación según su grado. La clasificación de ecuaciones por grado es útil ya que las ecuaciones del mismo grado tienen el mismo tipo de gráfica. (Estudiaremos gráficas de ecuaciones en el Capítulo 8.)

    El grado de una ecuación es el grado de expresión del grado más alto.

    Conjunto de Muestras A

    Ejemplo\(\PageIndex{27}\)

    \(x + 7 = 15\).

    Esta es una ecuación lineal ya que es de grado 1, el grado de la expresión a la izquierda del signo “=”.

    Ejemplo\(\PageIndex{28}\)

    \(5x^2 + 2x - 7 = 4\)es una ecuación cuadrática ya que es de grado 2.

    Ejemplo\(\PageIndex{29}\)

    \(9x^3 - 8 = 5x^2 + 1\)

    Ejemplo\(\PageIndex{30}\)

    \(y^4 - x^4 = 0\)es una ecuación de 4to grado.

    Ejemplo\(\PageIndex{31}\)

    \(a^5 - 3a^4 = -a^3 + 6a^4 - 7\)es una ecuación de 5º grado.

    Ejemplo\(\PageIndex{32}\)

    \(y = \dfrac{2}{3}x + 3\)es una ecuación lineal.

    Ejemplo\(\PageIndex{33}\)

    \(y = 3x^2 - 1\)es una ecuación cuadrática.

    Ejemplo\(\PageIndex{34}\)

    \(x^2y^2 - 4 = 0\)ios una ecuación de 4to grado. El grado de\(x^2y^2 - 4\) es\(2 + 2 = 4\).

    Conjunto de práctica A

    Clasificar las siguientes ecuaciones en términos de su grado.

    Problema de práctica\(\PageIndex{1}\)

    \(3x + 6 = 0\)

    Contestar

    Primero, o lineal

    Problema de práctica\(\PageIndex{2}\)

    \(9x^2 + 5x - 6 = 3\)

    Contestar

    Cuadrático

    Problema de práctica\(\PageIndex{3}\)

    \(25y^3 + y = 9y^2 - 17y + 4\)

    Contestar

    Cúbico

    Problema de práctica\(\PageIndex{4}\)

    \(x = 9\)

    Contestar

    Lineal

    Problema de práctica\(\PageIndex{5}\)

    \(y = 2x + 1\)

    Contestar

    Lineal

    Problema de práctica\(\PageIndex{6}\)

    \(3y = 9x^2\)

    Contestar

    Cuadrático

    Problema de práctica\(\PageIndex{7}\)

    \(x^2 - 9 = 0\)

    Contestar

    Cuadrático

    Problema de práctica\(\PageIndex{8}\)

    \(y = x\)

    Contestar

    Lineal

    Problema de práctica\(\PageIndex{9}\)

    \(5x^7 = 3x^5 - 2x^8 + 11x - 9\)

    Contestar

    octavo grado

    Ejercicios

    Para los siguientes problemas, clasifique cada polinomio como monomio, binomio o trinomio. Anotar el grado de cada polinomio y escribir el coeficiente numérico de cada término.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    \(5x+7\)

    Contestar

    binomial; primero (lineal); 5,7

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    \(16x + 21\)

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    \(4x^2 + 9\)

    Contestar

    binomio; segundo (cuadrático); 4,9

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    \(7y^3 + 8\)

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    \(a^4 + 1\)

    Contestar

    binomio; cuarto; 1,1

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    \(2b^5 - 8\)

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    \(5x\)

    Contestar

    monomio; primero (lineal); 5

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    \(7a\)

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    \(5x^3 + 2x + 3\)

    Contestar

    trinomio; tercero (cúbico); 5,2,3

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    \(17y^4 + y^5 - 9\)

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    \(41a^3 + 22a^2 + a\)

    Contestar

    trinomio; tercero (cúbico); 41,22,1

    Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

    \(6y^2 + 9\)

    Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

    \(2c^6 + 0\)

    Contestar

    monomio; sexto; 2

    Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

    \(8x^2 - 0\)

    Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

    \(9g\)

    Contestar

    monomio; primero (lineal); 9

    Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

    \(5xy + 3x\)

    Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

    \(3yz - 6y + 11\)

    Contestar

    trinomio; segundo (cuadrático); 3, −6,11

    Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

    \(7ab^2c^2 + 2a^2b^3c^5 + a^{14}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

    \(x^4y^3z^2 + 9z\)

    Contestar

    binomio; noveno; 1,9

    Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

    \(5a^3b\)

    Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

    \(6 + 3x^2y^5b\)

    Contestar

    binomio; octavo; 6,3

    Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

    \(-9 + 3x^2 + 2xy6z^2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

    \(5\)

    Contestar

    monomio; cero; 5

    Ejercicio\(\PageIndex{24}\)

    \(3x^2y^0z^4 + 12z^3, y \not = 0\)

    Ejercicio\(\PageIndex{25}\)

    \(4xy^3z^5w^0, w \not = 0\)

    Contestar

    monomio; noveno; 4

    Clasificar cada una de las ecuaciones para los siguientes problemas por grado. Si se aplica el término lineal, cuadrático o cúbico, indíquelo.

    Ejercicio\(\PageIndex{26}\)

    \(4x + 7 = 0\)

    Ejercicio\(\PageIndex{27}\)

    \(3y - 15 = 9\)

    Contestar

    lineal

    Ejercicio\(\PageIndex{28}\)

    \(y = 5s + 6\)

    Ejercicio\(\PageIndex{29}\)

    \(y = x^2 + 2\)

    Contestar

    cuadrático

    Ejercicio\(\PageIndex{30}\)

    \(4y = 8x + 24\)

    Ejercicio\(\PageIndex{31}\)

    \(9z = 12x - 18\)

    Contestar

    lineal

    Ejercicio\(\PageIndex{32}\)

    \(y^2 + 3 = 2y - 6\)

    Ejercicio\(\PageIndex{33}\)

    \(y - 5 + y^3 = 3y^2 + 2\)

    Contestar

    cúbico

    Ejercicio\(\PageIndex{34}\)

    \(x^2 + x - 4 = 7x^2 - 2x + 9\)

    Ejercicio\(\PageIndex{35}\)

    \(2y + 5x - 3 + 4xy = 5xy + 2y\)

    Contestar

    cuadrático

    Ejercicio\(\PageIndex{36}\)

    \(3x - 7y = 9\)

    Ejercicio\(\PageIndex{37}\)

    \(8a + 2b = 4b - 8\)

    Contestar

    lineal

    Ejercicio\(\PageIndex{38}\)

    \(2x^5 - 8x^2 + 9x + 4 = 12x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 1\)

    Ejercicio\(\PageIndex{39}\)

    \(x - y = 0\)

    Contestar

    lineal

    Ejercicio\(\PageIndex{40}\)

    \(x^2 - 25 = 0\)

    Ejercicio\(\PageIndex{41}\)

    \(x^3 - 64 = 0\)

    Contestar

    cúbico

    Ejercicio\(\PageIndex{42}\)

    \(x^{12} - y^{12} = 0\)

    Ejercicio\(\PageIndex{43}\)

    \(x + 3x^5 = x + 2x^5\)

    Contestar

    quinto grado

    Ejercicio\(\PageIndex{44}\)

    \(3x^2 + 2x - 8y = 14\)

    Ejercicio\(\PageIndex{45}\)

    \(10a^2b^3c^6e^4 + 27a^3b^2b^4b^3b^2c^5 = 1, d \not = 0\)

    Contestar

    19º grado

    Ejercicio\(\PageIndex{46}\)

    La expresión no\(\dfrac{4x^3}{9x-7}\) es un polinomio porque.

    Ejercicio\(\PageIndex{47}\)

    La expresión no\(\dfrac{a^4}{7-a}\) es un polinomio porque.

    Contestar

    .. hay una variable en el denominador

    Ejercicio\(\PageIndex{48}\)

    ¿Toda expresión algebraica es una expresión polinómica? Si no, dar un ejemplo de una expresión algebraica que no es una expresión polinómica.

    Ejercicio\(\PageIndex{49}\)

    ¿Cada expresión polinómica es una expresión algebraica? Si no, dar un ejemplo de una expresión polinómica que no sea una expresión algebraica.

    Contestar

    Ejercicio\(\PageIndex{50}\)

    ¿Cómo encontramos el grado de un término que contiene más de una variable?

    Ejercicios para la revisión

    Ejercicio\(\PageIndex{51}\)

    Usa la notación algebraica para escribir “once menos tres veces un número es cinco”.

    Contestar

    \(11 - 3x = 5\)

    Ejercicio\(\PageIndex{52}\)

    Simplificar\((x^4y^2z^3)^5\).

    Ejercicio\(\PageIndex{53}\)

    Encuentra el valor de\(z\) es\(z = \dfrac{x-u}{s}\) y\(x = 55, u = 49\) y\(s = 3\).

    Contestar

    \(z = 2\).

    Ejercicio\(\PageIndex{54}\)

    Enumerar, en su caso, los factores comunes en la expresión\(3x^4 + 6x^3 - 18x^2\).

    Ejercicio\(\PageIndex{55}\)

    Estado (por escribirla) la relación que se expresa por la ecuación\(y = 3x + 5\).

    Contestar

    El valor de\(y\) es\(5\) más de tres veces el valor de\(x\).


    This page titled 4.4: Clasificación de Expresiones y Ecuaciones is shared under a CC BY license and was authored, remixed, and/or curated by Denny Burzynski & Wade Ellis, Jr. (OpenStax CNX) .