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6.5: Factorización por Agrupación

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Uso de la agrupación para factorizar un polinomio

    A veces un polinomio no tendrá un factor particular común a cada término. Sin embargo, todavía podemos producir una forma factorizada para el polinomio.

    El polinomio no\(x^3+3x^2−6x−18\) tiene un solo factor que sea común a cada término. No obstante, notamos que si agrupamos los dos primeros términos y los dos segundos, vemos que cada binomio resultante tiene un factor particular común a ambos términos.

    El polinomio 'x al cubo más tres x al cuadrado menos seis x menos dieciocho”. Los dos primeros términos del polinomio tienen x cuadrado en común, y los dos últimos términos del polinomio tienen seis negativos en común.

    Factor\(x^2\) de los dos primeros términos, y factor\(-6\) fuera de los dos segundos términos.

    \(x^2(x+3) - 6(x+3)\)

    Ahora mira de cerca el binomio. Cada uno de los dos términos contiene el factor\(x+3\).

    Factorizar hacia fuera\((x+3)\).

    \((x+3)(x^2-6)\)es la factorización final

    \(x^3+3x^2−6x−18 = (x+3)(x^2-6)\)

    Saber cuándo probar el método de agrupación

    Se nos avisa de la idea de agrupar cuando el polinomio que estamos considerando tiene alguna de estas cualidades:

    1. ningún factor común a todos los términos
    2. un número par de términos

    Al factorizar por agrupación, el signo (\(+\)o\(−\)) del factor que estamos sacando generalmente (pero no siempre) será el mismo que el signo del primer término en ese grupo.

    Conjunto de Muestras A

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Factor\(8a^2b^4 - 4b^4 + 14a^2 - 7\)

    1. Notamos que no hay ningún factor común a todos los términos.
    2. Vemos que hay cuatro términos, un número par.
    3. Vemos que los términos 1 y 2 tienen\(+4b^4\) en común (ya que el 1er término en el grupo es\(+8a^2b^4\)).
    4. Notamos que los términos 3º y 4º tienen\(+7\) en común (ya que el 1er término en el grupo es\(+14a^2\)).

    La ecuación ocho a cuadrado b a la cuarta potencia menos cuatro b a la cuarta potencia más catorce a al cuadrado menos siete equivale a la suma del producto de cuatro b a la cuarta potencia y dos a cuadrado menos uno, y el producto de siete y dos un cuadrado menos 1. Los dos términos del lado derecho tienen dos un cuadrado menos uno en común.

    \(8a^2b^4-4b^4+14a^2-7 = (2a^2-1)(4b^4+7)\)

    Conjunto de práctica A

    Utilice el método de agrupación para factorizar los siguientes polinomios.

    Problema de práctica\(\PageIndex{1}\)

    \(ax+ay+bx+by\)

    Contestar

    \((a+b) (x+y)\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{2}\)

    \(2am+8m+5an+20n\)

    Contestar

    \((2m+5n) (a+4)\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{3}\)

    \(a^2x^3 + 4a^2y^3 + 3bx^3 + 12by^3\)

    Contestar

    \((a^2+3b)(x^3 + 4y^3)\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{4}\)

    \(15mx+10nx−6my−4ny\)

    Contestar

    \((5x−2y) (3m+2n)\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{5}\)

    \(40abx - 24abxy - 35c^2x + 21c^2xy\)

    Contestar

    \(x(8ab−7c^2) (5−3y)\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{6}\)

    Al factorizar el polinomio\(8a^2b^4−4b^4+14a^2−78\) en el Conjunto de Muestras A, agrupamos los términos 1 y 2 y 3 y 4. ¿Podríamos haber agrupado términos 1 y 3 y 2 y 4? Prueba esto.

    \(8a^2b^4−4b^4+14a^2−78 =\)

    Contestar

    ¿Obtenemos el mismo resultado? Si los resultados no se ven exactamente iguales, recordemos la propiedad conmutativa de la multiplicación.

    Ejercicios

    Para los siguientes problemas, utilice el método de agrupación para factorizar los polinomios. Algunos polinomios pueden no ser factorizables usando el método de agrupación.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    \(2ab+3a+18b+27\)

    Contestar

    \((2b+3)(a+9)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    \(xy−7x+4y−28\)

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    \(xy+x+3y+3\)

    Contestar

    \((y+1)(x+3)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    \(mp+3mq+np+3nq\)

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    \(ar+4as+5br+20bs\)

    Contestar

    \((a+5b)(r+4s)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    \(14ax−6bx+21ay−9by\)

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    \(12mx−6bx+21ay−9by\)

    Contestar

    \(3(4mx−2bx+7ay−3by)\)No factorizable por agrupación

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    \(36ak−8ah−27bk+6bh\)

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    \(a^2b^2 + 2a^2 + 3b^2 + 6\)

    Contestar

    \((a^2+3)(b^2+2)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    \(3n^2 + 6n + 9m^3 + 12m\)

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    \(8y^4 - 5y^3 + 12z^2 - 10z\)

    Contestar

    No factorizable por agrupación

    Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

    \(x^2 + 4x - 3y^2 + y\)

    Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

    \(x^2 - 3x + xy - 3y\)

    Contestar

    \((x+y)(x−3)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

    \(2n^2+12n−5mn−30m\)

    Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

    \(4pq−7p+3q^2−21\)

    Contestar

    No factorizable por agrupación

    Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

    \(8x^2+16xy−5x−10y\)

    Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

    \(12s^2−27s−8st+18t\)

    Contestar

    \((4s−9)(3s−2t)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

    \(15x^2−12x−10xy+8y\)

    Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

    \(a^4b^4+3a^5b^5+2a^2b^2+6a^3b^3\)

    Contestar

    \(a^2b^2(a^2b^2 + 2)(1 + 3ab)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

    \(4a^3bc−14a^2bc^3+10abc^2−35bc^4\)

    Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

    \(5x^2y^3z+3x^3yw−10y^3z^2−6wxyz\)

    Contestar

    \(y(5y^2z+3xw)(x^2−2z)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

    \(a^3b^2cd+abc^2dx−a^2bxy−cx^2y\)

    Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

    \(5m^{10}n^{17}p^3 - m^6n^7p^4 - 40m^4n^{10}qt^2 + 8pqt^2\)

    Contestar

    \((m^6n^7p^3−8qt^2)(5m^4n^{10}−p)\)

    Ejercicios para la revisión

    Ejercicio\(\PageIndex{24}\)

    Simplificar\((x^5y^3)(x^2y)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{25}\)

    Utilice la notación científica para encontrar el producto de\((3 \times 10^{-5})(2 \times 10^2)\).

    Contestar

    \(6 \times 10^{-3}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{26}\)

    Encuentra el dominio de la ecuación\(y = \dfrac{6}{x+5}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{27}\)

    Construir la gráfica de la desigualdad\(y \ge -2\)

    Una línea horizontal con flechas en ambos extremos.

    Contestar

    Una línea numérica con flechas en cada extremo, etiquetada de tres negativos a tres en incrementos de uno. Hay un círculo cerrado en negativo dos. Una flecha oscura se origina a partir de este círculo, y se dirige hacia la derecha de los dos negativos.

    Ejercicio\(\PageIndex{28}\)

    Factor\(8a^4b^4 + 12a^3b^5 - 8a^2b^3\)


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