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# 6.6: Factorización de Dos Productos Especiales

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Recordemos que cuando multiplicamos juntos los dos binomios$$(a+b)$$ y$$(a−b)$$, obtuvimos el producto$$a^2-b^2$$.

$$(a+b)(a−b)=a^2−b^2$$

Plaza Perfecta

Observe que los términos$$a^2$$ y$$b^2$$ en el producto se pueden producir por cuadratura$$a$$ y$$b$$, respectivamente. Un término que es el cuadrado de otro término se llama cuadrado perfecto. Así, ambos$$a^2$$ y$$b^2$$ son cuadrados perfectos. El signo menos entre$$a^2$$ y$$b^2$$ significa que estamos tomando la diferencia de los dos cuadrados.
Como sabemos eso$$(a+b)(a−b)=a^2−b^2$$, solo necesitamos darle la vuelta a la ecuación para encontrar la forma de factorización.

$$a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$$

La forma de factorización dice que podemos factorizar$$a^2−b^2$$, la diferencia de dos cuadrados, encontrando los términos que producen los cuadrados perfectos y sustituyendo estas cantidades en la forma de factorización.
Al usar números reales (tal como somos), no hay forma factorizada para la suma de dos cuadrados. Es decir, usando números reales,

$$a^2 + b^2$$no puede ser factorizado

## Conjunto de Muestras A

##### Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

Factor$$x^2 - 16$$. Ambos$$x^2$$ y$$16$$ son cuadrados perfectos. Los términos que, al cuadrar, producen$$x^2$$ y$$16$$ son$$x$$ y$$4$$, respectivamente.

Por lo tanto,

$$x^2 - 16 = (x+4)(x-4)$$

Podemos comprobar nuestra factorización simplemente multiplicando.

\ (\ begin {array} {vaciado a la izquierda}
(x+4) (x-4) &=&x^2 - 4x + 4x - 16\\
&=&x^2 - 16
\ end {array}\)

##### Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

$$49a^2b^4 - 121$$. Ambos$$49a^2b^4$$ y$$121$$ son cuadrados perfectos. Los términos que, al cuadrar, producen$$49a^2b^4$$ y$$121$$ son$$7ab^2$$ y$$11$$, respectivamente. Sustituyendo estos términos en la forma de factorización obtenemos

$$49a^2b^4 - 121 = (7ab^2 + 121)(7ab^2 - 11)$$

Podemos verificar nuestra facorización multiplicando

\ (\ begin {array} {vaciado a la izquierda}
(7ab^2 + 121) (7ab^2 - 11) &=&49a^2b^4 - 11ab^2 + 11ab^2 - 121\\
&=&49a^2b^4 - 121
\ end {array}\)

##### Ejemplo$$\PageIndex{3}$$

$$3x^2 - 27$$. Esto no parece la diferencia de dos cuadrados ya que no conocemos fácilmente los términos que producen$$3x^2$$ y$$27$$ (. No obstante, fíjese que$$3$$ es común a ambos términos. Factor de salida 3.

$$3(x^2-9)$$.

Ahora vemos que$$x^2 - 9$$ es la diferencia de dos cuadrados. Facotring el$$x^2 - 9$$ que obtenemos

\ (\ begin {array} {vaciado a la izquierda}
3x^2 - 27&=&3 (x^2-9)\\
&=&3 (x+3) (x-3)
\ end {array}\)

## Conjunto de práctica A

Si es posible, factorizar completamente los siguientes binomios.

##### Problema de práctica$$\PageIndex{1}$$

$$m^2 - 25$$

Responder

$$(m+5)(m−5)$$

##### Problema de práctica$$\PageIndex{2}$$

$$36p^2 - 81q^2$$

Responder

$$9(2p−3q)(2p+3q)$$

##### Problema de práctica$$\PageIndex{3}$$

$$49a^2 = b^2c^2$$

Responder

$$(7a^2 + bc)(7a^2 - bc)$$

##### Problema de práctica$$\PageIndex{4}$$

$$x^8y^4 - 100x^{12}$$

Responder

$$(x^4y^2+10w^6)(x^4y^2−10w^6)$$

##### Problema de práctica$$\PageIndex{5}$$

$$3x^2−75$$

Responder

$$3(x+5)(x−5)$$

##### Problema de práctica$$\PageIndex{6}$$

$$a^3b^4m−am^3n^2$$

Responder

$$am(ab^2+mn)(ab^2−mn)$$

## Reglas Fundamentales de Factoraje

Hay dos reglas fundamentales que seguimos a la hora de factorizar:

Reglas Fundamentales de Factoraje

1. Primero factorizar todos los monomios comunes.
2. Factor completamente.

## Conjunto de Muestras B

Factorar cada binomio completamente.

##### Ejemplo$$\PageIndex{4}$$

$$4a^8b - 36b^5$$. Factorizar el factor común$$4b$$.

$$4b(a^8 - 9b^4)$$.

Ahora podemos ver una diferencia de dos cuadrados, mientras que en el polinomio original no pudimos. Completaremos nuestra factorización factorizando la diferencia de dos cuadrados.

\ (\ begin {array} {vaciado a la izquierda}
4a^8-36b^5&=&4b (a^8-9b^4)\\
&=&4b (a^4+3b^2) (a^4-3b^2)
\ end {array}\)

##### Ejemplo$$\PageIndex{5}$$

$$x^{16}-y^8$$. Factorizar esta diferencia de dos cuadrados.

$$x^{16} - y^8 = (x^8 + y^4) (x^8 - y^4)$$

$$= (x^8+y^4)(x^4+y^2)(x^4-y^2)$$
¡Factor otra vez!
$$= (x^8+y^4)(x^4+y^2)(x^2+y)(x^2-y)$$

Finalmente, la factorización está completa.

Este tipo de productos aparecen de vez en cuando, así que ten en cuenta que es posible que tengas que factorizar más de una vez.

## Set de práctica B

Factorar cada binomio completamente.

##### Problema de práctica$$\PageIndex{7}$$

$$m^4-n^4$$

Responder

$$(m^2+n^2)(m−n)(m+n)$$

##### Problema de práctica$$\PageIndex{8}$$

$$16y^8−1$$

Responder

$$(4y^4+1)(2y^2+1)(2y^2−1)$$

Recordemos el proceso de cuadratura de un binomio.

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2(a−b)^2=a^2−2ab+b^2$$

 Nuestro método es Notamos Cuadrado el primer término El primer término del producto debe ser un cuadrado perfecto. Toma el producto de los dos términos y duplicalo. El término medio del producto debe ser divisible por 2 (ya que se multiplica por 2). Cuadrarse el último término. El último término del producto debe ser un cuadrado perfecto.

Para reconocer un trinomio cuadrado perfecto, busca las siguientes características:

1. El primer y último término son cuadrados perfectos.
2. El término medio es divisible por 2, y si dividimos el término medio por la mitad (lo contrario de doblarlo), obtendremos el producto de los términos que al cuadrar producen el primer y último término.

En otras palabras, factorizar un trinomio cuadrado perfecto equivale a encontrar los términos que, al cuadrar, producen el primer y último término del trinomio, y sustituirlo en uno de la fórmula

$$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2a^2−2ab+b^2=(a−b)^2$$

## Conjunto de Muestras C

##### Ejemplo$$\PageIndex{6}$$

$$x^2 + 6x + 9$$. Esta expresión es un trinomio cuadrado perfecto. Los$$x^2$$ y$$9$$ son cuadrados perfectos.

Los términos que al cuadrar producen$$x^2$$ y$$9$$ son$$x$$ y$$3$$, respectivamente.

El término medio es divisible por$$2$$, y$$\dfrac{6x}{2} = 3x$$. El$$3x$$ es el producto de$$x$$ y$$3$$, que son los términos que producen los cuadrados perfectos.

$$x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$$

##### Ejemplo$$\PageIndex{7}$$

$$x^4 - 10x^2y^3 + 25y^6$$. Esta expresión es un trinomio cuadrado perfecto. Los$$x^4$$ y$$25y^6$$ son ambos cuadrados perfectos. Los términos que al cuadrar producen$$x^4$$ y$$25y^6$$ son$$x^2$$ y$$5y^3$$, respectivamente.

El término medio$$-10x^2y^3$$ es divisible por$$2$$. De hecho,$$\dfrac{-10x^2y^3}{2} = -5x^2y^3$$. Por lo tanto,

$$x^4-10x^2y^3 + 25y^6 = (x^2-5y^3)^2$$

##### Ejemplo$$\PageIndex{8}$$

$$x^2 + 10x + 16$$. Esta expresión no es un trinomio cuadrado perfecto. Si bien el término medio es divisible por$$2$$$$\dfrac{10x}{2} = 5x$$,, el$$5$$ y no$$x$$ son los términos que al cuadrar producen los términos primero y último. (Esta expresión sería un trinomio cuadrado perfecto si el término medio lo fuera$$8x$$.)

##### Ejemplo$$\PageIndex{9}$$

$$4a^4 + 32a^2b - 64b^2$$. Esta expresión no es un trinomio cuadrado perfecto ya que el último término no$$-64b^2$$ es un cuadrado perfecto (ya que cualquier cantidad al cuadrado es siempre positiva o cero y nunca negativa).

Por lo tanto,$$4a^4 + 32a^2b - 64b^2$$ no se puede factorizar usando este método.

## Set de práctica C

Factorizar, si es posible, los siguientes trinomios.

##### Problema de práctica$$\PageIndex{9}$$

$$m^2−8m+16$$

Responder

$$(m−4)^2$$

##### Problema de práctica$$\PageIndex{10}$$

$$k^2+10k+25$$

Responder

$$(k+5)^2$$

##### Problema de práctica$$\PageIndex{11}$$

$$4a^2+12a+9$$

Responder

$$(2a+3)^2$$

##### Problema de práctica$$\PageIndex{12}$$

$$9x^2−24xy+16y^2$$

Responder

$$(3x−4y)^2$$

##### Problema de práctica$$\PageIndex{13}$$

$$2w^3z+16w^2z^2+32wz^3$$

Responder

$$2wz(w+4z)^2$$

##### Problema de práctica$$\PageIndex{14}$$

$$x^2+12x+49$$

Responder

no es posible

## Ejercicios

Para los siguientes problemas, factorizar los binomios.

##### Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

$$a^2−9$$

Contestar

$$(a+3)(a−3)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

$$a^2−25$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

$$x^2−16$$

Contestar

$$(x+4)(x−4)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

$$y^2−49$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

$$a^2−100$$

Contestar

$$(a+10)(a−10)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

$$b^2−36$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

$$4a^2−64$$

Contestar

$$4(a+4)(a−4)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

$$2b^2−32$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

$$3x^2−27$$

Contestar

$$3(x+3)(x−3)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

$$5x^2−125$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{11}$$

$$4a^2−25$$

Contestar

$$(2a+5)(2a−5)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{12}$$

$$9x^2−100$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{13}$$

$$36y^2−25$$

Contestar

$$(6y+5)(6y−5)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{14}$$

$$121a^2−9$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{15}$$

$$12a^2−75$$

Contestar

$$3(2a+5)(2a−5)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{16}$$

$$10y^2−320$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{17}$$

$$8y^2−50$$

Contestar

$$2(2y+5)(2y−5)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{18}$$

$$a^2b^2−9$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{19}$$

$$x^2y^2−25$$

Contestar

$$(xy+5)(xy−5)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{20}$$

$$x^4y^4−36$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{21}$$

$$x^4y^4−9a^2$$

Contestar

$$(x^2y^2+3a)(x^2y^2−3a)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{22}$$

$$a^2b^4−16y^4$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{23}$$

$$4a^2b^2−9b^2$$

Contestar

$$b^2(2a+3)(2a−3)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{24}$$

$$16x^2−25y^2$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{25}$$

$$a^2−b^2$$

Contestar

$$(a+b)(a−b)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{26}$$

$$a^4−b^4$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{27}$$

$$x^4−y^4$$

Contestar

$$(x^2+y^2)(x+y)(x−y)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{28}$$

$$x^8−y^2$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{29}$$

$$a^8−y^2$$

Contestar

$$(a^4+y)(a^4−y)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{30}$$

$$b^6−y^2$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{31}$$

$$b^6−x^4$$

Contestar

$$(b^3+x^2)(b^3−x^2)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{32}$$

$$9−x^2$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{33}$$

$$25−a^2$$

Contestar

$$(5+a)(5−a)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{34}$$

$$49−16a^2$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{35}$$

$$100−36b^4$$

Contestar

$$4(5+3b^2)(5−3b^2)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{36}$$

$$128−32x^2$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{37}$$

$$x^4−16$$

Contestar

$$(x^2+4)(x+2)(x−2)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{38}$$

$$2ab^3−a^3b$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{39}$$

$$a^4−b^4$$

Contestar

$$(a^2+b^2)(a+b)(a−b)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{40}$$

$$a^{16}−b^4$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{41}$$

$$x^{12} - y^{12}$$

Contestar

$$(x^6+x^6)(x^3+y^3)(x^3−y^3)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{42}$$

$$a^2c−9c$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{43}$$

$$a^3c^2−25ac^2$$

Contestar

$$ac^2(a+5)(a−5)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{44}$$

$$a^4b^4c^2d^2−36x^2y^2$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{45}$$

$$49x^2y^4z^6−64a^4b^2c^8d^{10}$$

Contestar

$$(7xy^2z^3+8a^2bc^4d^5)(7xy^2z^3−8a^2bc^4d^5)$$

Para los siguientes problemas, factorizar, si es posible, los trinomios.

##### Ejercicio$$\PageIndex{46}$$

$$x^2+8x+16$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{47}$$

$$x2+10x+25$$

Contestar

$$(x+5)^2$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{48}$$

$$a^2+4a+4$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{49}$$

$$a^2+12a+36$$

Contestar

$$(a+6)^2$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{50}$$

$$b^2+18b+81$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{51}$$

$$y^2+20y+100$$

Contestar

$$(y+10)^2$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{52}$$

$$c^2+6c+9$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{53}$$

$$a^2−4a+4$$

Contestar

$$(a−2)^2$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{54}$$

$$b^2−6b+9$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{55}$$

$$x^2−10x+25$$

Contestar

$$(x−5)^2$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{56}$$

$$b^2−22b+121$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{57}$$

$$a^2−24a+144$$

Contestar

$$(a−12)^2$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{58}$$

$$a^2+2a+1$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{59}$$

$$x^2+2x+1$$

Contestar

$$(x+1)^2$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{60}$$

$$x^2−2x+1$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{61}$$

$$b^2−2b+1$$

Contestar

$$(b−1)^2$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{62}$$

$$4a^2+12a+9$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{63}$$

$$9x^2+6x+1$$

Contestar

$$(3x+1)^2$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{64}$$

$$4x^2+28x+49$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{65}$$

$$16a^2−24a+9$$

Contestar

$$(4a−3)^2$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{66}$$

$$25a^2−20a+4$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{67}$$

$$9x^2+6xy+y^2$$

Contestar

$$(3x+y)^2$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{68}$$

$$16x^2+24xy+9y^2$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{69}$$

$$36a^2+60ab+25b^2$$

Contestar

$$(6a+5b)^2$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{70}$$

$$4x^2−12xy+9y^2$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{71}$$

$$12a^2−60a+75$$

Contestar

$$3(2a−5)^2$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{72}$$

$$16x^2+8x+1$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{73}$$

$$32x^2+16x+2$$

Contestar

$$2(4x+1)^2$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{74}$$

$$x^2+x+1$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{75}$$

$$4a^2+a+9$$

Contestar

no factorizable

##### Ejercicio$$\PageIndex{76}$$

$$9a^2−21a+49$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{77}$$

$$x^5+8x^4+16x^3$$

Contestar

$$x^3(x+4)^2$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{78}$$

$$12a^3b−48a^2b^2+48ab^3$$

## EJERCICIOS PARA REVISIÓN

##### Ejercicio$$\PageIndex{79}$$

Factor$$(m−3)x−(m−3)y$$.

Contestar

$$(m−3)(x−y)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{80}$$

Factorizar$$8xm+16xn+3ym+6yn$$ por agrupación.

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