Saltar al contenido principal

# 6.8: Factorización de Trinomios con Coeficiente Líder Diferente de 1

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

## El método de factorización

En la última sección vimos que podríamos factorizar fácilmente trinomios de la forma$$x^2+bx+c$$ al encontrar los factores de la constante$$c$$ que se suman al coeficiente del término lineal$$b$$, como se muestra en el siguiente ejemplo:

Factor$$x^2 - 4x - 21$$
El tercer término del trinomio es$$-21$$. Buscamos dos números cuyo:
(a) producto es$$-21$$
(b) suma es$$-4$$

Los números requeridos son$$-7$$ y$$+3$$

$$x^2 - 4x - 21 = (x-7)(x+3)$$

El problema de factorizar el polinomio$$ax^2 + bx + c, a\not = 1$$, se involucra más. Estudiaremos dos métodos para factorizar dichos polinomios. Cada método produce el mismo resultado, y debe seleccionar el método con el que se sienta más cómodo. El primer método se llama método de ensayo y error y requiere algunas conjeturas educadas. Examinaremos dos ejemplos (Conjuntos de Muestras A y B). Después, estudiaremos un segundo método de factorización. El segundo método se llama método de recolección y descarte, y requiere menos adivinación que el método de prueba y error. El Conjunto de Muestras C ilustra el uso del método de recolección y descarte.

### El método de prueba y error de factorización$$ax^2 + bx + c$$

Método de prueba y error

Considera el producto

Examinando el trinomio$$20x^2 + 23x + 6$$, podemos ver de inmediato algunos factores del primer y último término.

 $$20x^2$$ $$6$$ $$20x, x$$ $$6, 1$$ $$10x, 2x$$ $$3, 2$$ $$5x, 4x$$

Nuestro objetivo es elegir la combinación adecuada de factores del primer y último término que arroje el término medio$$23x$$.
Observe que el término medio proviene de la suma de los productos externos e internos en la multiplicación de los dos binomios.

Busca la combinación que cuando se multiplica y luego se agrega rinde el término medio.

## Conjunto de Muestras A

##### Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

Factor$$6x^2 + x - 12$$

Factorial el primer y último término:

Así,$$3x$$ y$$3$$ se van a multiplicar,$$2x$$ y$$-4$$ se van a multiplicar.

\ (\ begin {array} {flaqueado a la izquierda}
6x^2 + x - 12&=& () () &\ text {Ponga los factores del término principal inmediatamente.} \\
&=& (3x) (2x) &\ text {Dado que} 3x\ text {y} 3\ text {se van a multiplicar, deben ubicarse en diferentes binomios.} \\
&=& (3x) (2x + 3) &\ text {Coloque el} -4\ text {en el conjunto restante de paréntesis.} \\
&=& (3x-4) (2x+3)\\
6x^2 + x - 12&=& (3x-4) (2x+3)
\ end {array}\)

Comprobar:

\ (\ begin {array} {ras a la izquierda}
(3x-4) (2x+3) &=&6x^2 + 9x - 8x - 12\\
&=&6x^2 + x - 12
\ end {array}\)

##### Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

Factor$$8x^2 - 20x - 27$$

Encuentra los factores del primer y último término.

Así, los$$4x$$ y$$-9$$ se van a multiplicar, y$$2x$$ y$$3$$ se van a multiplicar.

8x^2 - 30x - 27&=& (4x) (2x)\\
&=& (4x) (4x) (2x-9)\\
&=& (4x + 3) (2x-9)
\ end {array}\)

Comprobar:

\ (\ begin {array} {ras a la izquierda}
(4x+3) (2x-9) &=&8x^2 - 36x + 6x - 27\\
&=&8x^2-30x-27
\ end {array}\)

##### Ejemplo$$\PageIndex{3}$$

Factor$$15x^2 + 44x + 32$$

Antes de comenzar a encontrar los factores del primer y último término, observe que el término constante es$$+32$$. Dado que el producto es positivo, los dos factores que estamos buscando deben tener el mismo signo. Ambos deben ser positivos o ambos negativos. Ahora el término medio,$$+44x$$, va precedido de un signo positivo. Sabemos que el término medio viene de la suma de los productos externos e internos. Si estos dos números van a sumarse a un número positivo, ambos deben ser ellos mismos positivos. Si fueran negativos, su suma sería negativa. Así, podemos concluir que los dos factores de los$$+32$$ que estamos buscando son ambos números positivos. Esto elimina varios factores$$32$$ y disminuye nuestra cantidad de trabajo.
Factorizar el primer y último término.

Después de algunas pruebas vemos eso$$5x$$ y$$4$$ se van a multiplicar, y$$3x$$ y$$8$$ se van a multiplicar.

$$15x^2 + 44x + 32 = (5x + 8)(3x + 4)$$

##### Ejemplo$$\PageIndex{4}$$

Factor$$18x^2 - 56x + 6$$

Vemos que cada término es parejo, así podemos factorizar$$2$$.

$$2(9x^2 - 28x + 3)$$

Observe que el término constante es positivo. Así, sabemos que los factores de 3 que estamos buscando deben tener el mismo signo. Dado que el signo del término medio es negativo, ambos factores deben ser negativos.
Factorizar el primer y último término.

No hay muchas combinaciones que probar, y nos encontramos con eso$$9x$$ y$$-3$$ se van a multiplicar y$$x$$ y$$-1$$ se van a multiplicar.

\ (\ begin {array} {flaqueado a la izquierda}
18x^2 - 56x + 6 &=& 2 (9x^2 - 28x + 3)\\
&=&2 (9x-1) (x-3)
\ end {array}\)

Si no hubiéramos factorizado el$$2$$ primero, habríamos conseguido la factorización

La factorización no está completa ya que uno de los factores puede ser factorizado más.

18x^2 - 56x + 6&=& (9x-1) (2x-6)\\
&=& (9x-1)\ cdot 2 (x-3)\\
&=&2 (9x-1) (x-3) &\ text {(Por la propiedad conmutativa de multiplicación)\)
\ end {array}\)

Los resultados son los mismos, pero es mucho más fácil factorizar un polinomio después de que todos los factores comunes se hayan factorizado primero.

##### Ejemplo$$\PageIndex{5}$$

Factor$$3x^2 + x - 14$$

No hay factores comunes. Vemos que el término constante es negativo. Así, los factores de$$-14$$ deben tener diferentes signos. Factorial el primer y último término.

Después de algunos juicios, lo vemos$$3x$$ y se$$-2$$ van a multiplicar.

$$3x^2 + x - 14 = (3x + 7)(x - 2)$$

##### Ejemplo$$\PageIndex{6}$$

Factor$$8x^2 - 26xy + 15y^2$$.

Vemos que el término constante es positivo y que el término medio va precedido de un signo menos.
De ahí que los factores de lo$$15y^2$$ que estamos buscando deben ser ambos negativos.
Factorizar el primer y último término.

Después de algunas pruebas, vemos eso$$4x$$ y$$-5y$$ se van a multiplicar y$$2x$$ y$$-3y$$ se van a multiplicar.

$$8x^2 - 26xy + 15y^2 = (4x - 3y)(2x - 5y)$$

## Conjunto de práctica A

Factorial lo siguiente, si es posible.

##### Problema de práctica$$\PageIndex{1}$$

$$2x^2+13x−7$$

Responder

$$(2x−1)(x+7)$$

##### Problema de práctica$$\PageIndex{2}$$

$$3x^2+x−4$$

Responder

$$(3x+4)(x−1)$$

##### Problema de práctica$$\PageIndex{3}$$

$$4a^2−25a−21$$

Responder

$$(4a+3)(a−7)$$

##### Problema de práctica$$\PageIndex{4}$$

$$16b^2−22b−3$$

Responder

$$(8b+1)(2b−3)$$

##### Problema de práctica$$\PageIndex{5}$$

$$10y^2−19y−15$$

Responder

$$(5y+3)(2y−5)$$

##### Problema de práctica$$\PageIndex{6}$$

$$6m^3+40m^2−14m$$

Responder

$$2m(3m−1)(m+7)$$

##### Problema de práctica$$\PageIndex{7}$$

$$14p^2+31pq−10q^2$$

Responder

$$(7p−2q)(2p+5q)$$

##### Problema de práctica$$\PageIndex{8}$$

$$−24w^2z^2+14wz^3−2z^4$$

Responder

$$−2z^2(4w−z)(3w−z)$$

##### Problema de práctica$$\PageIndex{9}$$

$$3x^2+6xy+2y^2$$

Responder

no factorizable

A medida que obtienes más práctica factorizando este tipo de polinomios, te vuelves más rápido al elegir las combinaciones adecuadas. ¡Se necesita mucha práctica!
Hay un atajo que puede ayudar a elegir las combinaciones adecuadas. Este proceso no siempre funciona, pero parece ser cierto en muchos casos. Después de que hayas factorizado el primer y último término y estés empezando a buscar las combinaciones adecuadas, comienza con los factores intermedios y no los extremos.

## Conjunto de Muestras B

##### Ejemplo$$\PageIndex{7}$$

Factor$$24x^2 - 41x + 12$$

Factorial el primer y último término.

 $$24x^2$$ $$12$$ $$24x, x$$ $$-12, -1$$ $$12x, 2x$$ $$-12, -1$$ $$8x, 3x$$ $$-6, -2$$ $$6x, 4x$$

En lugar de comenzar con el$$24x, x$$ y$$-12, -1$$, elija algunos valores intermedios,$$8x$$ y, el y$$3x$$, o el$$6x$$ y$$4x$$, o el$$-6$$ y$$-2$$, o el$$-4$$ y$$-3$$.

$$24x^2 - 41x + 12 = (8x-3)(3x-4)$$

## Set de práctica B

##### Problema de práctica$$\PageIndex{10}$$

Factor$$48x^2+22x−15$$.

Responder

$$(6x+5)(8x−3)$$

##### Problema de práctica$$\PageIndex{11}$$

Factor$$54y^2+39yw−28w^2$$.

Responder

$$(9y−4w)(6y+7w)$$

### El Método de Factorización de Recoger y Descartar$$ax^2+bx+c$$

Método de recolección y descarte

Considera el polinomio$$6x^2+x−12$$. Comenzamos por identificar$$a$$ y$$c$$. En este caso,$$a=6$$ y$$c=−12$$. Empezamos como lo haríamos con$$a=1$$.

$$6x^2+x−12: (6x)(6x)$$

Ahora, cómpule$$a \cdot c$$.

$$a \cdot c=(6)(−12)=−72$$

Encuentra los factores de$$−72$$ que se suman a$$1$$, el coeficiente de$$x$$, el término lineal. Los factores son$$9$$ y$$−8$$. Incluya estos factores entre paréntesis.

$$6x^2+x−12: (6x+9)(6x−8)$$

$$6x^2+x−12: 3(2x+3) \cdot 2(3x−4)$$

Desechar los factores que se multiplican a$$a=6$$. En este caso,$$3$$ y$$2$$. Nos queda la factorización adecuada.

$$6x^2+x−12=(2x+3)(3x−4)$$

## Conjunto de Muestras C

##### Ejemplo$$\PageIndex{8}$$

Factor$$10x^2+23x−5$$.

Identificar$$a=10$$ y$$b=−5$$.

$$10x^2+23x−5; (10x)(10x)$$
Compute

$$a \cdot c=(10)(−5)=−50$$
Encuentra los factores de$$−50$$ que se suman a$$+23$$, el coeficiente de$$x$$, el término lineal. Los factores son$$25$$ y$$−2$$. Coloca estos números entre paréntesis.

$$10x^2+23x−5: (10x+25)(10x−2)$$
Hemos recogido demasiado. Factorizar cada conjunto de paréntesis y eliminar el excedente.

$$10x^2+23x−5: (5)(2x+5)⋅(2)(5x−1)$$
Desechar los factores que se multiplican a$$a=10$$. En este caso,$$5$$ y$$2$$.

$$10x^2+23x−5=(2x+5)(5x−1)$$

##### Ejemplo$$\PageIndex{9}$$

Factor$$8x^2−30x−27$$.

Identificar$$a=8$$ y$$c=−27$$.

$$8x^2−30x−27: (8x)(8x)$$
Compute

$$a \cdot c=(8)(−27)=−216$$
Encuentra los factores de$$−216$$ que se suman a$$−30$$, el coeficiente de$$x$$, el término lineal. Esto requiere un poco de reflexión. Los factores son$$−36$$ y$$6$$. Coloca estos números entre paréntesis.

$$8x^2−30x−27: (8x−36)(8x+6)$$
Hemos recogido demasiado. Factorizar cada conjunto de paréntesis y eliminar el excedente.

$$8x^2−30x−27: (4)(2x−9)⋅(2)(4x+3)$$
Desechar los factores que se multiplican a$$a=8$$. En este caso,$$4$$ y$$2$$.

$$8x^2−30x−27=(2x−9)(4x+3)$$

##### Ejemplo$$\PageIndex{10}$$

Factor$$18x^2−5xy−2y^2$$.

Identificar$$a=18$$ y$$c=−2$$.

$$18x^2−5xy−2y^2: (18x)(18x)$$
Compute

$$a \cdot c=(18)(−2)=−36$$
Encuentra los factores de$$−36$$ que se suman a$$−5$$, el coeficiente de$$xy$$. En este caso,$$−9$$ y$$4$$. Coloca estos números entre paréntesis, fijando$$y$$ a cada uno.

$$18x^2−5xy−2y^2: (18x−9y)(18x+4y)$$
Hemos recogido demasiado. Factorizar cada conjunto de paréntesis y eliminar el excedente.

$$18x^2−5xy−2y^2: (9)(2x−y) \cdot (2)(9x+2y)$$
Desechar los factores que se multiplican a$$a=18$$. En este caso,$$9$$ y$$4$$.

$$18x^2−5xy−2y^2=(2x−y)(9x+2y)$$

## Set de práctica C

##### Problema de práctica$$\PageIndex{12}$$

Factor$$6x^2+7x−3$$.

Responder

$$(3x−1)(2x+3)$$

##### Problema de práctica$$\PageIndex{13}$$

Factor$$14x^2−31x−10$$.

Responder

$$(7x+2)(2x−5)$$

##### Problema de práctica$$\PageIndex{14}$$

Factor$$48x^2+22x−15$$.

Responder

$$(6x+5)(8x−3)$$

##### Problema de práctica$$\PageIndex{15}$$

Factor$$10x^2−23xw+12w^2$$.

Responder

$$(5x−4w)(2x−3w)$$

## Ejercicios

Factorizar los siguientes problemas, si es posible.

##### Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

$$x^2+3x+2$$

Responder

$$(x+2)(x+1)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

$$x^2+7x+12$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

$$2x^2+7x+5$$

Responder

$$(2x+5)(x+1)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

$$3x^2+4x+1$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

$$2x^2+11x+12$$

Responder

$$(2x+3)(x+4)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

$$10x^2+33x+20$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

$$3x^2−x−4$$

Responder

$$(3x−4)(x+1)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

$$3x^2+x−4$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

$$4x^2+8x−21$$

Responder

$$(2x−3)(2x+7)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

$$2a^2−a−3$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{11}$$

$$9a^2−7a+2$$

Responder

no factorizable

##### Ejercicio$$\PageIndex{12}$$

$$16a^2+16a+3$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{13}$$

$$16y^2−26y+3$$

Responder

$$(8y−1)(2y−3)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{14}$$

$$3y^2+14y−5$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{15}$$

$$10x^2+29x+10$$

Responder

$$(5x+2)(2x+5)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{16}$$

$$14y^2+29y−15$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{17}$$

$$81a^2+19a+2$$

Responder

no factorizable

##### Ejercicio$$\PageIndex{18}$$

$$24x^2+34x+5$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{19}$$

$$24x^2−34x+5$$

Responder

$$(6x−1)(4x−5)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{20}$$

$$24x^2−26x−5$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{21}$$

$$24x^2+26x−5$$

Responder

$$(6x−1)(4x+5)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{22}$$

$$6a^2+13a+6$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{23}$$

$$6x^2+5xy+y2$$

Responder

$$(3x+y)(2x+y)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{24}$$

$$6a^2−ay−y^2$$

Para los siguientes problemas, el trinomio dado ocurre al resolver el problema aplicado correspondiente. Factorizar cada trinomio. No es necesario resolver el problema.

##### Ejercicio$$\PageIndex{25}$$

$$5r^2−24r−5$$

Se necesitan 5 horas para remar un bote 12 millas río abajo y luego de regreso. La corriente fluye a razón de 1 milla por hora. ¿A qué ritmo se remó el bote?

Responder

$$(5r+1)(r−5)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{26}$$

$$x^2+5x−84$$

La longitud de un rectángulo es 5 pulgadas más que el ancho del rectángulo. Si el área del rectángulo es de 84 pulgadas cuadradas, ¿cuál es la longitud y el ancho del rectángulo?

##### Ejercicio$$\PageIndex{27}$$

$$x^2+24x−145$$

Responder

$$(x+29)(x−5)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{28}$$

$$x^2+8x−20$$

Una mujer desea construir una caja rectangular que esté abierta en la parte superior. Ella desea que tenga 4 pulgadas de alto y tenga una base rectangular cuya longitud sea tres veces la anchura. El material utilizado para la base cuesta $2 por pulgada cuadrada, y el material utilizado para los lados cuesta$1.50 por pulgada cuadrada. La mujer gastará exactamente 120 dólares en materiales. Encuentra la dimensión de la caja (longitud de la base, ancho de la base y altura).

Para los siguientes problemas, factorizar los trinomios si es posible.

##### Ejercicio$$\PageIndex{29}$$

$$16x^2−8xy−3y^2$$

Responder

$$(4x+y)(4x−3y)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{30}$$

$$6a^2+7ab+2b^2$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{31}$$

$$12a^2+7ab+12b^2$$

Responder

no factorizable

##### Ejercicio$$\PageIndex{32}$$

$$9x^2+18xy+8y^2$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{33}$$

$$8a^2+10ab−6b^2$$

Responder

$$2(4a^2+5ab−3b^2)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{34}$$

$$12a^2+54a−90$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{35}$$

$$12b^4+30b^2a+12a^2$$

Responder

$$6(2b^2+a)(b^2+2a)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{36}$$

$$30a^4b^4−3a^2b^2−6c^2$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{37}$$

$$3a^6−3a^3b^2−18b^4$$

Responder

$$3(a^3+2b^2)(a^3−3b^2)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{38}$$

$$20a^2b^2+2abc^2−6a^2c^4$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{39}$$

$$14a^2z^2−40a^3z^2−46a^4z^2r$$

Responder

$$2a^2z^2(7−20a−23a^2) \text{ or} −2a^2z^2(23a^2+20a−7)$$

## Ejercicios para revisión

##### Ejercicio$$\PageIndex{40}$$

Simplificar$$(a^3b^6)^4$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{41}$$

Encuentra el producto$$x^2(x-3)(x+4)$$

Responder

$$x^4+x^3−12x^2$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{42}$$

Encuentra el producto$$(5m-3n)^2$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{43}$$

Resuelve la ecuación$$5(2x−1)−4(x+7)=0$$.

Responder

$$x = \dfrac{11}{2}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{44}$$

Factor$$x^5 - 8x^4 + 7x^3$$

This page titled 6.8: Factorización de Trinomios con Coeficiente Líder Diferente de 1 is shared under a CC BY license and was authored, remixed, and/or curated by Denny Burzynski & Wade Ellis, Jr. (OpenStax CNX) .