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6.8: Factorización de Trinomios con Coeficiente Líder Diferente de 1

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    112102
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    El método de factorización

    En la última sección vimos que podríamos factorizar fácilmente trinomios de la forma\(x^2+bx+c\) al encontrar los factores de la constante\(c\) que se suman al coeficiente del término lineal\(b\), como se muestra en el siguiente ejemplo:

    Factor\(x^2 - 4x - 21\)
    El tercer término del trinomio es\(-21\). Buscamos dos números cuyo:
    (a) producto es\(-21\)
    (b) suma es\(-4\)

    Los números requeridos son\(-7\) y\(+3\)

    \(x^2 - 4x - 21 = (x-7)(x+3)\)

    El problema de factorizar el polinomio\(ax^2 + bx + c, a\not = 1\), se involucra más. Estudiaremos dos métodos para factorizar dichos polinomios. Cada método produce el mismo resultado, y debe seleccionar el método con el que se sienta más cómodo. El primer método se llama método de ensayo y error y requiere algunas conjeturas educadas. Examinaremos dos ejemplos (Conjuntos de Muestras A y B). Después, estudiaremos un segundo método de factorización. El segundo método se llama método de recolección y descarte, y requiere menos adivinación que el método de prueba y error. El Conjunto de Muestras C ilustra el uso del método de recolección y descarte.

    El método de prueba y error de factorización\(ax^2 + bx + c\)

    Método de prueba y error

    Considera el producto

    Pasos que muestran el producto de dos binomios 'cuatro x más tres' y 'cinco x más dos'. Consulte el longdesc para una descripción completa.

    Examinando el trinomio\(20x^2 + 23x + 6\), podemos ver de inmediato algunos factores del primer y último término.

    \(20x^2\) \(6\)
    \(20x, x\) \(6, 1\)
    \(10x, 2x\) \(3, 2\)
    \(5x, 4x\)

    Nuestro objetivo es elegir la combinación adecuada de factores del primer y último término que arroje el término medio\(23x\).
    Observe que el término medio proviene de la suma de los productos externos e internos en la multiplicación de los dos binomios.

    El producto de dos binomios cuatro x más tres, y cinco x más dos. El producto externo de los binomios es ocho x, y el producto interno es quince x.

    Este hecho nos proporciona una manera de encontrar la combinación adecuada.

    Busca la combinación que cuando se multiplica y luego se agrega rinde el término medio.

    La combinación adecuada que estamos buscando es

    El producto del primer y último término es veinte x cuadrado. Una de las combinaciones de los factores del primer y último término arroja dos nuevos factores del producto de tal manera que su suma es el término medio: veintitrés x.

    Conjunto de Muestras A

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Factor\(6x^2 + x - 12\)

    Factorial el primer y último término:

    Se muestran los factores del primer término 'seis x cuadrados' y el último término 'doce negativos'. El producto del primer y último término es negativo setenta y dos x cuadrado. Una de las combinaciones de los factores del primer y último término arroja dos nuevos factores del producto de tal manera que su suma es el término medio: x.

    Así,\(3x\) y\(3\) se van a multiplicar,\(2x\) y\(-4\) se van a multiplicar.

    \ (\ begin {array} {flaqueado a la izquierda}
    6x^2 + x - 12&=& () () &\ text {Ponga los factores del término principal inmediatamente.} \\
    &=& (3x) (2x) &\ text {Dado que} 3x\ text {y} 3\ text {se van a multiplicar, deben ubicarse en diferentes binomios.} \\
    &=& (3x) (2x + 3) &\ text {Coloque el} -4\ text {en el conjunto restante de paréntesis.} \\
    &=& (3x-4) (2x+3)\\
    6x^2 + x - 12&=& (3x-4) (2x+3)
    \ end {array}\)

    Comprobar:

    \ (\ begin {array} {ras a la izquierda}
    (3x-4) (2x+3) &=&6x^2 + 9x - 8x - 12\\
    &=&6x^2 + x - 12
    \ end {array}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Factor\(8x^2 - 20x - 27\)

    Encuentra los factores del primer y último término.

    Se muestran los factores del primer término 'ocho x cuadrados' y el último término 'veintisiete negativos'. El producto del primer y último término es negativo doscientos dieciséis x cuadrado. Una de las combinaciones de los factores del primer y último término arroja dos nuevos factores del producto de tal manera que su suma es el término medio: treinta x negativos.

    Así, los\(4x\) y\(-9\) se van a multiplicar, y\(2x\) y\(3\) se van a multiplicar.

    \ (\ begin {array} {ruedado}
    8x^2 - 30x - 27&=& (4x) (2x)\\
    &=& (4x) (4x) (2x-9)\\
    &=& (4x + 3) (2x-9)
    \ end {array}\)

    Comprobar:

    \ (\ begin {array} {ras a la izquierda}
    (4x+3) (2x-9) &=&8x^2 - 36x + 6x - 27\\
    &=&8x^2-30x-27
    \ end {array}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Factor\(15x^2 + 44x + 32\)

    Antes de comenzar a encontrar los factores del primer y último término, observe que el término constante es\(+32\). Dado que el producto es positivo, los dos factores que estamos buscando deben tener el mismo signo. Ambos deben ser positivos o ambos negativos. Ahora el término medio,\(+44x\), va precedido de un signo positivo. Sabemos que el término medio viene de la suma de los productos externos e internos. Si estos dos números van a sumarse a un número positivo, ambos deben ser ellos mismos positivos. Si fueran negativos, su suma sería negativa. Así, podemos concluir que los dos factores de los\(+32\) que estamos buscando son ambos números positivos. Esto elimina varios factores\(32\) y disminuye nuestra cantidad de trabajo.
    Factorizar el primer y último término.

    Se muestran los factores del primer término 'quince x cuadrados' y el último término 'treinta y dos'. El producto del primer y último término es cuatrocientos ochenta x cuadrado. Una de las combinaciones de los factores del primer y último término arroja dos nuevos factores del producto de tal manera que su suma es el término medio: cuarenta y cuatro x.

    Después de algunas pruebas vemos eso\(5x\) y\(4\) se van a multiplicar, y\(3x\) y\(8\) se van a multiplicar.

    \(15x^2 + 44x + 32 = (5x + 8)(3x + 4)\)

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Factor\(18x^2 - 56x + 6\)

    Vemos que cada término es parejo, así podemos factorizar\(2\).

    \(2(9x^2 - 28x + 3)\)

    Observe que el término constante es positivo. Así, sabemos que los factores de 3 que estamos buscando deben tener el mismo signo. Dado que el signo del término medio es negativo, ambos factores deben ser negativos.
    Factorizar el primer y último término.

    Se muestran los factores del primer término 'nueve x cuadrados' y el último término 'tres'. El producto del primer y último término es de veintisiete x al cuadrado. Una de las combinaciones de los factores del primer y último término arroja dos nuevos factores del producto de tal manera que su suma es el término medio: negativo veintiocho x.

    No hay muchas combinaciones que probar, y nos encontramos con eso\(9x\) y\(-3\) se van a multiplicar y\(x\) y\(-1\) se van a multiplicar.

    \ (\ begin {array} {flaqueado a la izquierda}
    18x^2 - 56x + 6 &=& 2 (9x^2 - 28x + 3)\\
    &=&2 (9x-1) (x-3)
    \ end {array}\)

    Si no hubiéramos factorizado el\(2\) primero, habríamos conseguido la factorización

    Dieciocho x cuadrado menos cincuenta y seis x más seis es igual al producto de nueve x menos uno y dos s menos seis. Dos es común entre los términos del segundo factor del polinomio.

    La factorización no está completa ya que uno de los factores puede ser factorizado más.

    \ (\ begin {array} {flaqueado}
    18x^2 - 56x + 6&=& (9x-1) (2x-6)\\
    &=& (9x-1)\ cdot 2 (x-3)\\
    &=&2 (9x-1) (x-3) &\ text {(Por la propiedad conmutativa de multiplicación)\)
    \ end {array}\)

    Los resultados son los mismos, pero es mucho más fácil factorizar un polinomio después de que todos los factores comunes se hayan factorizado primero.

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    Factor\(3x^2 + x - 14\)

    No hay factores comunes. Vemos que el término constante es negativo. Así, los factores de\(-14\) deben tener diferentes signos. Factorial el primer y último término.

    Se muestran los factores del primer término 'tres x cuadrados' y el último término 'catorce negativos'. El producto del primer y último término es negativo cuarenta y dos x cuadrado. Una de las combinaciones de los factores del primer y último término arroja dos nuevos factores del producto de tal manera que su suma es el término medio: x.

    Después de algunos juicios, lo vemos\(3x\) y se\(-2\) van a multiplicar.

    \(3x^2 + x - 14 = (3x + 7)(x - 2)\)

    Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

    Factor\(8x^2 - 26xy + 15y^2\).

    Vemos que el término constante es positivo y que el término medio va precedido de un signo menos.
    De ahí que los factores de lo\(15y^2\) que estamos buscando deben ser ambos negativos.
    Factorizar el primer y último término.

    Se muestran los factores del primer término 'ocho x cuadrados' y el último término 'quince y cuadrados'. El producto del primer y último término es ciento veintisiete x cuadrado y cuadrado. Una de las combinaciones de los factores del primer y último término arroja dos nuevos factores del producto de tal manera que su suma es el término medio: negativo veintiséis xy.

    Después de algunas pruebas, vemos eso\(4x\) y\(-5y\) se van a multiplicar y\(2x\) y\(-3y\) se van a multiplicar.

    \(8x^2 - 26xy + 15y^2 = (4x - 3y)(2x - 5y)\)

    Conjunto de práctica A

    Factorial lo siguiente, si es posible.

    Problema de práctica\(\PageIndex{1}\)

    \(2x^2+13x−7\)

    Responder

    \((2x−1)(x+7)\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{2}\)

    \(3x^2+x−4\)

    Responder

    \((3x+4)(x−1)\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{3}\)

    \(4a^2−25a−21\)

    Responder

    \((4a+3)(a−7)\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{4}\)

    \(16b^2−22b−3\)

    Responder

    \((8b+1)(2b−3)\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{5}\)

    \(10y^2−19y−15\)

    Responder

    \((5y+3)(2y−5)\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{6}\)

    \(6m^3+40m^2−14m\)

    Responder

    \(2m(3m−1)(m+7)\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{7}\)

    \(14p^2+31pq−10q^2\)

    Responder

    \((7p−2q)(2p+5q)\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{8}\)

    \(−24w^2z^2+14wz^3−2z^4\)

    Responder

    \(−2z^2(4w−z)(3w−z)\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{9}\)

    \(3x^2+6xy+2y^2\)

    Responder

    no factorizable

    A medida que obtienes más práctica factorizando este tipo de polinomios, te vuelves más rápido al elegir las combinaciones adecuadas. ¡Se necesita mucha práctica!
    Hay un atajo que puede ayudar a elegir las combinaciones adecuadas. Este proceso no siempre funciona, pero parece ser cierto en muchos casos. Después de que hayas factorizado el primer y último término y estés empezando a buscar las combinaciones adecuadas, comienza con los factores intermedios y no los extremos.

    Conjunto de Muestras B

    Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

    Factor\(24x^2 - 41x + 12\)

    Factorial el primer y último término.

    \(24x^2\) \(12\)
    \(24x, x\) \(-12, -1\)
    \(12x, 2x\) \(-12, -1\)
    \(8x, 3x\) \(-6, -2\)
    \(6x, 4x\)

    En lugar de comenzar con el\(24x, x\) y\(-12, -1\), elija algunos valores intermedios,\(8x\) y, el y\(3x\), o el\(6x\) y\(4x\), o el\(-6\) y\(-2\), o el\(-4\) y\(-3\).

    \(24x^2 - 41x + 12 = (8x-3)(3x-4)\)

    Set de práctica B

    Problema de práctica\(\PageIndex{10}\)

    Factor\(48x^2+22x−15\).

    Responder

    \((6x+5)(8x−3)\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{11}\)

    Factor\(54y^2+39yw−28w^2\).

    Responder

    \((9y−4w)(6y+7w)\)

    El Método de Factorización de Recoger y Descartar\(ax^2+bx+c\)

    Método de recolección y descarte

    Considera el polinomio\(6x^2+x−12\). Comenzamos por identificar\(a\) y\(c\). En este caso,\(a=6\) y\(c=−12\). Empezamos como lo haríamos con\(a=1\).

    \(6x^2+x−12:  (6x)(6x)\)

    Ahora, cómpule\(a \cdot c\).

    \(a \cdot c=(6)(−12)=−72\)

    Encuentra los factores de\(−72\) que se suman a\(1\), el coeficiente de\(x\), el término lineal. Los factores son\(9\) y\(−8\). Incluya estos factores entre paréntesis.

    \(6x^2+x−12:  (6x+9)(6x−8)\)

    Pero hemos incluido demasiado. Debemos eliminar el excedente. Factorizar cada paréntesis.

    \(6x^2+x−12:  3(2x+3) \cdot 2(3x−4)\)

    Desechar los factores que se multiplican a\(a=6\). En este caso,\(3\) y\(2\). Nos queda la factorización adecuada.

    \(6x^2+x−12=(2x+3)(3x−4)\)

    Conjunto de Muestras C

    Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

    Factor\(10x^2+23x−5\).

    Identificar\(a=10\) y\(b=−5\).

    \(10x^2+23x−5;  (10x)(10x)\)
    Compute

    \(a \cdot c=(10)(−5)=−50\)
    Encuentra los factores de\(−50\) que se suman a\(+23\), el coeficiente de\(x\), el término lineal. Los factores son\(25\) y\(−2\). Coloca estos números entre paréntesis.

    \(10x^2+23x−5:  (10x+25)(10x−2)\)
    Hemos recogido demasiado. Factorizar cada conjunto de paréntesis y eliminar el excedente.

    \(10x^2+23x−5:  (5)(2x+5)⋅(2)(5x−1)\)
    Desechar los factores que se multiplican a\(a=10\). En este caso,\(5\) y\(2\).

    \(10x^2+23x−5=(2x+5)(5x−1)\)

    Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

    Factor\(8x^2−30x−27\).

    Identificar\(a=8\) y\(c=−27\).

    \(8x^2−30x−27:  (8x)(8x)\)
    Compute

    \(a \cdot c=(8)(−27)=−216\)
    Encuentra los factores de\(−216\) que se suman a\(−30\), el coeficiente de\(x\), el término lineal. Esto requiere un poco de reflexión. Los factores son\(−36\) y\(6\). Coloca estos números entre paréntesis.

    \(8x^2−30x−27:  (8x−36)(8x+6)\)
    Hemos recogido demasiado. Factorizar cada conjunto de paréntesis y eliminar el excedente.

    \(8x^2−30x−27:  (4)(2x−9)⋅(2)(4x+3)\)
    Desechar los factores que se multiplican a\(a=8\). En este caso,\(4\) y\(2\).

    \(8x^2−30x−27=(2x−9)(4x+3)\)

    Ejemplo\(\PageIndex{10}\)

    Factor\(18x^2−5xy−2y^2\).

    Identificar\(a=18\) y\(c=−2\).

    \(18x^2−5xy−2y^2:  (18x)(18x)\)
    Compute

    \(a \cdot c=(18)(−2)=−36\)
    Encuentra los factores de\(−36\) que se suman a\(−5\), el coeficiente de\(xy\). En este caso,\(−9\) y\(4\). Coloca estos números entre paréntesis, fijando\(y\) a cada uno.

    \(18x^2−5xy−2y^2:  (18x−9y)(18x+4y)\)
    Hemos recogido demasiado. Factorizar cada conjunto de paréntesis y eliminar el excedente.

    \(18x^2−5xy−2y^2:  (9)(2x−y) \cdot (2)(9x+2y)\)
    Desechar los factores que se multiplican a\(a=18\). En este caso,\(9\) y\(4\).

    \(18x^2−5xy−2y^2=(2x−y)(9x+2y)\)

    Set de práctica C

    Problema de práctica\(\PageIndex{12}\)

    Factor\(6x^2+7x−3\).

    Responder

    \((3x−1)(2x+3)\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{13}\)

    Factor\(14x^2−31x−10\).

    Responder

    \((7x+2)(2x−5)\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{14}\)

    Factor\(48x^2+22x−15\).

    Responder

    \((6x+5)(8x−3)\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{15}\)

    Factor\(10x^2−23xw+12w^2\).

    Responder

    \((5x−4w)(2x−3w)\)

    Ejercicios

    Factorizar los siguientes problemas, si es posible.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    \(x^2+3x+2\)

    Responder

    \((x+2)(x+1)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    \(x^2+7x+12\)

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    \(2x^2+7x+5\)

    Responder

    \((2x+5)(x+1)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    \(3x^2+4x+1\)

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    \(2x^2+11x+12\)

    Responder

    \((2x+3)(x+4)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    \(10x^2+33x+20\)

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    \(3x^2−x−4\)

    Responder

    \((3x−4)(x+1)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    \(3x^2+x−4\)

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    \(4x^2+8x−21\)

    Responder

    \((2x−3)(2x+7)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    \(2a^2−a−3\)

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    \(9a^2−7a+2\)

    Responder

    no factorizable

    Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

    \(16a^2+16a+3\)

    Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

    \(16y^2−26y+3\)

    Responder

    \((8y−1)(2y−3)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

    \(3y^2+14y−5\)

    Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

    \(10x^2+29x+10\)

    Responder

    \((5x+2)(2x+5)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

    \(14y^2+29y−15\)

    Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

    \(81a^2+19a+2\)

    Responder

    no factorizable

    Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

    \(24x^2+34x+5\)

    Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

    \(24x^2−34x+5\)

    Responder

    \((6x−1)(4x−5)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

    \(24x^2−26x−5\)

    Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

    \(24x^2+26x−5\)

    Responder

    \((6x−1)(4x+5)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

    \(6a^2+13a+6\)

    Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

    \(6x^2+5xy+y2\)

    Responder

    \((3x+y)(2x+y)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{24}\)

    \(6a^2−ay−y^2\)

    Para los siguientes problemas, el trinomio dado ocurre al resolver el problema aplicado correspondiente. Factorizar cada trinomio. No es necesario resolver el problema.

    Ejercicio\(\PageIndex{25}\)

    \(5r^2−24r−5\)

    Se necesitan 5 horas para remar un bote 12 millas río abajo y luego de regreso. La corriente fluye a razón de 1 milla por hora. ¿A qué ritmo se remó el bote?

    Responder

    \((5r+1)(r−5)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{26}\)

    \(x^2+5x−84\)

    La longitud de un rectángulo es 5 pulgadas más que el ancho del rectángulo. Si el área del rectángulo es de 84 pulgadas cuadradas, ¿cuál es la longitud y el ancho del rectángulo?

    Ejercicio\(\PageIndex{27}\)

    \(x^2+24x−145\)

    Un cuadrado mide 12 pulgadas en cada lado. Otro cuadrado se va a dibujar alrededor de esta plaza de tal manera que el área total sea de 289 pulgadas cuadradas. ¿Cuál es la distancia desde el borde del cuadrado más pequeño hasta el borde del cuadrado más grande? (Las dos plazas tienen el mismo centro.)

    Responder

    \((x+29)(x−5)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{28}\)

    \(x^2+8x−20\)

    Una mujer desea construir una caja rectangular que esté abierta en la parte superior. Ella desea que tenga 4 pulgadas de alto y tenga una base rectangular cuya longitud sea tres veces la anchura. El material utilizado para la base cuesta $2 por pulgada cuadrada, y el material utilizado para los lados cuesta $1.50 por pulgada cuadrada. La mujer gastará exactamente 120 dólares en materiales. Encuentra la dimensión de la caja (longitud de la base, ancho de la base y altura).

    Para los siguientes problemas, factorizar los trinomios si es posible.

    Ejercicio\(\PageIndex{29}\)

    \(16x^2−8xy−3y^2\)

    Responder

    \((4x+y)(4x−3y)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{30}\)

    \(6a^2+7ab+2b^2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{31}\)

    \(12a^2+7ab+12b^2\)

    Responder

    no factorizable

    Ejercicio\(\PageIndex{32}\)

    \(9x^2+18xy+8y^2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{33}\)

    \(8a^2+10ab−6b^2\)

    Responder

    \(2(4a^2+5ab−3b^2)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{34}\)

    \(12a^2+54a−90\)

    Ejercicio\(\PageIndex{35}\)

    \(12b^4+30b^2a+12a^2\)

    Responder

    \(6(2b^2+a)(b^2+2a)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{36}\)

    \(30a^4b^4−3a^2b^2−6c^2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{37}\)

    \(3a^6−3a^3b^2−18b^4\)

    Responder

    \(3(a^3+2b^2)(a^3−3b^2)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{38}\)

    \(20a^2b^2+2abc^2−6a^2c^4\)

    Ejercicio\(\PageIndex{39}\)

    \(14a^2z^2−40a^3z^2−46a^4z^2r\)

    Responder

    \(2a^2z^2(7−20a−23a^2) \text{ or}  −2a^2z^2(23a^2+20a−7)\)

    Ejercicios para revisión

    Ejercicio\(\PageIndex{40}\)

    Simplificar\((a^3b^6)^4\)

    Ejercicio\(\PageIndex{41}\)

    Encuentra el producto\(x^2(x-3)(x+4)\)

    Responder

    \(x^4+x^3−12x^2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{42}\)

    Encuentra el producto\((5m-3n)^2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{43}\)

    Resuelve la ecuación\(5(2x−1)−4(x+7)=0\).

    Responder

    \(x = \dfrac{11}{2}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{44}\)

    Factor\(x^5 - 8x^4 + 7x^3\)


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