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7.6: Graficar ecuaciones en forma de pendiente-intercepción

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    Uso de la pendiente y la intercepción para graficar una línea

    Cuando se da una ecuación lineal en la forma general,\(ax+by=c\), observamos que un enfoque gráfico eficiente fue el método de intercepción. Dejamos\(x=0\) y calculamos el valor correspondiente de\(y\), luego let\(y=0\) y calculamos el valor correspondiente de\(x\).

    Cuando una ecuación se escribe en la forma pendiente-intercepción\(y=mx+b\),, también hay formas eficientes de construir la gráfica. Una forma, pero menos eficiente, es elegir dos o tres\(x\) valores y calcular para encontrar los\(y\) valores correspondientes. Sin embargo, los cálculos son tediosos, consumen mucho tiempo y pueden generar errores. Otra forma, el método que se indica a continuación, hace uso de la pendiente y la\(y\) -intercepción para graficar la línea. Es rápido, sencillo y no implica cálculos.

    Método de graficación
    1. Trazar la\(y\) -intercepción\((0, b)\).
    2. Determinar otro punto usando la pendiente m.
    3. Dibuja una línea a través de los dos puntos.

    Recordemos que definimos la pendiente\(m\) como la relación\(\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\). El numerador\(y_2−y_1\) representa el número de unidades que\(y\) cambia y el denominador\(x_2 - x_1\) representa el número de unidades que\(x\) cambia. Supongamos\(m=pq\). Entonces\(p\) es el número de unidades que\(y\) cambia y\(q\) es el número de unidades que\(x\) cambia. Dado que estos cambios ocurren simultáneamente, comience con su lápiz en la\(y\) -intercepción, mueva\(p\) las unidades en la dirección vertical apropiada y luego mueva\(q\) las unidades en la dirección horizontal apropiada. Marcar un punto en esta ubicación.

    Conjunto de Muestras A

    Grafica las siguientes líneas.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    \(y = \dfrac{3}{4}x + 2\)

    1. El\(y\) -intercepto es el punto\((0,2)\). Así, la línea cruza las\(2\) unidades\(y\) del eje por encima del origen. Marcar un punto en\((0,2)\).

    Un plano de coordenadas xy con líneas de cuadrícula de cinco a cinco negativas en incrementos de una unidad para ambos ejes. El punto cero, dos se traza y se etiqueta en la cuadrícula.

    2. La pendiente,\(m\), es\(\dfrac{3}{4}\). Esto significa que si empezamos en algún punto de la línea y movemos nuestras\(3\) unidades de lápiz hacia arriba y luego\(4\) las unidades a la derecha, volveremos a estar en la línea. Empezar en un punto conocido, la\(y\) -intercepción\((0, 2)\). Mueva\(3\) las unidades hacia arriba, luego mueva\(4\) las unidades a la derecha. Marcar un punto en esta ubicación. (Tenga en cuenta también que\ dfrac {3} {4} =\ dfrac {-3} {-4}\). Esto significa que si empezamos en algún punto de la línea y movemos nuestras\(3\) unidades de lápiz hacia abajo y\(4\) las unidades a la izquierda, volveremos a estar en la línea. Tenga en cuenta también eso\(\dfrac{3}{4} = \dfrac{\dfrac{3}{4}}{1}\). Esto significa que si empezamos en algún punto de la línea y nos movemos a la\(1\) unidad derecha, tendremos que subir\(\dfrac{3}{4}\) unidad para volver a la línea.)

    Comenzando en punto con coordenadas cero, dos mueven tres unidades hacia arriba y cuatro unidades a la derecha para llegar al punto con las coordenadas cuatro, cinco.

    3. Dibuja una línea a través de ambos puntos.

    Gráfica de una línea que pasa por dos puntos con coordenadas cero, dos, y cuatro, cinco.

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    \(y = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{7}{2}\)

    1. El\(y\) -intercepto es el punto\((0, \dfrac{7}{2})\). Así, la línea cruza las\(\dfrac{7}{2}\) unidades\(y\) del eje por encima del origen. Marcar un punto\((0, \dfrac{7}{2})\), o\((0, 3\dfrac{1}{2})\).

    Un plano de coordenadas xy con líneas de cuadrícula de cinco a cinco negativas e incrementos de una unidad para ambos ejes. Se traza y etiqueta el punto cero, tres y medio.

    2. La pendiente,\(m\), es\(-\dfrac{1}{2}\). Podemos escribir\(-\dfrac{1}{2}\) como\(\dfrac{-1}{2}\). Así, partimos en un punto conocido, la\(y\) -intercepción\((0, 3\dfrac{1}{2})\), nos desplazamos hacia abajo una unidad (debido a la\(-1\)), luego movemos\(2\) las unidades a la derecha. Marcar un punto en esta ubicación.

    Comenzando en punto con coordenadas cero, tres y media mueven una unidad hacia abajo y dos unidades a la derecha para llegar al punto con las coordenadas dos, dos y media.

    3. Dibuja una línea a través de ambos puntos.

    Gráfica de una línea que pasa por dos puntos con coordenadas cero, tres y medio; y dos, dos y medio.

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    \(y = \dfrac{2}{5}x\)

    1. Podemos poner esta ecuación en pendiente-intercepción explícita escribiéndola como\(y = \dfrac{2}{5}x + 0\).

    El\(y\) -intercepto está en el punto\((0, 0)\), el origen. Esta línea va justo por el origen.

    Un plano de coordenadas xy con líneas de cuadrícula de cinco a cinco negativas e incrementos de una unidad para ambos ejes. El origen se etiqueta con el par de coordenadas cero, cero.

    2. La pendiente,\(m\), es\(\dfrac{2}{5}\). Comenzando por el origen, subimos\(2\) unidades, luego nos movemos a las\(5\) unidades correctas. Marcar un punto en esta ubicación.

    Una gráfica de una línea que pasa por dos puntos con coordenadas cero, cero; y cinco, dos. Comenzando en un punto con coordenadas cero, cero mueve dos unidades hacia arriba y cinco unidades a la derecha para llegar al punto con las coordenadas cinco, dos.

    3. Dibuja una línea a través de los dos puntos.

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    \(y = 2x - 4\)

    1. El\(y\) -intercepto es el punto\((0, -4)\). Así, la línea cruza las\(4\) unidades\(y\) del eje por debajo del origen. Marcar un punto en\((0, -4)\).

    Un punto con las coordenadas cero, negativo cuatro trazadas en un plano xy.

    2. La pendiente,\(m\), es\(2\). Si escribimos la pendiente como una fracción\(2 = \dfrac{2}{1}\),, podemos leer cómo hacer los cambios. Comience en el punto conocido\((0, -4)\), mueva hacia arriba\(2\) las unidades, luego mueva la\(1\) unidad derecha. Marcar un punto en esta ubicación.

    Una gráfica de una línea que pasa por dos puntos con coordenadas cero, negativo cuatro y uno, negativo dos.

    3. Dibuja una línea a través de los dos puntos.

    Conjunto de práctica A

    Utilice la\(y\) -intercepción y la pendiente para graficar cada línea.

    Problema de práctica\(\PageIndex{1}\)

    \(y = \dfrac{-2}{3} + 4\)

    Un plano xy con líneas de cuadrícula, etiquetadas como cinco y cinco negativas e incrementos de una unidad para ambos ejes.

    Responder

    Una gráfica de una línea que pasa por dos puntos con coordenadas cero, cuatro y tres, dos.

    Problema de práctica\(\PageIndex{2}\)

    \(y = \dfrac{3}{4}x\)

    Un plano xy con líneas de cuadrícula, etiquetado negativo cinco y cinco en ambos ejes.

    Responder

    Una gráfica de una línea que pasa por dos puntos con las coordenadas cero, cero y cuatro, tres.

    Ejercicios

    Para los siguientes problemas, grafica las ecuaciones.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    \(y = \dfrac{2}{3} + 1\)

    Un plano xy con líneas de cuadrícula, etiquetado negativo cinco y cinco en ambos ejes.

    Responder

    Una gráfica de una línea que pasa por dos puntos con coordenadas cero, uno y tres, tres.

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    \(y = \dfrac{1}{4}x - 2\)

    Un plano xy con líneas de cuadrícula, etiquetado negativo cinco y cinco en ambos ejes.

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    \(y = 5x - 4\)

    Un plano xy con líneas de cuadrícula, etiquetado negativo cinco y cinco en ambos ejes.

    Responder

    Una gráfica de una línea que pasa por dos puntos con coordenadas cero, negativo cuatro y uno, uno.

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    \(y = -\dfrac{6}{5} - 3\)

    Un plano xy con líneas de cuadrícula, etiquetado negativo cinco y cinco en ambos ejes.

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    \(y = \dfrac{3}{2} - 5\)

    Un plano xy con líneas de cuadrícula, etiquetado negativo cinco y cinco en ambos ejes.

    Responder

    Una gráfica de una línea que pasa por dos puntos con coordenadas cero, negativo cinco y dos, negativo dos.

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    \(y = \dfrac{1}{5}x + 2\)

    Un plano xy con líneas de cuadrícula, etiquetado negativo cinco y cinco en ambos ejes.

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    \(y = -\dfrac{8}{3} + 4\)

    Un plano xy con líneas de cuadrícula, etiquetado negativo cinco y cinco en ambos ejes.

    Responder

    Gráfica de una línea que pasa por dos puntos con coordenadas cero, cuatro y tres, cuatro negativas.

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    \(y = -\dfrac{10}{3} + 6\)

    Un plano xy con líneas de cuadrícula, etiquetado negativo cinco y cinco en ambos ejes.

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    \(y = 1x - 4\)

    Un plano xy con líneas de cuadrícula, etiquetado negativo cinco y cinco en ambos ejes.

    Responder

    Una gráfica de una línea que pasa por dos puntos con coordenadas cero, negativo cuatro y uno, negativo tres.

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    \(y = -2x + 1\)

    Un plano xy con líneas de cuadrícula, etiquetado negativo cinco y cinco en ambos ejes.

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    \(y = x + 2\)

    Un plano xy con líneas de cuadrícula, etiquetado negativo cinco y cinco en ambos ejes.

    Responder

    Una gráfica de una línea que pasa por dos puntos con coordenadas cero, dos y uno, tres.

    Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

    \(y = \dfrac{3}{5}x\)

    Un plano xy con líneas de cuadrícula, etiquetado negativo cinco y cinco en ambos ejes.

    Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

    \(y = -\dfrac{4}{3}\)

    Un plano xy con líneas de cuadrícula, etiquetado negativo cinco y cinco en ambos ejes.

    Responder

    Una gráfica de una línea que pasa por dos puntos con las coordenadas cero, cero y negativo tres, cuatro.

    Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

    \(y = x\)

    Un plano xy con líneas de cuadrícula, etiquetado negativo cinco y cinco en ambos ejes.

    Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

    \(y = -x\)

    Un plano xy con líneas de cuadrícula, etiquetado negativo cinco y cinco en ambos ejes.

    Responder

    Una gráfica de una línea que pasa por dos puntos con las coordenadas cero, cero y uno, uno negativo.

    Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

    \(3y−2x=−3\)

    Un plano xy con líneas de cuadrícula, etiquetado negativo cinco y cinco en ambos ejes.

    Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

    \(6x+10y=30\)

    Un plano xy con líneas de cuadrícula, etiquetado negativo cinco y cinco en ambos ejes.

    Responder

    Una gráfica de una línea que pasa por dos puntos con coordenadas cero, tres y cinco, cero.

    Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

    \(x+y=0\)

    Un plano xy con líneas de cuadrícula, etiquetado negativo cinco y cinco en ambos ejes.

    Ejercicios para revisión

    Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

    Resolver la desigualdad\(2 - 4x \ge x - 3\)

    Responder

    \(x≤1\)

    Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

    Graficar la desigualdad\(y+3>1.\)

    Una línea horizontal con flechas en ambos extremos.

    Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

    Grafica la ecuación\(y = -2\).

    Un plano xy con líneas de cuadrícula, etiquetado negativo cinco y cinco en ambos ejes.

    Responder

    Un gráfico de una línea paralela al eje x en un plano xy. La línea cruza el eje y en y es igual a dos negativos.

    Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

    Determinar la pendiente y\(y\) -intercepción de la línea\(−4y−3x=16\).

    Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

    Encuentra la pendiente de la línea que pasa por los puntos\((−1, 5)\) y\((2, 3)\).

    Responder

    \(m = \dfrac{-2}{3}\)


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