Saltar al contenido principal

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

Cuando estudiamos exponentes en la Sección 2.5, notamos que$$4^2 = 16$$ y$$(-4)^2 = 16$$. Podemos ver que$$16$$ es un cuadrado de ambos$$4$$ y$$-4$$. Ya que$$16$$ proviene de la cuadratura$$4$$ o$$-4$$,$$4$$ y$$-4$$ se llaman las raíces cuadradas de$$16$$. Así,$$16$$ tiene dos raíces cuadradas,$$4$$ y$$-4$$. Observe que estas dos raíces cuadradas son opuestas entre sí.

Podemos decir que

La raíz cuadrada de un número positivo$$x$$ es un número tal que cuando se cuadra el número$$x$$ resulta.

Conjunto de Muestras A

Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

Las dos raíces cuadradas de$$49$$ son$$7$$ y$$-7$$ desde:

$$7^2 = 49$$y$$(-7)^2 = 49$$.

Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

Las dos raíces cuadradas de$$\dfrac{49}{64}$$ son$$\dfrac{7}{8}$$ y$$\dfrac{-7}{8}$$ desde:

$$(\dfrac{7}{8})^2 = \dfrac{7}{8} \cdot \dfrac{7}{8} = \dfrac{49}{64}$$y$$(\dfrac{-7}{8})^2 = \dfrac{-7}{8} \cdot \dfrac{-7}{8} = \dfrac{49}{64}$$

Conjunto de práctica A

Problema de práctica$$\PageIndex{1}$$

$$36$$

Contestar

$$6$$y$$-6$$

Problema de práctica$$\PageIndex{2}$$

$$25$$

Contestar

$$5$$y$$-5$$.

Problema de práctica$$\PageIndex{3}$$

$$100$$

Contestar

$$10$$y$$-10$$

Problema de práctica$$\PageIndex{4}$$

$$64$$

Contestar

$$8$$y$$-8$$

Problema de práctica$$\PageIndex{5}$$

$$1$$

Contestar

$$1$$y$$-1$$

Problema de práctica$$\PageIndex{6}$$

$$\dfrac{1}{4}$$

Contestar

$$\dfrac{1}{2}$$y$$-\dfrac{1}{2}$$

Problema de práctica$$\PageIndex{7}$$

$$\dfrac{9}{16}$$

Contestar

$$\dfrac{3}{4}$$y$$-\dfrac{3}{4}$$

Problema de práctica$$\PageIndex{8}$$

$$0.1$$

Contestar

$$0.1$$y$$−0.1$$

Problema de práctica$$\PageIndex{9}$$

$$0.09$$

Contestar

$$0.03$$y$$−0.03$$

Hay una notación para distinguir la raíz cuadrada positiva de un número$$x$$ de la raíz cuadrada negativa de$$x$$.

Raíz cuadrada principal:$$\sqrt{x}$$

Si$$x$$ es un número real positivo, entonces

$$\sqrt{x}$$representa la raíz cuadrada positiva de$$x$$. La raíz cuadrada positiva de un número se llama la raíz cuadrada principal del número.

Raíz Cuadrada Secundaria: -$$\sqrt{x}$$

$$-\sqrt{x}$$representa la raíz cuadrada negativa de$$x$$. La raíz cuadrada negativa de un número se llama raíz cuadrada secundaria del número.

$$-\sqrt{x}$$indica la raíz cuadrada secundaria de$$x$$.

En la expresión$$\sqrt{x}$$,

$$\sqrt{}$$se llama un signo radical.

$$x$$se llama el radicando.

$$\sqrt{x}$$se llama radical

La barra horizontal que aparece unida al signo radical,$$\sqrt{}$$, es un símbolo de agrupación que especifica el radicando.

Porque$$\sqrt{x}$$ y$$-\sqrt{x}$$ son las dos raíces cuadradas de$$x$$,

$$(\sqrt{x})(\sqrt{x}) = x$$y$$(-\sqrt{x})(-\sqrt{x}) = x$$.

Conjunto de Muestras B

Ejemplo$$\PageIndex{3}$$

$$9$$

Raíz cuadrada principal:$$\sqrt{9} = 3$$

Raíz cuadrada secundaria:$$-\sqrt{9} = -3$$

Ejemplo$$\PageIndex{4}$$

$$15$$

Raíz cuadrada principal:$$\sqrt{15}$$

Raíz cuadrada secundaria:$$-\sqrt{15}$$

Ejemplo$$\PageIndex{5}$$

Utilice una calculadora para obtener una aproximación decimal para las dos raíces cuadradas de$$34$$. Redondear a dos decimales.

Tipo:$$34$$

Prensa:$$\sqrt{}$$

La pantalla lee:$$5.8309519$$

Redondeo a$$5.83$$

Observe que el símbolo de raíz cuadrada en la calculadora es$$\sqrt{}$$. Esto significa, por supuesto, que una calculadora producirá sólo la raíz cuadrada positiva. Debemos suministrar nosotros mismos la raíz cuadrada negativa.

$$\sqrt{34}$$\ aprox 5.83\) y$$-\sqrt{34} \approx -5.83$$

Aviso: el símbolo$$\approx$$ significa “aproximadamente igual a”.

Ejemplo$$\PageIndex{6}$$

¿El número$$\sqrt{50}$$ está entre qué dos números enteros?

Ya que$$7^2 = 49, \sqrt{49} = 7$$.

Ya que$$8^2 = 64, \sqrt{64} = 8$$. Así,

$$7 < \sqrt{50} < 8$$

Así,$$\sqrt{50}$$ es un número entre$$7$$ y$$8$$.

Set de práctica B

Problema de práctica$$\PageIndex{10}$$

$$100$$

Contestar

$$\sqrt{100} = 10$$y$$-\sqrt{100} = -10$$

Problema de práctica$$\PageIndex{11}$$

$$121$$

Contestar

$$\sqrt{121} = 11$$y$$-\sqrt{121} = -11$$

Problema de práctica$$\PageIndex{12}$$

$$35$$

Contestar

$$\sqrt{35}$$y$$-\sqrt{35}$$

Problema de práctica$$\PageIndex{13}$$

Utilice una calculadora para obtener una aproximación decimal para las dos raíces cuadradas de$$35$$. Redondear a dos decimales.

Contestar

\ 95.92\) y$$-5.92$$

Expresiones significativas

Ya que sabemos que el cuadrado de cualquier número real es un número positivo o cero, podemos ver que expresiones como$$\sqrt{-16}$$ no describen números reales. No hay un número real que pueda ser cuadrado que produzca$$-16$$. $$\sqrt{x}$$Para ser un número real, debemos tener$$x \ge 0$$. En nuestro estudio del álgebra, asumiremos que todas las variables y todas las expresiones en los radicandos representan números no negativos (números mayores o iguales a cero).

Conjunto de Muestras C

Escribe las restricciones adecuadas que se deben colocar en la variable para que cada expresión represente un número real.

Ejemplo$$\PageIndex{7}$$

$$\sqrt{x-3}$$para ser un número real, debemos tener:

$$x - 3 \ge 0$$o$$x \ge 3$$

Ejemplo$$\PageIndex{8}$$

$$\sqrt{2m + 7}$$Para ser un número real, debemos tener:

$$2m + 7 \ge 0$$$$2m \ge -7$$o$$m \ge \dfrac{-7}{2}$$

Set de práctica C

Escribe las restricciones adecuadas que se deben colocar en la variable para que cada expresión represente un número real.

Problema de práctica$$\PageIndex{14}$$

$$\sqrt{x+5}$$

Contestar

$$x \ge -5$$

Problema de práctica$$\PageIndex{15}$$

$$\sqrt{y - 8}$$

Contestar

$$y≥8$$

Problema de práctica$$\PageIndex{16}$$

$$\sqrt{3a + 2}$$

Contestar

$$a \ge -\dfrac{2}{3}$$

Problema de práctica$$\PageIndex{17}$$

$$\sqrt{5m - 6}$$

Contestar

$$m \ge \dfrac{6}{5}$$

Ejemplo$$\PageIndex{9}$$

Ya que$$(x^3)^2 = x^{3 \cdot 2} - x^6, x^3$$ es una raíz cuadrada de$$x^6$$. También

Ejemplo$$\PageIndex{10}$$

Ya que$$(x^4)^2 = x^{4 \cdot 2} = x^8, x^4$$ es una raíz cuadrada de$$x^8$$. También

Ejemplo$$\PageIndex{11}$$

Ya que$$(x^6)^2 = x^{6 \cdot 2} = x^{12}, x^6$$ es una raíz cuadrada de$$x^{12}$$. También

Estos ejemplos sugieren la siguiente regla:

Si una variable tiene un exponente par, su raíz cuadrada se puede encontrar dividiendo ese exponente por$$2$$.

Los ejemplos del Conjunto de Muestras B ilustran el uso de esta regla.

Conjunto de Muestras D

Ejemplo$$\PageIndex{12}$$

$$\sqrt{a^2}$$Buscamos una expresividad cuya plaza es$$a^2$$. Dado que$$(a)^2 = a^2$$,

$$\sqrt{a^2} = a$$Observe que$$2 \div 2 = 1$$

Ejemplo$$\PageIndex{13}$$

$$\sqrt{y^8}$$Buscamos una expresión cuya plaza es$$y^8$$. Dado que$$(y^4)^2 = y^8$$,

$$\sqrt{y^8} = y^4$$Observe eso$$8 \div 2 = 4$$.

Ejemplo$$\PageIndex{14}$$

$$\sqrt{25m^2n^6}$$. Buscamos una expresión cuya plaza es$$25m^2n^6$$. Dado que$$(5mn^3)^2 = 25m^2n^6$$,

$$\sqrt{25m^2n^6} = 5mn^3$$Observe que$$2 \div 2 = 1$$ y$$6 \div 2 = 3$$.

Ejemplo$$\PageIndex{15}$$

$$-\sqrt{121a^{10}(b-1)^4}$$Buscamos una expresión cuya plaza es$$121a^{10}(b-1)^4$$. Desde

\ (\ begin {array} {Flushleft}
\ left [11 a^ {5} (b-1) ^ {2}\ derecha] ^ {2} &= 121a^ {10} (b-1) ^4,\
\\ sqrt {121a^ {10} (b-1) ^4} &= 1a^5 (b-1) ^2\
\ text {Entonces,} -\ sqrt {121a^ {10} (b-1) ^4} &= -11a^5 (b-1) ^2 &\ text {Observe que} 10\ div 2 = 5\ texto {y} 4\ div 2 = 2
\ end {array}\)

Set de Práctica D

Problema de práctica$$\PageIndex{18}$$

$$\sqrt{y^8}$$

Contestar

$$y^4$$

Problema de práctica$$\PageIndex{19}$$

$$\sqrt{16a^4}$$

Contestar

$$4a^2$$

Problema de práctica$$\PageIndex{20}$$

$$\sqrt{49x^4y^6}$$

Contestar

$$7x^2y^3$$

Problema de práctica$$\PageIndex{21}$$

$$-\sqrt{100x^8y^{12}z^2}$$

Contestar

$$-10x^4y^6z$$

Problema de práctica$$\PageIndex{22}$$

$$-\sqrt{36(a+5)^4}$$

Contestar

$$-6a(a+5)^2$$

Problema de práctica$$\PageIndex{23$$

$$\sqrt{225w^4(z^2-1)^2}$$

Contestar

$$15w^2(z^2 - 1)$$

Problema de práctica$$\PageIndex{24}$$

$$\sqrt{0.25y^6z^{14}}$$

Contestar

$$0.5y^3z^7$$

Problema de práctica$$\PageIndex{25}$$

$$\sqrt{x^{2n}}$$, donde$$n$$ es un número natural

Contestar

$$x^n$$

Problema de práctica$$\PageIndex{26}$$

$$\sqrt{x^{4n}}$$, donde$$n$$ es un número natural.

Contestar

$$x^{2n}$$

Ejercicios

Contestar

dos

Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

El símbolo$$\sqrt{}$$ representa qué raíz cuadrada de un número?

Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

El símbolo$$-\sqrt{}$$ representa qué raíz cuadrada de un número?

Contestar

secundaria

64

81

Contestar

9 y −9

25

121

Contestar

11 y −11

144

225

Contestar

15 y −15

10,000

Ejercicio$$\PageIndex{11}$$

$$\dfrac{1}{16}$$

Contestar

$$\dfrac{1}{4}$$y$$-\dfrac{1}{4}$$

Ejercicio$$\PageIndex{12}$$

$$\dfrac{1}{49}$$

Ejercicio$$\PageIndex{13}$$

$$\dfrac{25}{36}$$

Contestar

$$\dfrac{5}{6}$$y$$-\dfrac{5}{6}$$

Ejercicio$$\PageIndex{14}$$

$$\dfrac{121}{225}$$

Ejercicio$$\PageIndex{15}$$

$$0.04$$

Contestar

$$0.2$$y$$-0.2$$

Ejercicio$$\PageIndex{16}$$

$$0.16$$

Ejercicio$$\PageIndex{17}$$

$$1.21$$

Contestar

$$1.1$$y$$−1.1$$

Para los siguientes problemas, evalúe cada expresión. Si la expresión no representa un número real, escriba “no un número real”.

Ejercicio$$\PageIndex{18}$$

$$\sqrt{49}$$

Ejercicio$$\PageIndex{19}$$

$$\sqrt{64}$$

Contestar

$$8$$

Ejercicio$$\PageIndex{20}$$

$$-\sqrt{36}$$

Ejercicio$$\PageIndex{21}$$

$$-\sqrt{100}$$

Contestar

$$-10$$

Ejercicio$$\PageIndex{22}$$

$$-\sqrt{169}$$

Ejercicio$$\PageIndex{23}$$

$$-\sqrt{\dfrac{36}{81}}$$

Contestar

$$\dfrac{2}{3}$$

Ejercicio$$\PageIndex{24}$$

$$-\sqrt{\dfrac{121}{169}}$$

Ejercicio$$\PageIndex{25}$$

$$\sqrt{-225}$$

Contestar

no es un número real

Ejercicio$$\PageIndex{26}$$

$$\sqrt{-36}$$

Ejercicio$$\PageIndex{27}$$

$$-\sqrt{-1}$$

Contestar

no es un número real

Ejercicio$$\PageIndex{28}$$

$$-\sqrt{-5}$$

Ejercicio$$\PageIndex{29}$$

$$-(-\sqrt{9})$$

Contestar

$$3$$

Ejercicio$$\PageIndex{30}$$

$$-(-\sqrt{0.81})$$

Para los siguientes problemas, escriba las restricciones adecuadas que se deben colocar en la variable para que la expresión represente un número real.

Ejercicio$$\PageIndex{31}$$

$$\sqrt{y + 10}$$

Contestar

$$y≥−10$$

Ejercicio$$\PageIndex{32}$$

$$\sqrt{x + 4}$$

Ejercicio$$\PageIndex{33}$$

$$\sqrt{a - 16}$$

Contestar

$$a≥16$$

Ejercicio$$\PageIndex{34}$$

$$\sqrt{h - 11}$$

Ejercicio$$\PageIndex{35}$$

$$\sqrt{2k - 1}$$

Contestar

$$k \ge \dfrac{1}{2}$$

Ejercicio$$\PageIndex{36}$$

$$\sqrt{7x + 8}$$

Ejercicio$$\PageIndex{37}$$

$$\sqrt{-2x - 8}$$

Contestar

$$x≤−4$$

Ejercicio$$\PageIndex{38}$$

$$\sqrt{-5y + 15}$$

Ejercicio$$\PageIndex{39}$$

$$\sqrt{m^6}$$

Contestar

$$m^3$$

Ejercicio$$\PageIndex{40}$$

$$\sqrt{k^{10}}$$

Ejercicio$$\PageIndex{41}$$

$$\sqrt{a^8}$$

Contestar

$$a^4$$

Ejercicio$$\PageIndex{42}$$

$$\sqrt{h^{16}}$$

Ejercicio$$\PageIndex{43}$$

$$\sqrt{x^4y^{10}}$$

Contestar

$$x^2y^5$$

Ejercicio$$\PageIndex{44}$$

$$\sqrt{a^6b^{20}}$$

Ejercicio$$\PageIndex{45}$$

$$\sqrt{a^4b^6}$$

Contestar

$$a^2b^3$$

Ejercicio$$\PageIndex{46}$$

$$\sqrt{x^8y^{14}}$$

Ejercicio$$\PageIndex{47}$$

$$\sqrt{81a^2b^2}$$

Contestar

$$9ab$$

Ejercicio$$\PageIndex{48}$$

$$\sqrt{49x^6y^4}$$

Ejercicio$$\PageIndex{49}$$

$$\sqrt{100m^8n^2}$$

Contestar

$$10m^4n$$

Ejercicio$$\PageIndex{50}$$

$$\sqrt{225p^{14}r^{16}}$$

Ejercicio$$\PageIndex{51}$$

$$\sqrt{36x^{22}y^{44}}$$

Contestar

$$6x^{11}y^{22}$$

Ejercicio$$\PageIndex{52}$$

$$\sqrt{169w^4z^6(m-1)^2}$$

Ejercicio$$\PageIndex{53}$$

$$\sqrt{25x^{12}(y-1)^4}$$

Contestar

$$5x^6(y-1)^2$$

Ejercicio$$\PageIndex{54}$$

$$\sqrt{64a^{10}(a+4)^{14}}$$

Ejercicio$$\PageIndex{55}$$

$$\sqrt{9m^6n^4(m + n)^{18}}$$

Contestar

$$3m^3n^2(m + n)^9$$

Ejercicio$$\PageIndex{56}$$

$$\sqrt{25m^{26}n^{42}r^{66}s^{84}}$$

Ejercicio$$\PageIndex{57}$$

$$\sqrt{(f-2)^2(g+6)^4}$$

Contestar

$$(f-2)(g+6)^4$$

Ejercicio$$\PageIndex{58}$$

$$\sqrt{(2c - 3)^6 + (5c + 1)^2}$$

Ejercicio$$\PageIndex{59}$$

$$-\sqrt{64r^4s^{22}}$$

Contestar

$$-8r^2s^{11}$$

Ejercicio$$\PageIndex{60}$$

$$-\sqrt{121a^6(a-4)^8}$$

Ejercicio$$\PageIndex{61}$$

$$-[-\sqrt{(w+6)^2}]$$

Contestar

$$w + 6$$

Ejercicio$$\PageIndex{62}$$

$$-[-\sqrt{4a^2b^2(c^2 + 8)^2}]$$

Ejercicio$$\PageIndex{63}$$

$$\sqrt{1.21h^4k^4}$$

Contestar

$$1.1h^2k^2$$

Ejercicio$$\PageIndex{64}$$

$$\sqrt{2.25m^6p^6}$$

Ejercicio$$\PageIndex{65}$$

$$-\sqrt{\dfrac{169a^2b^4c^6}{196x^4y^6z^8}}$$

Contestar

$$-\dfrac{12ab^2c^3}{14x^2y^3z^4}$$

Ejercicio$$\PageIndex{66}$$

$$-[\sqrt{\dfrac{81y^4(z-1)^2}{225x^8z^4w^6}}]$$

Ejercicios para la revisión

Ejercicio$$\PageIndex{67}$$

Encuentra el cociente. $$\dfrac{x^2 - 1}{4x^2 - 1} \div \dfrac{x-1}{2x + 1}$$

Contestar

$$\dfrac{x+1}{2x-1}$$

Ejercicio$$\PageIndex{68}$$

Encuentra la suma. $$\dfrac{1}{x+1} + \dfrac{3}{x+1} + \dfrac{2}{x^2 - 1}$$

Ejercicio$$\PageIndex{69}$$

Resuelve la ecuación, si es posible:$$\dfrac{1}{x-2} = \dfrac{3}{x^2 - x - 2} - \dfrac{3}{x+1}$$

Contestar

Ninguna solución;$$x=2$$ está excluida.

Ejercicio$$\PageIndex{70}$$

Realizar la división:$$\dfrac{15x^3 - 5x^2 + 10x}{5x}$$

Ejercicio$$\PageIndex{71}$$

Realizar la división:$$\dfrac{x^3 - 5x^2 + 13x - 21}{x-3}$$

Contestar

$$x^2 - 2x + 7$$