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En nuestro trabajo con la simplificación de expresiones de raíz cuadrada, señalamos que

$$\sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}$$

Como esta es una ecuación, podemos escribirla como:

$$\sqrt{x} \sqrt{y} = \sqrt{xy}$$

##### La propiedad del producto$$\sqrt{x} \sqrt{y} = \sqrt{xy}$$

$$\sqrt{x} \sqrt{y} = \sqrt{xy}$$

En la práctica, suele ser más fácil simplificar las expresiones de raíz cuadrada antes de realizar realmente la multiplicación. Para ver esto, considera el siguiente producto:

$$\sqrt{8} \sqrt{48}$$

##### Simplfy luego multiplicar

$$\sqrt{4 \cdot 2} \sqrt{16 \cdot 3} = (2 \sqrt{2})(4 \sqrt{3}) = 2 \cdot 4 \sqrt{2 \cdot 3} = 8 \sqrt{6}$$

##### Multiplicar y luego simplificar

$$\sqrt{8} \sqrt{48} = \sqrt{8 \cdot 48} = \sqrt{384} = \sqrt{64 \cdot 6} = 8 \sqrt{6}$$

Observe que en el segundo método, el término expandido (la tercera expresión,$$\sqrt{384}$$) puede ser difícil de facturar en un cuadrado perfecto y algún otro número.

El ejemplo anterior sugiere que la siguiente regla para multiplicar dos expresiones de raíz cuadrada.

2. Realizar la multiplicación.
3. Simplificar, si es necesario.

## Conjunto de Muestras A

Encuentra cada uno de los siguientes productos.

##### Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

$$\sqrt{3} \sqrt{6} = \sqrt{3 \cdot 6} = \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$$

##### Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

$$\sqrt{8} \sqrt{2} = 2 \sqrt{2} \sqrt{2} = 2 \sqrt{2 \cdot 2} = 2 \sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4$$

Este producto podría ser más fácil si tuviéramos que multiplicar primero y luego simplificar.

$$\sqrt{8} \sqrt{2} = \sqrt{8 \cdot 2} = \sqrt{16} = 4$$

##### Ejemplo$$\PageIndex{3}$$

$$\sqrt{20} \sqrt{7} = \sqrt{4} \sqrt{5} \sqrt{7} = 2 \sqrt{5 \cdot 7} = 2 \sqrt{35}$$

##### Ejemplo$$\PageIndex{4}$$

\ (\ begin {array} {ras a la izquierda}
\ sqrt {5a^3}\ sqrt {27a^5} = (a\ sqrt {5a}) (3a^2\ sqrt {3a}) &= 3a^3\ sqrt {15a^2}\\
&= 3a^3\ cdot a\ sqrt {15}\\
&= 3a^4\ sqrt rt {15}
\ end {array}\)

##### Ejemplo$$\PageIndex{5}$$

\ (\ begin {array} {ras a la izquierda}
\ sqrt {(x+2) ^7}\ sqrt {x-1} =\ sqrt {(x+2) ^6 (x+2)}\ sqrt {x-1} &= (x+2) ^3\ sqrt {(x+2)}\ sqrt {x-1}\\
&= (x+2) ^3\ sqrt {(x+2) (x-1)}\\
\ texto {o} &= (x+2) ^3\ sqrt {x^2 + x - 2}
\ end {array}\)

##### Ejemplo$$\PageIndex{6}$$

\ (\ begin {array} {ras izquierda}
\ sqrt {3} (7+\ sqrt {6}) =7\ sqrt {3} +\ sqrt {3}\ sqrt {6} &=7\ sqrt {3} +\ sqrt {18}\\
&=7\ sqrt {3} +\ sqrt {9\ cdot 2}\\
&=7\ sqrt {3} +3\ sqrt {2}
\ end {array}\)

##### Ejemplo$$\PageIndex{7}$$

\ (\ begin {array} {ras izquierda}
\ sqrt {6} (\ sqrt {2} -\ sqrt {10}) &=\ sqrt {6}\ sqrt {2} -\ sqrt {6}\ sqrt {10}\\
&=\ sqrt {12} -\ sqrt {60}\\
&=\ sqrt {4\ cdot 3} -\ sqrt {4\ cdot 15}\\
&= 2\ sqrt {3} - 2\ sqrt {15}
\ end {array}\)

##### Ejemplo$$\PageIndex{8}$$

\ (\ begin {array} {ras izquierda}
\ sqrt {45 a^ {6} b^ {3}}\ izquierda [\ sqrt {9 a b} -\ sqrt {5 (b-3) ^ {3}}\ derecha] &=3 a^ {3} b\ sqrt {5 b} [3\ sqrt {a b} - (b-3)\ sqrt {5 (b-3))}]\\
&=9 a^ {3} b\ sqrt {5 a b^ {2}} -3 a^ {3} b (b-3)\ sqrt {25 b (b-3)}\\
&=9 a^ {3} b^ {2}\ sqrt {5 a} -3 a^ {3} b (b-3) \ cdot 5\ sqrt {b (b-3)}\\
&=9 a^ {3} b^ {2}\ sqrt {5 a} -15 a^ {3} b (b-3)\ sqrt {b (b-3)}
\ end {array}\)

## Conjunto de práctica A

Encuentra cada uno de los siguientes productos.

##### Problema de práctica$$\PageIndex{1}$$

$$\sqrt{5} \sqrt{6}$$

Contestar

$$\sqrt{30}$$

##### Problema de práctica$$\PageIndex{2}$$

$$\sqrt{32} \sqrt{2}$$

Contestar

$$8$$

##### Problema de práctica$$\PageIndex{3}$$

$$\sqrt{x+4} \sqrt{x+3}$$

Contestar

$$\sqrt{(x+4)(x+3)}$$

##### Problema de práctica$$\PageIndex{4}$$

$$\sqrt{8m^5n} \sqrt{20m^2n}$$

Contestar

$$4m^3n \sqrt{10m}$$

##### Problema de práctica$$\PageIndex{5}$$

$$\sqrt{9(k-6)^3} \sqrt{k^2 - 12k + 36}$$

Contestar

$$3(k-6)^2 \sqrt{k-6}$$

##### Problema de práctica$$\PageIndex{6}$$

$$\sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{5}$$

Contestar

$$\sqrt{6} + \sqrt{15}$$

##### Problema de práctica$$\PageIndex{7}$$

$$\sqrt{2a} (\sqrt{5a} - \sqrt{8a^3})$$

Contestar

$$a \sqrt{10} - 4a^2$$

##### Problema de práctica$$\PageIndex{8}$$

$$\sqrt{32m^5n^8} \sqrt{2mn^2} - \sqrt{n^7}$$

Contestar

$$8m^3n^2 \sqrt{n} - 8m^2n^5\sqrt{5m}$$

## Ejercicios

##### Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

$$\sqrt{2} \sqrt{10}$$

Contestar

$$2 \sqrt{5}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

$$\sqrt{3} \sqrt{15}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

$$\sqrt{7} \sqrt{8}$$

Contestar

$$2 \sqrt{14}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

$$\sqrt{20} \sqrt{3}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

$$\sqrt{32} \sqrt{27}$$

Contestar

$$12 \sqrt{6}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

$$\sqrt{45} \sqrt{50}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

$$\sqrt{5} \sqrt{5}$$

Contestar

$$5$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

$$\sqrt{7} \sqrt{7}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

$$\sqrt{8} \sqrt{8}$$

Contestar

$$8$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

$$\sqrt{15} \sqrt{15}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{11}$$

$$\sqrt{48} \sqrt{27}$$

Contestar

$$36$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{12}$$

$$\sqrt{80} \sqrt{20}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{13}$$

$$\sqrt{5} \sqrt{m}$$

Contestar

$$\sqrt{5m}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{14}$$

$$\sqrt{7} \sqrt{a}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{15}$$

$$\sqrt{6} \sqrt{m}$$

Contestar

$$\sqrt{6m}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{16}$$

$$\sqrt{10} \sqrt{h}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{17}$$

$$\sqrt{20} \sqrt{a}$$

Contestar

$$2 \sqrt{5a}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{18}$$

$$\sqrt{48} \sqrt{x}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{19}$$

$$\sqrt{75} \sqrt{y}$$

Contestar

$$5 \sqrt{3y}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{20}$$

$$\sqrt{200} \sqrt{m}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{21}$$

$$\sqrt{a} \sqrt{a}$$

Contestar

$$a$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{22}$$

$$\sqrt{x} \sqrt{x}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{23}$$

$$\sqrt{y} \sqrt{y}$$

Contestar

$$y$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{24}$$

$$\sqrt{h} \sqrt{h}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{25}$$

$$\sqrt{3} \sqrt{3}$$

Contestar

$$3$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{26}$$

$$\sqrt{6} \sqrt{6}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{27}$$

$$\sqrt{k} \sqrt{k}$$

Contestar

$$k$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{28}$$

$$\sqrt{m} \sqrt{m}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{29}$$

$$\sqrt{m^2} \sqrt{m}$$

Contestar

$$m \sqrt{m}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{30}$$

$$\sqrt{a^2} \sqrt{a}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{31}$$

$$\sqrt{x^3} \sqrt{x}$$

Contestar

$$x^2$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{32}$$

$$\sqrt{y^3} \sqrt{y}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{33}$$

$$\sqrt{y} \sqrt{y^4}$$

Contestar

$$y^2 \sqrt{y}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{34}$$

$$\sqrt{k} \sqrt{k^6}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{35}$$

$$\sqrt{a^3} \sqrt{a^5}$$

Contestar

$$a^4$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{36}$$

$$\sqrt{x^3} \sqrt{x^7}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{37}$$

$$\sqrt{x^9} \sqrt{x^3}$$

Contestar

$$x^6$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{38}$$

$$\sqrt{y^3} \sqrt{y^4}$$

Contestar

$$y^3 \sqrt{y}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{39}$$

$$\sqrt{x^8} \sqrt{x^5}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{40}$$

$$\sqrt{x+2} \sqrt{x-3}$$

Contestar

$$\sqrt{(x+2)(x-3)}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{41}$$

$$\sqrt{a-6} \sqrt{a+1}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{42}$$

$$\sqrt{y+3} \sqrt{y - 2}$$

Contestar

$$\sqrt{(y+3)(y-2)}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{43}$$

$$\sqrt{h+1} \sqrt{h-1}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{44}$$

$$\sqrt{x+9} \sqrt{(x+9)^2}$$

Contestar

$$(x+9) \sqrt{x+9}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{45}$$

$$\sqrt{y-3} \sqrt{(y-3)^5}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{46}$$

$$\sqrt{3a^2} \sqrt{15a^3}$$

Contestar

$$3a^2 \sqrt{5a}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{47}$$

$$\sqrt{2m^4n^3} \sqrt{14m^5n}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{48}$$

$$\sqrt{12(p-q)^3} \sqrt{3(p-q)^5}$$

Contestar

$$6(p-q)^4$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{49}$$

$$\sqrt{15a^2(b+4)^4} \sqrt{21a^3(b+4)^5}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{50}$$

$$\sqrt{125m^5n^4r^8} \sqrt{8m^6r}$$

Contestar

$$10m^5n^2r^4 \sqrt{10mr}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{51}$$

$$\sqrt{7(2k-1)^{11}(k+1)^3} \sqrt{14(2k-1)^{10}}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{52}$$

$$\sqrt{y^3} \sqrt{y^5} \sqrt{y^2}$$

Contestar

$$y^5$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{53}$$

$$\sqrt{x^6} \sqrt{x^2} \sqrt{x^9}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{54}$$

$$\sqrt{2a^4} \sqrt{5a^3} \sqrt{2a^7}$$

Contestar

$$2a^7 \sqrt{5}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{55}$$

$$\sqrt{x^n} \sqrt{x^n}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{56}$$

$$\sqrt{y^2n} \sqrt{y^4n}$$

Contestar

$$y^{3n}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{57}$$

$$\sqrt{a^{2n + 5}} \sqrt{a^3}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{58}$$

$$\sqrt{2m^{3n + 1}} \sqrt{10m^{n + 3}}$$

Contestar

$$2m^{2n + 2} \sqrt{5}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{59}$$

$$\sqrt{75(a-2)^7} \sqrt{48a - 96}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{60}$$

$$\sqrt{2} (\sqrt{8} + \sqrt{6})$$

Contestar

$$2(2 + \sqrt{3})$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{61}$$

$$\sqrt{5}(\sqrt{3} + \sqrt{7})$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{62}$$

$$\sqrt{3} (\sqrt{x} + \sqrt{2})$$

Contestar

$$\sqrt{3x} + \sqrt{6}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{63}$$

$$\sqrt{11}(\sqrt{y} + \sqrt{3})$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{64}$$

$$\sqrt{8}(\sqrt{a} - \sqrt{3a})$$

Contestar

$$2\sqrt{2a} - 2\sqrt{6a}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{65}$$

$$\sqrt{x}(\sqrt{x^3} - \sqrt{2x^4})$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{66}$$

$$\sqrt{y}(\sqrt{y^5} \sqrt{3y^3})$$

Contestar

$$9y^2(y + \sqrt{3})$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{67}$$

$$\sqrt{8a^5}(\sqrt{2a} - \sqrt{6a^{11}})$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{68}$$

$$\sqrt{12m^3} (\sqrt{6m^7} - \sqrt{3m})$$

Contestar

$$6m^2 (m^3 \sqrt{2} - 1)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{69}$$

$$\sqrt{5x^4y^3} (\sqrt{8xy} - 5\sqrt{7x})$$

## Ejercicios para la revisión

##### Ejercicio$$\PageIndex{70}$$

Factor$$a^4y^4 - 25w^2$$

Contestar

$$(a^2y^2 + 5w)(a^2y^2 - 5w)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{71}$$

Encuentra la pendiente de la línea que pasa por los puntos$$(-5, 4)$$ y$$(-3, 4)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{72}$$

$$\dfrac{15 x^{2}-20 x}{6 x^{2}+x-12} \cdot \dfrac{8 x+12}{x^{2}-2 x-15} \div \dfrac{5 x^{2}+15 x}{x^{2}-25}$$

Contestar

$$\dfrac{4(x+5)}{(x+3)^2}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{73}$$

Simplificar$$\sqrt{x^4y^2z^6}$$ eliminando el signo radical

##### Ejercicio$$\PageIndex{74}$$

Simplificar$$\sqrt{12x^3y^5z^8}$$

Contestar

$$2xy^2z^4 \sqrt{3xy}$$