10.6: Resolver ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática
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Forma estándar de una ecuación cuadrática
Hemos observado que una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma
\(ax^2 + bx + c = 0, a \not = 0\).
donde
- \(a\)es el coeficiente del término cuadrático,
- \(b\)es el coeficiente del término lineal,
- \(c\)es el término constante.
La ecuación\(ax^2 + bc + c = 0\) es la forma estándar de una ecuación cuadrática.
Conjunto de Muestras A
Determinar los valores de\(a, b\), y\(c\).
En la ecuación\(3x^2 + 5x + 2 = 0\),
\(a = 3\)
\(b = 5\)
\(c = 2\)
En la ecuación\(12x^2-2x-1 = 0\),
\(a = 12\)
\(b = -2\)
\(c = -1\)
En la ecuación\(2y^2 + 3 = 0\),
\(a = 2\)
\(b = 0\)-> Porque la ecuación podría escribirse\(2y^2 + 0y + 3 = 0\)
\(c = 3\)
En la ecuación\(-8y^2 + 11y = 0\),
\(a = -8\)
\(b = 11\)
\(c = 0\)-> Desde\(-8y^2 + 11y + 0 = 0\)
En la ecuación\(z^2 = z + 8\),
\(a = 1\)
\(b = -1\)
\(c = -8\)
Cuando escribimos la ecuación en forma estándar, obtenemos\(z^2 - z - 8 = 0\)
Conjunto de práctica A
Determinar los valores de\(a, b\), y\(c\) en las siguientes ecuaciones cuadráticas.
\(4x^2 - 3x + 5 = 0\)
- Contestar
-
\ (\ begin {array} {flaqueado}
a &= 4\\
b &= -3\\
c &= 5
\ end {array}\)
\(3y^2 - 2y + 9 = 0\)
- Contestar
-
\ (\ begin {array} {flaqueado}
a &= 3\\
b &= -2\\
c &= 9
\ end {array}\)
\(x^2 - 5x - 1 = 0\)
- Contestar
-
\ (\ begin {array} {ruedado}
a &= 1\\
b &= -5\\
c &= -1
\ end {array}\)
\(x^2 - 4 = 0\)
- Contestar
-
\ (\ begin {array} {ruedado}
a &= 1\\
b &= 0\\
c &= -4
\ end {array}\)
\(x^2 - 2x = 0\)
- Contestar
-
\ (\ begin {array} {ruedado}
a &= 1\\
b &= -2\\
c &= 0
\ end {array}\)
\(y^2 = 5y - 6\)
- Contestar
-
\ (\ begin {array} {ruedado}
a &= 1\\
b &= -5\\
c &= 6
\ end {array}\)
\(2x^2 - 4x = -1\)
- Contestar
-
\ (\ begin {array} {ruedado}
a &= 2\\
b &= -4\\
c &= 1
\ end {array}\)
\(5x - 3 = -3x^2\)
- Contestar
-
\ (\ begin {array} {ruedado}
a &= 3\\
b &= 5\\
c &= -3
\ end {array}\)
\(2x - 11 - 3x^2 = 0\)
- Contestar
-
\ (\ begin {array} {ruedado}
a &= -3\\
b &= 2\\
c &= -11
\ end {array}\)
\(y^2 = 0\)
- Contestar
-
\ (\ begin {array} {flaqueado}
a &= 1\\
b &= 0\\
c &= 0
\ end {array}\)
Las soluciones a todas las ecuaciones cuadráticas dependen única y completamente de los valores\(a, b\) y\(c\)
La fórmula cuadrática
Cuando una ecuación cuadrática se escribe en forma estándar para que los valores\(a, b\), y\(c\) se determinen fácilmente, la ecuación se puede resolver usando la fórmula cuadrática. Los valores que satisfacen la ecuación se encuentran sustituyendo los valores\(a, b\), y\(c\) en la fórmula
\(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
Ten en cuenta que el símbolo más o menos,\ pm, es solo una forma taquigráfica o denota las dos posibilidades:
\(x = \dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)y\(x = \dfrac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
La fórmula cuadrática se puede derivar utilizando el método de completar el cuadrado.
Derivación De La Fórmula Cuadrática
Resuelve\(ax^2 + bx = -c = 0\)\(x\) por completando la plaza.
Restar\(c\) de ambos lados.
\(ax^2 + bx = -c\).
Dividir ambos lados por\(a\), el coeficiente de\(x^2\).
\(x^2 + \dfrac{b}{a}x = \dfrac{-c}{a}\)
Ahora tenemos la forma adecuada para completar la plaza. Tome la mitad del coeficiente de\(x\), cuadráquelo y agregue el resultado a ambos lados de la ecuación que se encuentra en el paso 2.
a)\(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{b}{a} = \dfrac{b}{2a}\) es la mitad del coeficiente de\(x\).
b)\((\dfrac{b}{2a})^2\) es el cuadrado de la mitad del coeficiente de\(x\)
\(x^2 + \dfrac{b}{a} + (\dfrac{b}{2a})^2 = \dfrac{-c}{a} + (\dfrac{b}{2a})^2\)
El lado izquierdo de la ecuación es ahora un trinomio cuadrado perfecto y se puede factorizar. Esto nos da:
\((x + \dfrac{b}{2a})^2 = \dfrac{-c}{a} + \dfrac{b^2}{4a^2}\)
Sumar las dos fracciones en el lado derecho de la ecuación. La pantalla LCD\(= 4a^2\).
\ (\ begin {array} {ras a la izquierda}
(x +\ dfrac {b} {2a}) ^2 &=\ dfrac {-4ac} {4a^2} +\ dfrac {b^2} {4a^2}\\
(x +\ dfrac {b} {2a}) ^2 &=\ dfrac {-4ac + b^2} {4a^ ^2}\\
(x +\ dfrac {b} {2a}) ^2 &=\ dfrac {b^2 - 4ac} {4a^2}
\ end {array}\)
Resuelve por\(x\) usar el método de extracción de raíces.
\ (\ begin {array} {ras a la izquierda}
x +\ dfrac {b} {2a} &=\ pm\ sqrt {\ dfrac {b^2 - 4ac} {4a^2}}\\
x +\ dfrac {b} {2a} &=\ pm\ dfrac {\ sqrt {b^2 - 4ac}} {\ sqrt {4a^2}} &\ sqrt {4a^2} = |2a| = 2a| =\ pm 2a\\
x +\ dfrac {b} {2a} &=\ pm\ dfrac {\ sqrt {b^2 - 4ac}} {2a}\\
x &= -\ dfrac {b} {2a}\ pm\ dfrac {\ sqrt {b^2 - 4ac}} {2a} &\ text {Agrega estas dos fracciones}\\
x &=\ dfrac {-b\ pm\ sqrt {b^2 - 4ac}} {2a}
\ end {array}\)
Conjunto de Muestras B
Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática.
\(3x^2 + 5x + 2 = 0\)
1. Identificar\(a, b\), y\(c\).
\(a = 3, b = 5, c = 2\)
2. Escribe la fórmula cuadrática.
\(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
3. Sustituto.
\ (\ begin {array} {ras a la izquierda}
x &=\ dfrac {-5\ pm\ sqrt {(5) ^2 - 4 (3) (2)}} {2 (3)}\\
&=\ dfrac {-5\ pm\ sqrt {25 - 24}} {6}\
&=\ dfrac {-5\ pm\ sqrt {1}} {6}\\
&=\ dfrac {-5 + 1} {6} & -5 + 1 = -4\ texto {y} -5 - 1 = -6
&=\ dfrac {-4} {6},\ dfrac {-6} {6}\\
x &\ dfrac {-2} {3}, -1
\ end {array}\)
Nota: Dado que estas raíces son números racionales, esta ecuación podría haberse resuelto factorizando.
\(12x^2 - 2x - 1 = 0\)
1. Identificar\(a, b\), y\(c\).
\(a = 12, b = -2, c = -1\)
2. Escribe la fórmula cuadrática.
\(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
3. Sustituto.
\ (\ begin {array} {ras a la izquierda}
x &=\ dfrac {(-2)\ pm\ sqrt {(-2) ^2 - 4 (12) (-1)}} {2 (12)}\\
&=\ dfrac {2\ pm\ sqrt {4 + 48}} {24} &\ text {Simplificar}\\
&=\ dfrac {2\ pm\ sqrt {52}} {24} &\ text {Simplificar}\\
&=\ dfrac {2\ pm\ sqrt {4\ cdot 13}} { 24} &\ text {Simplificar}\\
&=\ dfrac {2\ pm 2\ sqrt {13}} {24} &\ text {Reducir. Factor} 2\ texto {de los términos del numerador.} \\
&=\ dfrac {2 (1\ pm\ sqrt {13})} {24}\\
x &=\ dfrac {1\ pm\ sqrt {13}} {12}
\ end {array}\)
\(2y^2 + 3 = 0\)
1. Identificar\(a, b\), y\(c\).
\(a = 2, b = 0, c = 3\)
2. Escribe la fórmula cuadrática.
\(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
3. Sustituto.
\ (\ begin {array} {ras a la izquierda}
x &=\ dfrac {-0\ pm\ sqrt {0^2 - 4 (2) (3)}} {2 (2)}\\
x &=\ dfrac {0\ pm\ sqrt {-24}} {4}
\ end {array}\)
Esta ecuación no tiene solución de número real ya que hemos obtenido un número negativo bajo el signo radical.
\(-8x^2 + 11x = 0\)
1. Identificar\(a, b\), y\(c\).
\(a = -8, b = 11, c = 0\)
2. Escribe la fórmula cuadrática.
\(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
3. Sustituto.
\ (\ begin {array} {ras a la izquierda}
x &=\ dfrac {-11\ pm\ sqrt {11^2 - 4 (-8) (0)}} {2 (-8)}\\
&=\ dfrac {-11\ pm\ sqrt {121 - 0}} {-16} &\ text {Simplificar}\\
&=\ dfrac {-11\ pm\ sqrt {121}} {-16} &\ text {Simplificar}\\
&=\ dfrac {-11\ pm 11} {-16}
x &= 0,\ dfrac {11} {8}
\ end {array}\)
\((3x + 1)(x - 4) = x^2 + x - 2\)
1. Escribe la ecuación en forma estándar.
\ (\ begin {array} {ruedado}
3x^2 - 11x - 4 &= x^2 + x - 2\\
2x^2 - 12x - 2 &= 0\
x^2 - 6x - 1 &= 0
\ end {array}\)
2. Identificar\(a, b\), y\(c\).
\(a = 1, b = -6, c = -1\)
3. Escribe la fórmula cuadrática.
\(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
4. Sustituto.
\ (\ begin {array} {ras a la izquierda}
x &=\ dfrac {- (-6)\ pm\ sqrt {(-6) ^2 - 4 (1) (-1)}} {2 (1)}\\
&=\ dfrac {6\ pm\ sqrt {36 + 4}} {2}\\
&=\ dfrac {6\ pm\ sqrt {40}} 2}\\
&=\ dfrac {6\ pm\ sqrt {4\ cdot 10}} {2}\\
&=\ dfrac {6\ pm 2\ sqrt {10}} { 2}\\
&=\ dfrac {2 (3\ pm\ sqrt {10}} {2}
\ end {array}\)
\(x = 3 \pm \sqrt{10}\)
Set de práctica B
Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática.
\(2x^2 + 3x - 7 = 0\)
- Contestar
-
\(x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{65}}{4}\)
\(5a^2 - 2a - 1 = 0\)
- Contestar
-
\(a = \dfrac{1 \pm \sqrt{6}}{5}\)
\(6y^2 + 5 = 0\)
- Contestar
-
sin solución de número real
\(-3m^2 + 2m = 0\)
- Contestar
-
Agrega textos aquí. No elimine primero este texto.
Ejercicios
Para los siguientes problemas, resuelve las ecuaciones usando la fórmula cuadrática.
\(x^2 - 2x - 3 = 0\)
- Contestar
-
\(x=3, −1\)
\(x^2 + 5x + 6 = 0\)
\(y^2 - 5y + 4 = 0\)
- Contestar
-
\(y=1, 4\)
\(a^2 + 4a - 21 = 0\)
\(a^2 + 12a + 20 = 0\)
- Contestar
-
\(a=−2, −10\)
\(b^2 - 4b + 4 = 0\)
\(b^2 + 4b + 4 = 0\)
- Contestar
-
\(b=−2\)
\(x^2 + 10x + 25 = 0\)
\(2x^2 - 5x - 3 = 0\)
- Contestar
-
\(x = 3, -\dfrac{1}{2}\)
\(6y^2 + y - 2 = 0\)
\(4x^2 - 2x - 1 = 0\)
- Contestar
-
\(x = \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{4}\)
\(3y^2 + 2y - 1 = 0\)
\(5a^2 - 2a - 3 = 0\)
- Contestar
-
\(a = 1, -\dfrac{3}{5}\)
\(x^2 - 3x + 1 = 0\)
\(x^2 - 5x - 4 = 0\)
- Contestar
-
\(x = \dfrac{5 \pm \sqrt{41}}{2}\)
\((x+2)(x−1)=1\)
\((a+4)(a−5)=2\)
- Contestar
-
\(a = \dfrac{1 \pm \sqrt{89}}{2}\)
\((x−3)(x+3)=7\)
\((b−4)(b+4)=9\)
- Contestar
-
\(b = \pm 5\)
\(x^2 + 8x = 2\)
\(y^2 = -5y + 4\)
- Contestar
-
\(y = \dfrac{-5 \pm \sqrt{41}}{2}\)
\(x^2 = -3x + 7\)
\(x^2 = -2x - 1\)
- Contestar
-
\(x=−1\)
\(x^2 + x + 1 = 0\)
\(a^2 + 3a - 4 = 0\)
- Contestar
-
\(a=−4, 1\)
\(y^2 + y = -4\)
\(b^2 + 3b = -2\)
- Contestar
-
\(b=−1, −2\)
\(x^2 + 6x + 8 = -x - 2\)
\(x^2 + 4x = 2x - 5\)
- Contestar
-
Sin solución de números reales.
\(6b^2 + 5b - 4 = b^2 + b + 1\)
\(4a^2 + 7a - 2 = -2a + a\)
- Contestar
-
\(\dfrac{-2 \pm \sqrt{6}}{2}\)
\((2x + 5)(x - 4) = x^2 -x + 2\)
\((x-4)^2 = 3\)
- Contestar
-
\(x = 4 \pm \sqrt{3}\)
\((b - 6)^2 = 8\)
- Contestar
-
\(b = 6 \pm 2\sqrt{2}\)
\((3-x)^2 = 6\)
\(3(x^2 + 1) = 2(x+7)\)
- Contestar
-
\(x = \dfrac{1 \pm \sqrt{34}}{3}\)
\(2(y^2 - 3) = -3(y - 1)\)
\((x + 2)^2 = 4\)
\(-4(a^2 + 2) + 3 = 5\)
- Contestar
-
Sin solución de número real
\(-(x^2 + 3x - 1) = 2\)
Ejercicios para revisión
Simplificar\((\dfrac{x^8y^7z^5}{x^4y^6z^2})^2\)
- Contestar
-
\(x^8y^2z^6\)
Escribe\(4a^{-6}b^2c^3a^5b^{-3}\) para que solo aparezcan exponentes positivos
Encuentra el producto:\((2y + 7)(3y - 1)\)
- Contestar
-
\(6y^2 + 19y - 7\)
Simplificar:\(\sqrt{80} - \sqrt{45}\)
Resuelve\(x^2 - 4x - 12 = 0\) completando la plaza.
- Contestar
-
\(x=−2, 6\)