11.2: Soluciones por Grafiación

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Sistemas de Ecuaciones

Sistemas de Ecuaciones

Una colección de dos ecuaciones lineales en dos variables se denomina sistema de ecuaciones lineales en dos variables, o más brevemente, un sistema de ecuaciones. El par de ecuaciones

\ (\ izquierda\ {\ begin {array} {r}
5 x-2 y=5\\
x+y=8
\ end {array}\ derecha.\)

es un sistema de ecuaciones. La llave {se usa para denotar que las dos ecuaciones ocurren juntas (simultáneamente).

Solución a un sistema de ecuaciones

Solución a un Sistema

Sabemos que una de las infinitamente muchas soluciones a una ecuación lineal en dos variables es un par ordenado. Un par ordenado que es una solución a ambas ecuaciones en un sistema se llama solución al sistema de ecuaciones. Por ejemplo, el par ordenado$(3, 5)$ es una solución al sistema

\ (\ izquierda\ {\ begin {array} {r}
5 x-2 y=5\\
x+y=8
\ end {array}\ derecha.\)

ya que$(3, 5)$ es una solución a ambas ecuaciones.

\ (\ begin {array} {surcos a la izquierda}
5x - 2y &= 5 & & x + y &= 8\\
5 (3) - 2 (5) &= 5 &\ text {¿Es esto correcto? } & 3 + 5 &= 8 &\ text {¿Es esto correcto? }\\
15 - 10 &= 5 &\ text {¿Es esto correcto? } & 8 &= 8 &\ text {Sí, esto es correcto.}\\
5 &= 5 &\ text {Sí, esto es correcto.}
\ end {array}\)

Gráficas de Sistemas de Ecuaciones

Un método para resolver un sistema de ecuaciones es graficando. Sabemos que la gráfica de una ecuación lineal en dos variables es una línea recta. La gráfica de un sistema constará de dos líneas rectas. Cuando se grafican dos líneas rectas, puede resultar una de las tres posibilidades.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Las líneas se cruzan en el punto$a, b$. Este punto$(a, b)$ es la solución al sistema correspondiente.

$Una gráfica de dos líneas; 'línea uno' y 'línea dos', intersectando en un punto etiquetado con coordenadas (a, b) y con una segunda etiqueta con coordenada x negativa uno y medio, y coordenada y negativa uno y medio. La línea uno está pasando por un punto con coordenadas cero, una sobre dos, y la línea dos pasa por un punto con coordenadas negativas cuatro y una mitad, cero.$

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Las líneas son paralelas. No se cruzan. El sistema no tiene solución.

$Una gráfica de dos líneas paralelas; 'Línea uno' y 'Línea dos'. La línea uno está pasando por dos puntos con las coordenadas cero, uno, y cinco, negativo dos. La línea dos pasa por dos puntos con las coordenadas cero, tres y cinco, cero.$

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Las líneas son coincidentes (una sobre la otra). Se cruzan en infinitamente muchos puntos. El sistema tiene infinitamente muchas soluciones.

$Una gráfica de dos líneas concurrentes; 'Línea uno' y 'Línea dos'. Las líneas pasan por los mismos dos puntos con las coordenadas negativo tres, negativo uno, y cuatro, tres. Como las líneas son líneas coincidentes tienen la misma gráfica.$

Sistemas independientes, inconsistentes y dependientes

Sistemas Independientes

Los sistemas en los que las líneas se cruzan precisamente en un punto se denominan sistemas independientes. En las aplicaciones, los sistemas independientes pueden surgir cuando los datos recopilados son precisos y completos. Por ejemplo,

La suma de dos números es 10 y el producto de los dos números es 21. Encuentra los números.

En esta aplicación, los datos son exactos y completos. La solución es 7 y 3.

Sistemas inconsistentes

Los sistemas en los que las líneas son paralelas se denominan sistemas inconsistentes. En las aplicaciones, los sistemas inconsistentes pueden surgir cuando los datos recopilados son contradictorios. Por ejemplo,

La suma de dos números pares es 30 y la diferencia de los mismos dos números es 0. Encuentra los números.

Los datos son contradictorios. No hay solución a esta aplicación.

Sistemas Dependientes

Los sistemas en los que las líneas son coincidentes se denominan sistemas dependientes. En las aplicaciones, los sistemas dependientes pueden surgir cuando los datos recopilados están incompletos. Por ejemplo.

La diferencia de dos números es 9 y dos veces un número es 18 más que dos veces el otro.

Los datos están incompletos. Hay infinitamente muchas soluciones.

El Método de Resolver Un Sistema Gráficamente

El Método de Resolver un Sistema Gráficamente

Para resolver un sistema de ecuaciones gráficamente: Graficar ambas ecuaciones.

Si las líneas se cruzan, la solución es el par ordenado que corresponde al punto de intersección. El sistema es independiente.
Si las líneas son paralelas, no hay solución. El sistema es inconsistente.
Si las líneas son coincidentes, hay infinitamente muchas soluciones. El sistema es dependiente.

Conjunto de Muestras A

Resuelve cada uno de los siguientes sistemas graficando.

Ejemplo$\PageIndex{4}$

\ (\ izquierda\ {\ begin {array} {r}
2x + y = 5\\
x+y=2
\ end {array}\ derecha.\)

Escribe cada ecuación en forma de pendiente-intersección.

1)$y = 2x + 5$

2)$y = -x + 2$

Grafica cada una de estas ecuaciones:

$Una gráfica de dos líneas; 'una' y 'dos'. Las líneas se cruzan en un punto con coordenadas negativas uno, tres. La línea uno está pasando por un punto con coordenadas cero, cinco. La línea dos pasa por dos puntos con coordenadas cero, dos, y uno, uno.$

Las líneas parecen cruzarse en el punto$(-1, 3)$. La solución a este sistema es$(-1, 3)$, o

$x = -1, y = 3$.

Comprobar: Sustituir$x - 01, y = 3$ en cada ecuación.

\ (\ begin {array} {surcos a la izquierda}
-2x + y &= 5\\
-2 (-1) + 3 &= 5 &\ text {¿Es esto correcto? }\\
2 + 3 &= 5 &\ text {¿Es esto correcto? }\\
5 &= 5 &\ text {Sí, esto es correcto}
\ end {array}\)

\ (\ begin {array} {flaqueado}
x + y &= 2\\
-1 + 3 &= 2 &\ text {¿Es correcto esto? }\\
2 &= 2 &\ text {Sí, esto es correcto.}
\ end {array}\)

Ejemplo$\PageIndex{5}$

\ (\ left\ {\ begin {array} {r}
-x + y = -1\\
-x + y = 2
\ end {array}\ right.\)

Escribe cada ecuación en forma de pendiente-intersección.

1)$y = 2x + 5$

2)$y = -x + 2$

Grafica cada una de estas ecuaciones.

$Una gráfica de dos líneas paralelas; 'una' y 'dos'. La línea uno está pasando por dos puntos con las coordenadas cero, dos, y uno, tres. La línea dos pasa por dos puntos con las coordenadas cero, negativo uno y uno, cero.$

Estas líneas son paralelas. Este sistema no tiene solución. Denotamos este hecho escribiendo inconsistente.

Estamos seguros de que estas líneas son paralelas porque notamos que tienen la misma pendiente,$m = 1$ para ambas líneas. Las líneas no son coincidentes porque las intercepciones y son diferentes.

Ejemplo$\PageIndex{6}$

\ (\ left\ {\ begin {array} {r}
-2x + 3y -2\\
-6x + 9y = -6
\ end {array}\ right.\)

Escribe cada ecuación en forma de pendiente-intersección.

1)$y = \dfrac{2}{3}x - \dfrac{2}{3}$

2)$y = \dfrac{2}{3}x - \dfrac{2}{3}$

$Una gráfica de dos líneas concurrentes; 'una' y 'dos'. Las líneas pasan por los mismos dos puntos con las coordenadas cero, negativas dos sobre tres, y tres, uno y un tercio. Como las líneas son coincidentes, tienen la misma gráfica.$

Ambas ecuaciones son iguales. Este sistema tiene infinitamente muchas soluciones. Escribimos dependientes.

Conjunto de práctica A

Resuelve cada uno de los siguientes sistemas graficando. Escribe la solución de par ordenado o indica que el sistema es inconsistente, o dependiente.

Problema de práctica$\PageIndex{1}$

\ (\ left\ {\ begin {array} {r}
2x + y = 1\\
-x + y = -5
\ end {array}\ right.\)

$Un plano de coordenadas xy con líneas de cuadrícula, etiquetado como cinco negativos y cinco con incrementos de una unidad para ambos ejes.$

Responder

$x=2,y=−3$

$Una gráfica de dos líneas que se cruzan en un punto con las coordenadas dos, negativas tres. Una de las líneas pasa por un punto con las coordenadas uno sobre dos, cero, y la otra línea pasa por un punto con las coordenadas cero, negativo cinco.$

Problema de práctica$\PageIndex{2}$

\ (\ left\ {\ begin {array} {r}
-2x + 3y = 6\\
6x - 9y = -18
\ end {array}\ right.\)

$Un plano de coordenadas xy con líneas de cuadrícula, etiquetado como cinco negativos y cinco con incrementos de una unidad para ambos ejes.$

Responder

dependiente

$Una gráfica de dos líneas coincidentes que pasan por los mismos dos puntos con las coordenadas cero, dos, y tres, cuatro. Como las líneas son coincidentes, tienen la misma gráfica. La gráfica está etiquetada como 'líneas coincidentes'.$

Problema de práctica$\PageIndex{3}$

\ (\ left\ {\ begin {array} {r}
3x + 5y = 15\\
9x + 15y = 15
\ end {array}\ right.\)

$Un plano de coordenadas xy con líneas de cuadrícula, etiquetado como cinco negativos y cinco con incrementos de una unidad para ambos ejes.$

Contestar

inconsistente

$A Un gráfico de dos líneas paralelas. Una de las líneas está pasando por dos puntos con coordenadas cero, una y una y dos terceras partes, cero. La otra línea pasa por dos puntos con coordenadas cero, tres, y cinco, cero. La gráfica está etiquetada como 'líneas paralelas'.$

Problema de práctica$\PageIndex{4}$

\ (\ left\ {\ begin {array} {r}
y = -3\\
x + 2y = -4
\ end {array}\ right.\)

$Un plano de coordenadas xy con líneas de cuadrícula, etiquetado como cinco negativos y cinco con incrementos de una unidad para ambos ejes.$

Contestar

$x=2,y=−3$

$Una gráfica de dos líneas que se cruzan en un punto con las coordenadas dos, negativas tres. Una de las líneas está pasando por un punto con las coordenadas uno cero, negativo dos. La otra línea es paralela al eje x, y está pasando por un punto con las coordenadas negativas tres, negativas tres.$

Ejercicios

Para los siguientes problemas, resuelva los sistemas graficando. Escribe la solución de par ordenado, o indica que el sistema es inconsistente o dependiente.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

\ (\ izquierda\ {\ begin {array} {r}
x + y = -5\\
-x + y = 1
\ end {array}\ derecha.\)

$Un plano de coordenadas xy con líneas de cuadrícula, etiquetado como cinco negativos y cinco con incrementos de una unidad para ambos ejes.$

Contestar

$(−3,−2)$

$Una gráfica de dos líneas que se cruzan en un punto con coordenadas negativas tres, negativas dos. Una de las líneas está pasando por un punto con coordenadas cero, negativo cinco y, la otra línea está pasando por dos puntos con coordenadas negativas uno, cero; y cero, uno.$

Ejercicio$\PageIndex{2}$

\ (\ izquierda\ {\ begin {array} {r}
x + y = 4\\
x + y = 0
\ end {array}\ derecha.\)

$Un plano de coordenadas xy con líneas de cuadrícula, etiquetado como cinco negativos y cinco con incrementos de una unidad para ambos ejes.$

Ejercicio$\PageIndex{3}$

\ (\ left\ {\ begin {array} {r}
-3x + y = 5\\
-x + y = 3
\ end {array}\ right.\)

$Un plano de coordenadas xy con líneas de cuadrícula, etiquetado como cinco negativos y cinco con incrementos de una unidad para ambos ejes.$

Contestar

$(−1,2)$

$Una gráfica de dos líneas que se cruzan en un punto con coordenadas negativas una, dos. Una de las líneas pasa por un punto con coordenadas cero, cinco, y la otra línea pasa por dos puntos con coordenadas cero, tres; y uno, cuatro.$

Ejercicio$\PageIndex{4}$

\ (\ left\ {\ begin {array} {r}
x - y = -6\\
x + 2y = 0
\ end {array}\ right.\)

$Un plano de coordenadas xy con líneas de cuadrícula, etiquetado como cinco negativos y cinco con incrementos de una unidad para ambos ejes.$

Ejercicio$\PageIndex{5}$

\ (\ izquierda\ {\ begin {array} {r}
3x + y = 0\\
4x - 3y = 12
\ end {array}\ derecha.\)

$Un plano de coordenadas xy con líneas de cuadrícula, etiquetado como cinco negativos y cinco con incrementos de una unidad para ambos ejes.$

Contestar

$(\dfrac{12}{13}, -\dfrac{36}{13})$

$Una gráfica de dos líneas que se cruzan en un punto con coordenadas doce sobre trece, negativas treinta y seis sobre trece. Una de las líneas está pasando por un punto con coordenadas cero, cero y la otra línea pasa por dos puntos con coordenadas cero, negativo cuatro; y tres, cero.$

Ejercicio$\PageIndex{6}$

\ (\ left\ {\ begin {array} {r}
-4x + y = 7\\
-3x + y = 2
\ end {array}\ right.\)

$Un plano de coordenadas xy con líneas de cuadrícula, etiquetado como cinco negativos y cinco con incrementos de una unidad para ambos ejes.$

Ejercicio$\PageIndex{7}$

\ (\ left\ {\ begin {array} {r}
2x + 3y = 6\\
3x + 4y = 6
\ end {array}\ right.\)

$Un plano de coordenadas xy con líneas de cuadrícula, etiquetado como cinco negativos y cinco con incrementos de una unidad para ambos ejes.$

Contestar

Estas coordenadas son difíciles de estimar. Este problema ilustra que el método gráfico no siempre es el más preciso.

$(−6,6)$

$Una gráfica de dos líneas que se cruzan en un punto con coordenadas negativas seis, seis. Una de las líneas está pasando por un punto con coordenadas cero, tres sobre dos y la otra línea pasa por dos puntos con coordenadas cero, dos; y tres, cero.$

Ejercicio$\PageIndex{8}$

\ (\ left\ {\ begin {array} {r}
x + y = -3\\
4x + 4y = -12
\ end {array}\ right.\)

$Un plano de coordenadas xy con líneas de cuadrícula, etiquetado como cinco negativos y cinco con incrementos de una unidad para ambos ejes.$

Ejercicio$\PageIndex{9}$

\ (\ left\ {\ begin {array} {r}
2x - 3y = 1\\
4x - 6y = 4
\ end {array}\ right.\)

$Un plano de coordenadas xy con líneas de cuadrícula, etiquetado como cinco negativos y cinco con incrementos de una unidad para ambos ejes.$

Contestar

inconsistente

$Una gráfica de dos líneas paralelas. Una de las líneas está pasando por dos puntos con coordenadas cero, negativas dos sobre tres y tres, cero. La otra línea está pasando por un punto con coordenadas cero, negativas uno sobre tres.$

Ejercicio$\PageIndex{10}$

\ (\ left\ {\ begin {array} {r}
x + 2y = 3\\
-3x - 6y = -9
\ end {array}\ right.\)

$Un plano de coordenadas xy con líneas de cuadrícula, etiquetado como cinco negativos y cinco con incrementos de una unidad para ambos ejes.$

Ejercicio$\PageIndex{11}$

\ (\ left\ {\ begin {array} {r}
x - 2y = 6\\
3x - 6y = 18
\ end {array}\ right.\)

$Un plano de coordenadas xy con líneas de cuadrícula, etiquetado como cinco negativos y cinco con incrementos de una unidad para ambos ejes.$

Contestar

dependiente

$Una gráfica de dos líneas coincidentes que pasan por los mismos dos puntos con coordenadas cero, negativo tres; y dos, negativo dos. Como las líneas son coincidentes, tienen la misma gráfica.$

Ejercicio$\PageIndex{12}$

\ (\ left\ {\ begin {array} {r}
2x + 3y = 6\\
-10x - 15y = 30
\ end {array}\ right.\)

$Un plano de coordenadas xy con líneas de cuadrícula, etiquetado como cinco negativos y cinco con incrementos de una unidad para ambos ejes.$

Ejercicios para revisión

Ejercicio$\PageIndex{13}$

Expreso$0.000426$ en notación científica.

Contestar: $4.26 + 10^{-4}$

Ejercicio$\PageIndex{14}$

Encuentra el producto$(7x - 3)^2$.

Ejercicio$\PageIndex{15}$

Suministrar la palabra faltante. El _____ de una línea es una medida de la inclinación de la línea.

Contestar: pendiente

Ejercicio$\PageIndex{16}$

Suministrar la palabra faltante. Una ecuación de la forma$ax^2 + bx + c = 0$, a\ not = 0\), se llama ecuación.

Ejercicio$\PageIndex{17}$

Construir la gráfica de la ecuación cuadrática$y = x^2 - 3$

$Un plano de coordenadas xy con líneas de cuadrícula, etiquetado como cinco negativos y cinco con incrementos de una unidad para ambos ejes.$

Contestar: $Gráfica de una parábola que pasa por cuatro puntos con coordenadas negativas dos, uno; negativo uno, negativo dos; uno, negativo dos; y dos, uno.$

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El Método de Resolver un Sistema Gráficamente

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Problema de práctica\(\PageIndex{1}\)

Problema de práctica\(\PageIndex{2}\)

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