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# 11.2: Soluciones por Grafiación

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## Sistemas de Ecuaciones

Sistemas de Ecuaciones

Una colección de dos ecuaciones lineales en dos variables se denomina sistema de ecuaciones lineales en dos variables, o más brevemente, un sistema de ecuaciones. El par de ecuaciones

\ (\ izquierda\ {\ begin {array} {r}
5 x-2 y=5\\
x+y=8
\ end {array}\ derecha.\)

es un sistema de ecuaciones. La llave {se usa para denotar que las dos ecuaciones ocurren juntas (simultáneamente).

## Solución a un sistema de ecuaciones

Solución a un Sistema

Sabemos que una de las infinitamente muchas soluciones a una ecuación lineal en dos variables es un par ordenado. Un par ordenado que es una solución a ambas ecuaciones en un sistema se llama solución al sistema de ecuaciones. Por ejemplo, el par ordenado$$(3, 5)$$ es una solución al sistema

\ (\ izquierda\ {\ begin {array} {r}
5 x-2 y=5\\
x+y=8
\ end {array}\ derecha.\)

ya que$$(3, 5)$$ es una solución a ambas ecuaciones.

\ (\ begin {array} {surcos a la izquierda}
5x - 2y &= 5 & & x + y &= 8\\
5 (3) - 2 (5) &= 5 &\ text {¿Es esto correcto? } & 3 + 5 &= 8 &\ text {¿Es esto correcto? }\\
15 - 10 &= 5 &\ text {¿Es esto correcto? } & 8 &= 8 &\ text {Sí, esto es correcto.}\\
5 &= 5 &\ text {Sí, esto es correcto.}
\ end {array}\)

## Gráficas de Sistemas de Ecuaciones

Un método para resolver un sistema de ecuaciones es graficando. Sabemos que la gráfica de una ecuación lineal en dos variables es una línea recta. La gráfica de un sistema constará de dos líneas rectas. Cuando se grafican dos líneas rectas, puede resultar una de las tres posibilidades.

##### Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

Las líneas se cruzan en el punto$$a, b$$. Este punto$$(a, b)$$ es la solución al sistema correspondiente.

##### Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

Las líneas son paralelas. No se cruzan. El sistema no tiene solución.

##### Ejemplo$$\PageIndex{3}$$

Las líneas son coincidentes (una sobre la otra). Se cruzan en infinitamente muchos puntos. El sistema tiene infinitamente muchas soluciones.

## Sistemas independientes, inconsistentes y dependientes

Sistemas Independientes

Los sistemas en los que las líneas se cruzan precisamente en un punto se denominan sistemas independientes. En las aplicaciones, los sistemas independientes pueden surgir cuando los datos recopilados son precisos y completos. Por ejemplo,

La suma de dos números es 10 y el producto de los dos números es 21. Encuentra los números.

En esta aplicación, los datos son exactos y completos. La solución es 7 y 3.

Sistemas inconsistentes

Los sistemas en los que las líneas son paralelas se denominan sistemas inconsistentes. En las aplicaciones, los sistemas inconsistentes pueden surgir cuando los datos recopilados son contradictorios. Por ejemplo,

La suma de dos números pares es 30 y la diferencia de los mismos dos números es 0. Encuentra los números.

Los datos son contradictorios. No hay solución a esta aplicación.

Sistemas Dependientes

Los sistemas en los que las líneas son coincidentes se denominan sistemas dependientes. En las aplicaciones, los sistemas dependientes pueden surgir cuando los datos recopilados están incompletos. Por ejemplo.

La diferencia de dos números es 9 y dos veces un número es 18 más que dos veces el otro.

Los datos están incompletos. Hay infinitamente muchas soluciones.

## El Método de Resolver Un Sistema Gráficamente

##### El Método de Resolver un Sistema Gráficamente

Para resolver un sistema de ecuaciones gráficamente: Graficar ambas ecuaciones.

1. Si las líneas se cruzan, la solución es el par ordenado que corresponde al punto de intersección. El sistema es independiente.
2. Si las líneas son paralelas, no hay solución. El sistema es inconsistente.
3. Si las líneas son coincidentes, hay infinitamente muchas soluciones. El sistema es dependiente.

## Conjunto de Muestras A

Resuelve cada uno de los siguientes sistemas graficando.

##### Ejemplo$$\PageIndex{4}$$

\ (\ izquierda\ {\ begin {array} {r}
2x + y = 5\\
x+y=2
\ end {array}\ derecha.\)

Escribe cada ecuación en forma de pendiente-intersección.

1)$$y = 2x + 5$$

2)$$y = -x + 2$$

Grafica cada una de estas ecuaciones:

Las líneas parecen cruzarse en el punto$$(-1, 3)$$. La solución a este sistema es$$(-1, 3)$$, o

$$x = -1, y = 3$$.

Comprobar: Sustituir$$x - 01, y = 3$$ en cada ecuación.

1)

\ (\ begin {array} {surcos a la izquierda}
-2x + y &= 5\\
-2 (-1) + 3 &= 5 &\ text {¿Es esto correcto? }\\
2 + 3 &= 5 &\ text {¿Es esto correcto? }\\
5 &= 5 &\ text {Sí, esto es correcto}
\ end {array}\)

2)

x + y &= 2\\
-1 + 3 &= 2 &\ text {¿Es correcto esto? }\\
2 &= 2 &\ text {Sí, esto es correcto.}
\ end {array}\)

##### Ejemplo$$\PageIndex{5}$$

\ (\ left\ {\ begin {array} {r}
-x + y = -1\\
-x + y = 2
\ end {array}\ right.\)

Escribe cada ecuación en forma de pendiente-intersección.

1)$$y = 2x + 5$$

2)$$y = -x + 2$$

Grafica cada una de estas ecuaciones.

Estas líneas son paralelas. Este sistema no tiene solución. Denotamos este hecho escribiendo inconsistente.

Estamos seguros de que estas líneas son paralelas porque notamos que tienen la misma pendiente,$$m = 1$$ para ambas líneas. Las líneas no son coincidentes porque las intercepciones y son diferentes.

##### Ejemplo$$\PageIndex{6}$$

\ (\ left\ {\ begin {array} {r}
-2x + 3y -2\\
-6x + 9y = -6
\ end {array}\ right.\)

Escribe cada ecuación en forma de pendiente-intersección.

1)$$y = \dfrac{2}{3}x - \dfrac{2}{3}$$

2)$$y = \dfrac{2}{3}x - \dfrac{2}{3}$$

Ambas ecuaciones son iguales. Este sistema tiene infinitamente muchas soluciones. Escribimos dependientes.

## Conjunto de práctica A

Resuelve cada uno de los siguientes sistemas graficando. Escribe la solución de par ordenado o indica que el sistema es inconsistente, o dependiente.

##### Problema de práctica$$\PageIndex{1}$$

\ (\ left\ {\ begin {array} {r}
2x + y = 1\\
-x + y = -5
\ end {array}\ right.\)

Responder

$$x=2,y=−3$$

##### Problema de práctica$$\PageIndex{2}$$

\ (\ left\ {\ begin {array} {r}
-2x + 3y = 6\\
6x - 9y = -18
\ end {array}\ right.\)

Responder

dependiente

##### Problema de práctica$$\PageIndex{3}$$

\ (\ left\ {\ begin {array} {r}
3x + 5y = 15\\
9x + 15y = 15
\ end {array}\ right.\)

Contestar

inconsistente

##### Problema de práctica$$\PageIndex{4}$$

\ (\ left\ {\ begin {array} {r}
y = -3\\
x + 2y = -4
\ end {array}\ right.\)

Contestar

$$x=2,y=−3$$

## Ejercicios

Para los siguientes problemas, resuelva los sistemas graficando. Escribe la solución de par ordenado, o indica que el sistema es inconsistente o dependiente.

##### Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

\ (\ izquierda\ {\ begin {array} {r}
x + y = -5\\
-x + y = 1
\ end {array}\ derecha.\)

Contestar

$$(−3,−2)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

\ (\ izquierda\ {\ begin {array} {r}
x + y = 4\\
x + y = 0
\ end {array}\ derecha.\)

##### Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

\ (\ left\ {\ begin {array} {r}
-3x + y = 5\\
-x + y = 3
\ end {array}\ right.\)

Contestar

$$(−1,2)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

\ (\ left\ {\ begin {array} {r}
x - y = -6\\
x + 2y = 0
\ end {array}\ right.\)

##### Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

\ (\ izquierda\ {\ begin {array} {r}
3x + y = 0\\
4x - 3y = 12
\ end {array}\ derecha.\)

Contestar

$$(\dfrac{12}{13}, -\dfrac{36}{13})$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

\ (\ left\ {\ begin {array} {r}
-4x + y = 7\\
-3x + y = 2
\ end {array}\ right.\)

##### Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

\ (\ left\ {\ begin {array} {r}
2x + 3y = 6\\
3x + 4y = 6
\ end {array}\ right.\)

Contestar

Estas coordenadas son difíciles de estimar. Este problema ilustra que el método gráfico no siempre es el más preciso.

$$(−6,6)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

\ (\ left\ {\ begin {array} {r}
x + y = -3\\
4x + 4y = -12
\ end {array}\ right.\)

##### Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

\ (\ left\ {\ begin {array} {r}
2x - 3y = 1\\
4x - 6y = 4
\ end {array}\ right.\)

Contestar

inconsistente

##### Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

\ (\ left\ {\ begin {array} {r}
x + 2y = 3\\
-3x - 6y = -9
\ end {array}\ right.\)

##### Ejercicio$$\PageIndex{11}$$

\ (\ left\ {\ begin {array} {r}
x - 2y = 6\\
3x - 6y = 18
\ end {array}\ right.\)

Contestar

dependiente

##### Ejercicio$$\PageIndex{12}$$

\ (\ left\ {\ begin {array} {r}
2x + 3y = 6\\
-10x - 15y = 30
\ end {array}\ right.\)

## Ejercicios para revisión

##### Ejercicio$$\PageIndex{13}$$

Expreso$$0.000426$$ en notación científica.

Contestar

$$4.26 + 10^{-4}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{14}$$

Encuentra el producto$$(7x - 3)^2$$.

##### Ejercicio$$\PageIndex{15}$$

Suministrar la palabra faltante. El _____ de una línea es una medida de la inclinación de la línea.

Contestar

pendiente

##### Ejercicio$$\PageIndex{16}$$

Suministrar la palabra faltante. Una ecuación de la forma$$ax^2 + bx + c = 0$$, a\ not = 0\), se llama ecuación.

##### Ejercicio$$\PageIndex{17}$$

Construir la gráfica de la ecuación cuadrática$$y = x^2 - 3$$

Contestar

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