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11.3: Eliminación por sustitución

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    Cuando la sustitución funciona mejor

    Sabemos resolver una ecuación lineal en una variable. Ahora estudiaremos un método para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables transformando las dos ecuaciones en dos variables en una ecuación en una variable.

    Para hacer esta transformación, necesitamos eliminar una ecuación y una variable. Podemos hacer esta eliminación por sustitución.

    Cuando la sustitución funciona mejor

    El método de sustitución funciona mejor cuando existe alguna de estas condiciones:

    1. Una de las variables tiene un coeficiente de 1, o
    2. Se puede hacer que una de las variables tenga un coeficiente de 1 sin introducir fracciones.

    El método de sustitución

    El método de sustitución

    Para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables,

    1. Resolver una de las ecuaciones para una de las variables.
    2. Sustituir la expresión por la variable elegida en el paso 1 en la otra ecuación.
    3. Resolver la ecuación resultante en una variable.
    4. Sustituir el valor obtenido en el paso 3 en la ecuación obtenida en el paso 1 y resolver para obtener el valor de la otra variable.
    5. Verifique la solución en ambas ecuaciones.
    6. Escribe la solución como un par ordenado.

    Conjunto de Muestras A

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Resolver el sistema

    \ (\ left\ {\ begin {array} {r}
    2x + 3y = 14\\
    3x + y = 7
    \ end {array}\ right.\)

    Paso 1: Dado que el coeficiente de\(y\) en la ecuación 2 es\(1\), resolveremos la ecuación 2 para\(y\).

    \(y = -3x + 7\)

    Paso 2: Sustituir la expresión\(-3x + 7\) por\(y\) en la ecuación 1.

    \(2x + 3(-3x + 7) = 14\)

    Paso 3: Resolver la ecuación obtenida en el paso 2.

    \ (\ begin {alineado}
    2x + 3 (-3x + 7) &= 14\\
    2x - 9x + 21 &= 14\\
    -7x + 21 &= 14\\
    -7x &= -7\\
    x &= 1
    \ end {alineado}\)

    Paso 4: Sustituir\(x = 1\) a la ecuación obtenida en el paso 1,\(y = -3x + 7\).

    \ (\ begin {alineado}
    y &= -3 (1) + 7\\
    y &= -3 + 7\\
    y &= 4
    \ end {alineado}\)

    Paso 5: Sustituir\(x = 1, y = 4\) en cada una de las ecuaciones originales para una comprobación.

    1)

    \ (\ begin {aligned}
    2 x+3 y &=14\\
    2 (1) +3 (4) &=14\ text {¿Es correcto esto? }\\
    2+12 &=14\ text {¿Es correcto esto? }\\
    14 &=14\ text {Sí, esto es correcto.}
    \ end {alineado}\)

    2)

    \ (\ begin {aligned}
    3x + y &= 7\\
    3 (1) + (4) &= 7\ text {¿Es esto correcto? }\\
    3 + 4 &= 7\ text {¿Es correcto esto? }\\
    7 &= 7\ text {Sí, esto es correcto.}
    \ end {alineado}\)

    Paso 6: La solución es\((1, 4)\). El punto\((1, 4)\) es el punto de intersección de las dos líneas del sistema.

    Conjunto de práctica A

    Problema de práctica\(\PageIndex{1}\)

    Resolver el sistema

    \ (\ left\ {\ begin {array} {r}
    5x - 8y = 18\\
    4x + y = 7
    \ end {array}\ right.\)

    Contestar

    El punto\((2, -1)\) es el punto de intersección de las dos líneas.

    Sustitución Y Líneas Paralelas

    La siguiente regla nos avisa de que las dos líneas de un sistema son paralelas.

    Sustitución y líneas paralelas

    Si los cálculos eliminan todas las variables y producen una contradicción, las dos líneas de un sistema son paralelas, y el sistema se llama inconsistente.

    Conjunto de Muestras B

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Resolver el sistema

    \ (\ left\ {\ begin {array} {r}
    2x - y = 1\\
    4x - 2y = 4
    \ end {array}\ right.\)

    Paso 1: Resolver ecuación para\(y\).

    \ (\ begin {alineado}
    2x - y &= 1\\
    -y &= -2x + 1\\
    y &= 2x - 1
    \ end {alineado}\)

    Paso 2: Sustituir la expresión\(2x - 1\) por\(y\) en la ecuación 2.

    \(4x - 2(2x - 1) = 4\)

    Paso 3: Resolver la ecuación obtenida en el paso 2.

    \ (\ begin {alineado}
    4x - 2 (2x - 1) &= 4\\
    4x - 4x + 2 &= 4\\
    2 &\ no= 4
    \ end {alineado}\)

    Los cálculos han eliminado todas las variables y producen una contradicción. Estas líneas son paralelas.

    Una gráfica de dos líneas paralelas. Una línea se etiqueta con la ecuación dos x menos y es igual a uno y pasa por los puntos uno, uno y cero, uno negativo. Una segunda línea se etiqueta con la ecuación cuatro x menos dos y es igual a cuatro y pasa por los puntos uno, cero y cero, negativo dos.

    Este sistema es inconsistente.

    Set de práctica B

    Problema de práctica\(\PageIndex{2}\)

    Resolver el sistema

    \ (\ left\ {\ begin {array} {r}
    7x - 3y = 2\\
    14x - 6y = 1
    \ end {array}\ right.\)

    Contestar

    La sustitución produce\(4 \not= 1\), o\(\dfrac{1}{2} \not = 2\), una contradicción. Estas líneas son paralelas y el sistema es inconsistente.

    Sustitución y líneas coincidentes

    La siguiente regla nos alerta de que las dos líneas de un sistema son coincidentes.

    Líneas de Sustitución y Coincidencia

    Si los cálculos eliminan todas las variables y producen una identidad, las dos líneas de un sistema son coincidentes y el sistema se llama dependiente.

    Conjunto de Muestras C

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Resolver el sistema

    \ (\ left\ {\ begin {array} {r}
    4x + 8y = 8\\
    3x + 6y = 6
    \ end {array}\ right.\)

    Paso 1: Divide la ecuación 1 por\(4\) y resuelve para\(x\).

    \ (\ comenzar {alineado}
    4x + 8y &= 8\\
    x + 2y &= 2\\
    x &= -2y + 2
    \ final {alineado}\)

    Paso 2: Sustituir la expresión\(-2y + 2\) por\(x\) en la ecuación 2.

    \(3(-2y + 2) + 6y = 6\)

    Paso 3: Resolver la ecuación obtenida en el paso 2.

    \ (\ comenzar {alineado}
    3 (-2y + 2) + 6y &= 6\\
    -6y + 6 + 6y &= 6\\
    6 &= 6
    \ end {alineado}\)

    Los cálculos han eliminado todas las variables y han producido una identidad. Estas líneas son coincidentes.

    Una gráfica de dos líneas coincidentes. La línea se etiqueta con la ecuación x más dos y es igual a dos y una segunda etiqueta con la ecuación tres x más seis y es igual a seis. Las líneas pasan por los puntos cero, uno y dos, cero. Como las líneas son coincidentes, tienen la misma gráfica.

    Este sistema es dependiente.

    Set de práctica C

    Problema de práctica\(\PageIndex{3}\)

    Resolver el sistema

    \ (\ left\ {\ begin {array} {r}
    4x + 3y = 1\\
    -8x - 6y = -2
    \ end {array}\ right.\)

    Contestar

    Los cómputos producen\(-2 = -2\), una identidad. Estas líneas son coincidentes y el sistema es dependiente.

    Los sistemas en los que un coeficiente de una de las variables no es\(1\) o no se puede hacer que sea\(1\) sin introducir fracciones no son muy adecuados para el método de sustitución. El problema en el Conjunto de Muestras D ilustra esta situación “desordenada”.

    Conjunto de Muestras D

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Resolver el sistema

    \ (\ left\ {\ begin {array} {r}
    3x + 2y = 1\\
    4x - 3y = 3
    \ end {array}\ right.\)

    Paso 1: Vamos a resolver la ecuación (1) para\(y\).

    \ (\ begin {alineado}
    3x + 2y &= 1\\
    2y &= -3x + 1\\
    y &=\ dfrac {-3} {2} x +\ dfrac {1} {2}
    \ end {alineado}\)

    Paso 2: Sustituir la expresión\(\dfrac{-3}{2}x + \dfrac{1}{2}\) por\(y\) en la ecuación (2).

    \(4x - 3(\dfrac{-3}{2}x + \dfrac{1}{2}) = 3\)

    Paso 3: Resolver la ecuación obtenida en el paso 2.

    \ (\ begin {alineado}
    4x - 3 (\ dfrac {-3} {2} x +\ dfrac {1} {2}) &= 3\ text {Multiplica ambos lados por la pantalla LCD,} 2\\
    4x +\ dfrac {9} {2} x -\ dfrac {3} {2} &= 3\\
    8x + 9x - 3 &= 6\
    17x - 3 &= 6\\
    17x &= 9\\
    x &=\ dfrac {9} {17}
    \ final {alineado}\)

    Paso 4: Sustituir\(x = \dfrac{9}{17}\) a la ecuación obtenida en el paso 1,\(y = \dfrac{-3}{2}x + \dfrac{1}{2}\)

    \ (y =\ dfrac {-3} {2} (\ dfrac {9} {17}) +\ dfrac {1} {2}\\
    y =\ dfrac {-27} {34} +\ dfrac {17} {34} =\ dfrac {-10} {34} =\ dfrac {-5} {17}\).

    Ahora tenemos\(x = \dfrac{9}{17}\) y\(y = \dfrac{-5}{17}\)\

    Paso 5: La sustitución mostrará que estos valores de\(x\) y\(y\) verifican.

    Paso 6: La solución es\((\dfrac{9}{17}, \dfrac{-5}{17})\)

    Set de Práctica D

    Problema de práctica\(\PageIndex{4}\)

    Resolver el sistema

    \ (\ left\ {\ begin {array} {r}
    9x - 5y = -4\\
    2x + 7y = -9
    \ end {array}\ right.\)

    Contestar

    Estas líneas se cruzan en el punto\((−1,−1)\).

    Ejercicios

    Para los siguientes problemas, resolver los sistemas por sustitución.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    \ (\ left\ {\ begin {array} {r}
    3x + 2y = 9\\
    y = -3x + 6
    \ end {array}\ right.\)

    Contestar

    \((1, 3)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    \ (\ left\ {\ begin {array} {r}
    5x - 3y = -6\\
    y = -4x + 12
    \ end {array}\ right.\)

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    \ (\ left\ {\ begin {array} {r}
    2x + 2y = 0\\
    x = 3y - 4
    \ end {array}\ right.\)

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    \ (\ left\ {\ begin {array} {r}
    9x - 5y = -4\\
    2x + 7y = -9
    \ end {array}\ right.\)

    Contestar

    \((-1, 1)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    \ (\ left\ {\ begin {array} {r}
    3x + 5y = 9\\
    x = 4y - 14
    \ end {array}\ right.\)

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    \ (\ left\ {\ begin {array} {r}
    -3x + y = -4\\
    2x + 3y = 10
    \ end {array}\ right.\)

    Contestar

    \((2,2)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    \ (\ left\ {\ begin {array} {r}
    -4x + y = -7\\
    2x + 5y = 9
    \ end {array}\ right.\)

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    \ (\ izquierda\ {\ begin {array} {r}
    6x - 6 = 18\\
    x + 3y = 3
    \ end {array}\ derecha.\)

    Contestar

    \((4, -\dfrac{1}{3})\)

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    \ (\ left\ {\ begin {array} {r}
    -x - y = 5\\
    23x + y = 5
    \ end {array}\ right.\)

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    \ (\ left\ {\ begin {array} {r}
    -5x + y = 4\\
    10x - 2y = -8
    \ end {array}\ right.\)

    Contestar

    Dependiente (misma línea)

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    \ (\ left\ {\ begin {array} {r}
    x + 4y = 1\\
    -3x - 12y = -1
    \ end {array}\ right.\)

    Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

    \ (\ left\ {\ begin {array} {r}
    4x - 2y = 8\\
    6x + 3y = 0
    \ end {array}\ right.\)

    Contestar

    \((1,−2)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

    \ (\ left\ {\ begin {array} {r}
    2x + 3y = 12\\
    2x + 4y = 18
    \ end {array}\ right.\)

    Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

    \ (\ left\ {\ begin {array} {r}
    3x - 9y = 6\\
    6x - 18y = 5
    \ end {array}\ right.\)

    Contestar

    inconsistente (líneas paralelas)

    Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

    \ (\ left\ {\ begin {array} {r}
    -x + 4y = 8\\
    3x - 12y = 10
    \ end {array}\ right.\)

    Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

    \ (\ left\ {\ begin {array} {r}
    x + y = -6\\
    x - y = 4
    \ end {array}\ right.\)

    Contestar

    \((−1,−5)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

    \ (\ left\ {\ begin {array} {r}
    2x + y = 0\\
    x - 3y = 0
    \ end {array}\ right.\)

    Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

    \ (\ left\ {\ begin {array} {r}
    4x - 2y = 7\\
    y = 4
    \ end {array}\ right.\)

    Contestar

    \((\dfrac{15}{4}, 4)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

    \ (\ left\ {\ begin {array} {r}
    x + 6y = 11\\
    x = -1
    \ end {array}\ right.\)

    Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

    \ (\ left\ {\ begin {array} {r}
    2x - 4y = 10\\
    3x = 5y + 12
    \ end {array}\ right.\)

    Contestar

    \((−1,−3)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

    \ (\ left\ {\ begin {array} {r}
    y + 7x + 4 = 0\\
    x = -7y + 28
    \ end {array}\ right.\)

    Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

    \ (\ izquierda\ {\ begin {array} {r}
    x + 4y = 0\\
    x +\ dfrac {2} {3} y =\ dfrac {10} {3}
    \ end {array}\ derecha.\)

    Contestar

    \((4,−1)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

    \ (\ izquierda\ {\ begin {array} {r}
    x = 24 - 5y\\
    x -\ dfrac {5} {4} y =\ dfrac {3} {2}
    \ end {array}\ derecha.\)

    Ejercicio\(\PageIndex{24}\)

    \ (\ left\ {\ begin {array} {r}
    x = 11 - 6y\\
    3x + 18y = -33
    \ end {array}\ right.\)

    Contestar

    inconsistente (líneas paralelas)

    Ejercicio\(\PageIndex{25}\)

    \ (\ izquierda\ {\ begin {array} {r}
    2x +\ dfrac {1} {3} y = 4\\
    3x + 6y = 39
    \ end {array}\ derecha.\)

    Ejercicio\(\PageIndex{26}\)

    \ (\ izquierda\ {\ begin {array} {r}
    \ dfrac {4} {5} x +\ dfrac {1} {2} y =\ dfrac {3} {10}\
    \ dfrac {1} {3} +\ dfrac {1} {2} y =\ dfrac {-1} {6}
    \ end {array}\ derecha.\)

    Contestar

    \((1,−1)\)

    Ejercicios para revisión

    Ejercicio\(\PageIndex{27}\)

    Encuentra el cociente:\(\dfrac{x^2 - x - 12}{x^2 - 2x - 15} \div \dfrac{x^2 - 3x - 10}{x^2 - 2x - 8}\)

    Contestar

    \(\dfrac{(x-4)^2}{(x-5)^2}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{28}\)

    Encuentra la diferencia:\(\dfrac{x + 2}{x^2 + 5x + 6} - \dfrac{x + 1}{x^2 + 4x + 3}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{29}\)

    Simplificar\(-\sqrt{81x^8y^5z^4}\)

    Contestar

    \(-9x^4y^2z^2 \sqrt{y}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{30}\)

    Usa la fórmula cuadrática para resolver\(2x^2 + 2x - 3 = 0\)

    Ejercicio\(\PageIndex{31}\)

    Resuelve graficando:

    \ (\ left\ {\ begin {array} {r}
    x - y = 1\\
    2x + y = 5
    \ end {array}\ right.\)

    Un plano de coordenadas xy con líneas de cuadrícula etiquetadas como cinco negativas y cinco con incrementos de una unidad para ambos ejes.

    Contestar

    \((2,1)\)

    Una gráfica de dos líneas que se cruzan en un punto con coordenadas negativas dos, una. Una de las líneas está pasando por un punto con coordenadas cero, cinco y la otra línea está pasando por un punto con coordenadas cero, negativo uno.


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