4.2: Resolver sistemas por sustitución

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En esta sección introducimos una técnica algebraica para resolver sistemas de dos ecuaciones en dos incógnitas llamada método de sustitución. El método de sustitución es bastante sencillo de usar. Primero, se resuelve cualquiera de las ecuaciones para cualquiera de las variables, luego se sustituye el resultado por la otra ecuación. El resultado es una ecuación en una sola variable. Resuelve esa ecuación, luego sustituye el resultado por cualquiera de las otras ecuaciones para encontrar la variable desconocida restante.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

\[2x-5 y=-8 \label{Eq4.2.1} \]

\[y=3x-1 \label{Eq4.2.2} \]

Solución

La ecuación\ ref {Eq4.2.2} ya está resuelta para$y$. Sustituir la ecuación\ ref {Eq4.2.2} en la ecuación\ ref {Eq4.2.1}. Esto significa que sustituiremos$y$ en$3x−1$ la Ecuación\ ref {Eq4.2.1}.

\[\begin{aligned} 2x-5y &= -8 \quad {\color {Red} \text { Equation }} \ref{Eq4.2.1} \\ 2x-5({\color {Red}3x-1}) &= -8 \quad {\color {Red} \text { Substitute } 3x-1 \text { for } y \text { in }} \ref{Eq4.2.1} \end{aligned} \nonumber \]

Ahora resuelve para$x$.

\[\begin{aligned} 2x-15x+5 &= -8 \quad \color {Red} \text { Distribute }-5 \\ -13x+5 &= -8 \quad \color {Red} \text { Simplify. } \\ -13x &= -13 \quad \color {Red} \text { Subtract } 5 \text { from both sides, } \\ x &= 1 \quad \color {Red} \text { Divide both sides by }-13 \end{aligned} \nonumber \]

Como vimos en Solving Systems by Graphing, la solución al sistema es el punto de intersección de las dos líneas representadas por las ecuaciones en el sistema. Esto significa que podemos sustituir la respuesta$x = 1$ en cualquiera de las ecuaciones para encontrar el valor correspondiente de$y$. Elegimos sustituir$1$$x$ en Ecuación\ ref {Eq4.2.2}, luego resolvemos para$y$, pero obtendrás exactamente el mismo resultado si$1$ sustituyes$x$ en Ecuación\ ref {Eq4.2.1}.

\[\begin{aligned} y &= 3x-1 \quad {\color {Red} \text { Equation }}\ref{Eq4.2.2} \\ y &= 3(1)-1 \quad \color {Red} \text { Substitute } 1 \text { for } x \\ y &= 2 \quad \color {Red} \text { Simplify. } \end{aligned} \nonumber \]

De ahí,$(x,y) = (1 ,2)$ es la solución del sistema.

Comprobar: Para mostrar que la solución$(x,y) = (1 ,2)$ es una solución del sistema, necesitamos mostrar que$(x,y) = (1 ,2)$ satisface ambas ecuaciones\ ref {Eq4.2.1} y\ ref {Eq4.2.2}.

Sustituto$(x,y) = (1 ,2)$ en Ecuación\ ref {Eq4.2.1}:

\[\begin{aligned} 2 x-5 y &=-8 \\ 2(1)-5(2) &=-8 \\ 2-10 &=-8 \\-8 &=-8 \end{aligned} \nonumber \]

Así, (1,2) satisface la Ecuación\ ref {Eq4.2.1}.

Sustituto$(x,y) = (1 ,2)$ en Ecuación\ ref {Eq4.2.2}:

\[\begin{array}{l}{y=3 x-1} \\ {2=3(1)-1} \\ {2=3-1} \\ {2=2}\end{array} \nonumber \]

Así, (1,2) satisface la Ecuación\ ref {Eq4.2.2}.

Porque$(x,y) = (1 ,2)$ satisface ambas ecuaciones, es una solución del sistema.

higo 4.2.1.png — Figura$\PageIndex{1}$:$2x − 5y = −8$ y se$y = x − 3$ cruzan en$(1,2)$.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

\[\begin{aligned} 9 x+2 y &=-19 \\ y &=13+3 x \end{aligned} \nonumber \]

Contestar: $(-3,4)$

Método de sustitución

El método de sustitución implica estos pasos:

Resuelve cualquiera de las ecuaciones para cualquiera de las variables
Sustituir el resultado del paso uno por la otra ecuación. Resolver la ecuación resultante.
Sustituya el resultado del paso dos en cualquiera de las ecuaciones originales del sistema o la ecuación resultante del paso uno (lo que parezca más fácil), luego resuelva para encontrar la variable desconocida restante.

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

\[5x-2y=12 \label{Eq4.2.3} \]

\[4x+y=6 \label{Eq4.2.4} \]

Solución

El primer paso es resolver cualquiera de las ecuaciones para cualquiera de las variables. Esto significa que podemos resolver la primera ecuación para$x$ o$y$, pero también significa que podríamos resolver primero la segunda ecuación para$x$ o$y$. De estas cuatro opciones posibles, resolver la segunda Ecuación\ ref {Eq4.2.4} para$y$ parece la forma más fácil de comenzar.

\[\begin{aligned} 4x+y &= 6 \quad {\color {Red} \text { Equation }}\ref{Eq4.2.4} \\ y &= 6-4x \quad \color {Red} \text { Subtract } 4x \text { from both sides. } \end{aligned} \nonumber \]

A continuación, sustituya$6−4x$$y$ en la Ecuación\ ref {Eq4.2.3}.

\[\begin{aligned} 5x-2y &= 12 \quad {\color {Red} \text { Equation }}\ref{Eq4.2.3} \\ 5x-2(6-4x) &= 12\quad {\color {Red} \text { Substitute } 6-4 x \text { for } y \text { in }}\ref{Eq4.2.3} \\ 5x-12+8x &= 12 \quad \color {Red} \text { Distribute }-2 \\ 13x-12 &= 12 \quad \color {Red} \text { Simplify. }\\ 13x &= 24 \quad \color {Red} \text { Add } 12 \text { to both sides. } \\ x &= \dfrac{24}{13} \quad \color {Red} \text { Divide both sides by } 13 \end{aligned} \nonumber \]

Finalmente, para encontrar el$y$ -valor, sustituirlo$24/13$$x$ en la ecuación$y =6−4x$ (también se puede sustituir$24/13$$x$ en las ecuaciones\ ref {Eq4.2.3} o\ ref {Eq4.2.4}).

\[\begin{aligned} y &= 6-4x \\ y &= 6-4\left(\dfrac{24}{13}\right) \quad \color {Red} \text { Substitute } 24 / 13 \text { for } x \text { in } y=6-4x \\ y &= \dfrac{78}{13}-\dfrac{96}{13}\quad \color {Red} \text { Multiply, then make equivalent fractions. } \\ y &= -\dfrac{18}{13} \quad \color {Red} \text { Simplify. } \end{aligned} \nonumber \]

De ahí,$(x,y) = (24 /13,−18/13)$ es la solución del sistema.

higo 4.2.2.png — Figura$\PageIndex{2}$:$5x − 2y = 12$ y se$4x + y = 6$ cruzan en$(24/13,−18/13)$.

Consulta: Vamos a usar la calculadora gráfica para verificar la solución. Primero, almacenamos$X$ con$24/13$ las siguientes pulsaciones de teclas (ver el resultado en la Figura$\PageIndex{3}$).

fig 4.2.2a.png — Figura$\PageIndex{3}$).

$fig 4.2.2b.png$

higo 4.2.3.png — Figura$\PageIndex{3}$: Almacenamiento$24/13$ y$−18/13$ en$X$ y$Y$.

Ahora, borra la pantalla de la calculadora presionando el botón CLEAR, luego ingresa al lado izquierdo de Ecuación\ ref {Eq4.2.3} con las siguientes pulsaciones de teclas (ver el resultado en la Figura$\PageIndex{4}$).

fig 4.2.2c.png — Figura$\PageIndex{4}$). Tenga en cuenta que cada lado izquierdo produce el número en los lados derecho de las ecuaciones\ ref {Eq4.2.3} y\ ref {Eq4.2.4}. Así, la solución$(x,y) = (24 /13,−18/13)$ comprueba.

$fig 4.2.2d.png$

higo 4.2.4.png — Figura$\PageIndex{4}$: Comprobando ecuaciones\ ref {Eq4.2.3} y\ ref {Eq4.2.4}.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

\[\begin{aligned} x-2 y &=13 \\ 4 x-3 y &=26 \end{aligned} \nonumber \]

Contestar: $(13 / 5,-26 / 5)$

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

\[3x-2y=6 \label{Eq4.2.5} \]

\[4x+5y=20 \label{Eq4.2.6} \]

Solución

Dividir por$−2$ da fracciones más fáciles de tratar que dividir por$3$,$4$, o$5$, así comencemos resolviendo la ecuación (\ ref {Eq4.2.5}) para$y$.

\[\begin{aligned} 3x-2y &= 6\quad {\color {Red} \text { Equation }}\ref{Eq4.2.5} \\ -2y &= 6-3x \quad \color {Red} \text { Subtract } 3 x \text { from both sides. } \\ y &= \dfrac{6-3 x}{-2} \quad \color {Red} \text { Divide both sides by }-2 \\ y &= -3+\dfrac{3}{2} x \quad \color {Red} \text { Divide both } 6 \text { and }-3 x \text { by }-2 \text { using distributive property. } \end{aligned} \nonumber \]

Sustituto$-3+\dfrac{3}{2} x$$y$ en Ecuación\ ref {Eq4.2.6}

\ [\ begin {alineado}
4x+5y &= 20\ quad {\ color {Rojo}\ texto {Ecuación}}\ ref {Eq4.2.6}\\
4x+5\ left (-3+\ dfrac {3} {2} x\ derecha) &= 20\ quad\ color {Rojo}\ texto {Sustituto} -3+\ dfrac {3} {2} x\ texto {para y}\\
4x-15+\ dfrac {15} {2} x &= 20\ quad\ color {Rojo}\ texto { Distribuye el} 5\\
8x-30+15x &= 40\ quad\ color {Rojo}\ texto {Borrar fracciones multiplicando}\\
23x &= 70\ quad\ color {Rojo}\ texto {Simplificar. Agrega} 30\ texto {a ambos lados.}\\
x &=\ dfrac {70} {23}\ quad\ color {Rojo}\ texto {Divide ambos lados por} 23
\ end {alineado}\ nonumber\]

Para encontrar$y$, sustituir$70/23$$x$ en ecuación$y=-3+\dfrac{3}{2} x$. También podrías sustituir$70/23$$x$ en ecuaciones\ ref {Eq4.2.5} o\ ref {Eq4.2.6} y obtener el mismo resultado.

\[\begin{aligned} y &= -3+\dfrac{3}{2} x \\ y &= -3+\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{70}{23}\right) \quad \color {Red} \text { Substitute } 70 / 23 \text { for } x \\ y &= -\dfrac{69}{23}+\dfrac{105}{23} \quad \color {Red} \text { Multiply. Make equivalent fractions. } \\ y &= \dfrac{36}{23} \quad \text { Simplify. } \end{aligned} \nonumber \]

De ahí,$(x,y) = (70 /23,36/23)$ es la solución del sistema.

higo 4.2.5.png — Figura$\PageIndex{5}$:$3x − 2y =6$ y se$4x +5y = 20$ cruzan en$(70/23,36/23)$.

Comprobar: Para verificar esta solución, usemos la calculadora gráfica para encontrar la solución del sistema. Ya sabemos que$3x − 2y = 6$ es equivalente a$y=-3+\dfrac{3}{2} x$. Vamos a resolver también Ecuación\ ref {Eq4.2.6} para$y$.

\[\begin{aligned} 4x+5y &= 20 \quad {\color {Red} \text { Equation }}\ref{Eq4.2.6} \\ 5y &= 20-4x \quad \color {Red} \text { Subtract } 4 x \text { from both sides. } \\ y &= \dfrac{20-4 x}{5} \quad \color {Red} \text { Divide both sides by } 5 \\ y &= 4-\dfrac{4}{5} x \quad \color {Red} \text { Divide both } 20 \text { and }-4 x \text { by } 5 \text { using the distributive property. } \end{aligned} \nonumber \]

Entra$y=-3+\dfrac{3}{2} x$ y$y=4-\dfrac{4}{5} x$ entra en el menú Y = de la calculadora gráfica (ver Figura 4.32).

higo 4.2.6.png — Figura$\PageIndex{6}$: Entrar$y-3+\dfrac{3}{2} x$ y$y=4-\dfrac{4}{5} x$ en Y1 e Y2, respectivamente.

Presione el botón ZOOM y seleccione 6:ZStandard. Presione 2ND CALC para abrir el menú CALCULAR, seleccione 5:intersectar, luego presione la tecla INTRO tres veces seguidas para ingresar “Sí” a las consultas “Primera curva”, “Segunda curva” y “Adivina”. El resultado se muestra en la Figura$\PageIndex{7}$.

higo 4.2.7.png — Figura$\PageIndex{7}$: Utilice **5:intersectar** en el menú **CALC** para calcular el punto de intersección.

En la parte inferior de la ventana de visualización en la Figura$\PageIndex{7}$, observe cómo se almacenan las coordenadas del punto de intersección en las variables X e Y. Sin mover el cursor, (las variables X e Y contienen las coordenadas del cursor), salga de la ventana de visualización presionando 2ND QUIT, que se encuentra encima de la tecla MODE. Luego presiona el botón CLEAR para borrar la pantalla de la calculadora.

Ahora presiona la$\mathrm{X}, \mathrm{T}, \theta, \mathrm{n}$ tecla, luego el botón MATH en tu calculadora:

fig 4.2.7a.png — Figura$\PageIndex{8}$).

higo 4.2.8.png — Figura$\PageIndex{8}$: El menú **MATEMÁTICO**.

Seleccione 1: ►Frac, luego presione la tecla ENTER para producir el equivalente fraccionario del contenido decimal de la variable$X$ (ver Figura$\PageIndex{9}$).

higo 4.2.9.png — Figura$\PageIndex{9}$: Cambiar el contenido de las variables$X$ y$Y$ a fracciones.

Repita el procedimiento para la variable$Y$. Ingresa:

fig 4.2.9a.png — Figura$\PageIndex{9}$). Tenga en cuenta que los equivalentes fraccionarios para$X$ y$Y$ son$70/23$ y$36/23$, precisamente las mismas respuestas que obtuvimos con el método de sustitución anterior.

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

\[\begin{aligned}3 x-5 y&=3 \\ 5 x-6 y&=2\end{aligned} \nonumber \]

Contestar: $(-8 / 7,-9 / 7)$

Casos Excepcionales Revisitados

Es totalmente posible que se aplique el método de sustitución a un sistema de ecuaciones que o bien tengan un número de soluciones inﬁnita o ninguna solución en absoluto. Veamos qué pasa en caso de que lo hagas.

Ejemplo$\PageIndex{4}$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

\[2 x+3 y=6 \label{Eq4.2.7} \]

\[y=-\dfrac{2}{3} x+4 \label{Eq4.2.8} \]

Solución

La ecuación\ ref {Eq4.2.8} ya está resuelta para$y$, así que$-\dfrac{2}{3} x+4$ sustituyamos$y$ en la Ecuación\ ref {Eq4.2.7}.

\[\begin{aligned} 2x+3y &= 6 \quad {\color {Red} \text { Equation }}\ref{Eq4.2.7} \\ 2x+3\left(-\dfrac{2}{3} x+4\right) &= 6 \quad \color {Red} \text { Substitute }-\dfrac{2}{3} x+4 \text { for } y \\ 2x-2x+12 &= 6 \quad \color {Red} \text { Distribute the } 3 \\ 12 &= 6\quad \color {Red} \text { Simplify. } \end{aligned} \nonumber \]

¡Bondad! ¿Qué pasó con el$x$? ¿Cómo se supone que debemos resolver$x$ en esta situación? No obstante, tenga en cuenta que la declaración resultante$12 = 6$,, es falsa, no importa para qué usemos$x$ y$y$. Esto debería darnos una pista de que no hay soluciones. ¿Quizás estamos tratando con líneas paralelas?

Resolvamos la Ecuación\ ref {Eq4.2.7} para$y$, poniendo la ecuación en forma de pendiente-intersección, para ayudar a determinar la situación.

\[\begin{aligned} 2x+3y &= 6 \quad {\color {Red} \text { Equation }}\ref{Eq4.2.7} \\ 3y &= -2x+6 \quad \color {Red} \text { Subtract } 2 x \text { from both sides. } \\ y &= -\dfrac{2}{3} x+2 \quad \color {Red} \text { Divide both sides by } 3 \end{aligned} \nonumber \]

Así, nuestro sistema es equivalente a las dos ecuaciones siguientes.

\[\begin{aligned} y &= -\dfrac{2}{3} x+2 \\ y &= -\dfrac{2}{3} x+4 \end{aligned} \nonumber \]

Estas líneas tienen la misma pendiente$−2/3$, pero diferentes$y$ -intercepciones (una tiene$y$ -intercepción$(0,2)$, la otra tiene$y$ -intercepción$(0,4)$). De ahí que se trate de dos líneas paralelas distintas y el sistema no tiene solución.

higo 4.2.10.png — Figura$\PageIndex{10}$:$2x +3y = 6$ y$y=-\dfrac{2}{3} x+4$ son paralelas. No hay solución.

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

\[\begin{aligned} x &=\dfrac{4}{3} y-7 \\ 6 x-8 y &=-3 \end{aligned} \nonumber \]

Contestar: no hay solución

Ejemplo$\PageIndex{5}$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

\[2x-6y=-8 \label{Eq4.2.9} \]

\[x=3y-4 \label{Eq4.2.10} \]

Solución

La ecuación\ ref {Eq4.2.10} ya está resuelta para$x$, así que$3y−4$ sustituyamos$x$ en la Ecuación\ ref {Eq4.2.9}.

\[\begin{aligned} 2x-6y &= -8 \quad {\color {Red} \text { Equation }}\ref{Eq4.2.9} \\ 2(3y-4)-6y &= -8 \quad \color {Red} \text { Substitute } 3 y-4 \text { for } x \\ 6y-8-6y &= -8 \quad \color {Red} \text { Distribute the } 2 \\ -8 &= -8 \quad \color {Red}\text { Simplify. } \end{aligned} \nonumber \]

¡Bondad! ¿Qué pasó con el$x$? ¿Cómo se supone que debemos resolver$x$ en esta situación? No obstante, tenga en cuenta que la afirmación resultante$−8=−8$,, es una verdadera afirmación en esta ocasión. ¿Quizás esto es un indicio de que estamos tratando con la misma línea? Pongamos ambas ecuaciones\ ref {Eq4.2.9} y\ ref {Eq4.2.10} en forma pendiente-intercepción para que podamos compararlas.

Resolver Ecuación\ ref {Eq4.2.9} para$y$:

\[\begin{aligned} 2 x-6 y &=-8 \\-6 y &=-2 x-8 \\ y &=\dfrac{-2 x-8}{-6} \\ y &=\dfrac{1}{3} x+\dfrac{4}{3} \end{aligned} \nonumber \]

Resolver Ecuación\ ref {Eq4.2.10} para$y$:

\[\begin{aligned} x &=3 y-4 \\ x+4 &=3 y \\ \dfrac{x+4}{3} &=y \\ y &=\dfrac{1}{3} x+\dfrac{4}{3} \end{aligned} \nonumber \]

De ahí que las líneas tengan la misma pendiente y la misma$y$ intersección y son exactamente las mismas líneas. Así, hay un número inﬁnito de soluciones. En efecto, cualquier punto en cualquiera de las líneas es una solución. Ejemplos de puntos de solución son$(−4,0)$,$(−1,1)$, y$(2,2)$.

higo 4.2.11.png — Figura$\PageIndex{1}$:$2x − 6y = −8$ y$x =3 y−4$ son la misma línea. Inﬁnite número de soluciones.

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

\[\begin{aligned}-28 x+14 y &=-126 \\ y &=2 x-9 \end{aligned} \nonumber \]

Contestar: Hay una cantidad inﬁnita de soluciones. Ejemplos de puntos de solución son$(0,−9)$,$(5,1)$, y$(−3,−15)$.

Tip

Cuando sustituya una ecuación por otra y la variable desaparece, considere:

Si la declaración resultante es falsa, entonces tienes dos líneas paralelas distintas y no hay solución.
Si la declaración resultante es verdadera, entonces tienes las mismas líneas y hay un número inﬁnito de soluciones.

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