2.1: Resolver ecuaciones usando las propiedades de resta y suma de igualdad
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- Verificar una solución de una ecuación
- Resolver ecuaciones usando las Propiedades de Suma y Suma de Igualdad
- Resolver ecuaciones que requieren simplificación
- Traducir a una ecuación y resolver
- Traducir y resolver aplicaciones
Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.
- Evaluar\(x+4\) cuándo\(x=−3\).
Si te perdiste este problema, revisa Ejercicio 1.5.25. - Evaluar\(15−y\) cuándo\(y=−5\).
Si te perdiste este problema, revisa Ejercicio 1.5.31. - Simplificar\(4(4n+1)−15n\).
Si te perdiste este problema, revisa Ejercicio 1.10.49. - Traducir en álgebra “5 es menor que x.”
Si te perdiste este problema, revisa Ejercicio 1.3.43.
Verificar una Solución de una Ecuación
Resolver una ecuación es como descubrir la respuesta a un rompecabezas. El propósito al resolver una ecuación es encontrar el valor o valores de la variable que hacen que cada lado de la ecuación sea igual —para que terminemos con una declaración verdadera. Cualquier valor de la variable que haga verdadera la ecuación se denomina solución a la ecuación. ¡Es la respuesta al rompecabezas!
Una solución de una ecuación es un valor de una variable que hace una declaración verdadera cuando se sustituye en la ecuación.
- Sustituir el número en por la variable en la ecuación.
- Simplifica las expresiones en ambos lados de la ecuación.
- Determinar si la ecuación resultante es verdadera (el lado izquierdo es igual al lado derecho)
- Si es cierto, el número es una solución.
- Si no es cierto, el número no es una solución.
Determinar si\(x = \frac{3}{2}\) es una solución de\(4x−2=2x+1\).
- Contestar
-
Dado que una solución a una ecuación es un valor de la variable que hace que la ecuación sea verdadera, comience por sustituir el valor de la solución por la variable.
\(4 x-2=2 x+1\) 
\(4\left(\color{red}\frac{3}{2}\color{black}\right)-2 \stackrel{?}{=} 2\left(\color{red}\frac{3}{2}\color{black}\right)+1\) Multiplicar. \(6-2 \stackrel{?}{=} 3+1\) Restar. \(4=4 \checkmark \) Dado que\(x = \frac{3}{2}\) resulta en una ecuación verdadera (4 es de hecho igual a 4),\(\frac{3}{2}\) es una solución a la ecuación\(4x−2=2x+1\).
¿Es\(y = \frac{4}{3}\) una solución de\(9y+2=6y+3\)?
- Contestar
-
no
¿Es\(y = \frac{7}{5}\) una solución de\(5y+3=10y-4\)?
- Contestar
-
si
Resolver ecuaciones usando las propiedades de resta y suma de la igualdad
Vamos a utilizar un modelo para aclarar el proceso de resolver una ecuación. Un sobre representa la variable —ya que se desconoce su contenido— y cada contador representa uno. Estableceremos un sobre y algunos mostradores en nuestro espacio de trabajo, como se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\). Ambos lados del espacio de trabajo tienen el mismo número de contadores, pero algunos contadores están “ocultos” en el sobre. ¿Se puede decir cuántos mostradores hay en el sobre?
¿Qué estás pensando? ¿Qué pasos estás tomando en tu mente para averiguar cuántos contadores hay en el sobre?
Quizás estés pensando: “Necesito quitar los 3 contadores en la parte inferior izquierda para obtener el sobre por sí mismo. Los 3 contadores de la izquierda se pueden emparejar con 3 a la derecha y así puedo quitárselos de ambos lados. Eso deja cinco a la derecha, así que debe haber 5 mostradores en el sobre”. Ver Figura\(\PageIndex{2}\) para una ilustración de este proceso.
¿Qué ecuación algebraica coincidiría con esta situación? En Figura\(\PageIndex{3}\) cada lado del espacio de trabajo representa una expresión y la línea central toma el lugar del signo igual. Llamaremos al contenido del sobre x.
Escribamos algebraicamente los pasos que dimos para descubrir cuántos contadores había en el sobre:
 |
|
| Primero, nos quitamos tres de cada lado. |  |
| Entonces nos quedamos con cinco. |  |
Comprobar:
¡Cinco en el sobre más tres más hace igual a ocho!
\[5+3=8\]
Nuestro modelo nos ha dado una idea de lo que debemos hacer para resolver un tipo de ecuación. El objetivo es aislar la variable por sí misma en un lado de la ecuación. Para resolver ecuaciones como estas matemáticamente, utilizamos la Propiedad de Sustracción de Igualdad.
Para cualquier número a, b y c,
\[\begin{array} {ll} {\text{If}} &{a = b} \\ {\text{then}} &{a - c = b - c} \end{array}\]
Cuando restas la misma cantidad de ambos lados de una ecuación, todavía tienes igualdad.
Hacer la actividad de Matemáticas Manipulativas “Propiedad de Sustracción de Igualdad” te ayudará a desarrollar una mejor comprensión de cómo resolver ecuaciones mediante el uso de la Propiedad de Resta de Igualdad.
Veamos cómo usar esta propiedad para resolver una ecuación. Recuerde, el objetivo es aislar la variable en un lado de la ecuación. Y comprobamos nuestras soluciones sustituyendo el valor en la ecuación para asegurarnos de que tenemos una afirmación verdadera.
Resolver:\(y+37=−13\).
- Contestar
-
Para obtener y por sí mismo, desharemos la suma de 37 mediante el uso de la Propiedad de Resta de Igualdad.
Restar 37 de cada lado para 'deshacer' la suma. 
Simplificar. 
Comprobar: 
Sustituto\(y=−50\) 
Como y=−50 hace que y+37=−13 sea una declaración verdadera, tenemos la solución a esta ecuación.
Resolver:\(x+19=−27\).
- Contestar
-
\(x=−46\)
Resolver:\(x+16=−34\).
- Contestar
-
\(x=−50\)
¿Qué sucede cuando una ecuación tiene un número restado de la variable, como en la ecuación\(x−5=8\)? Utilizamos otra propiedad de ecuaciones para resolver ecuaciones donde se resta un número de la variable. Queremos aislar la variable, así que para 'deshacer' la resta agregaremos el número a ambos lados. Utilizamos la Propiedad de Adición de Igualdad.
Para cualquier número a, b y c,
\[\begin{array} {ll} {\text{If}} &{a = b} \\ {\text{then}} &{a + c = b + c} \end{array}\]
Cuando agregas la misma cantidad desde ambos lados de una ecuación, todavía tienes igualdad.
En Ejercicio\(\PageIndex{4}\), se sumó 37 a la y y así restamos 37 para 'deshacer' la suma. En Ejercicio\(\PageIndex{7}\), tendremos que 'deshacer' la resta usando la Propiedad de Suma de Igualdad.
Resolver:\(a−28=−37\).
- Contestar
-
Agrega 28 a cada lado para 'deshacer' la resta. 
Simplificar. 
Comprobar: 
Sustituto\(a=−9\) 
La solución a\(a−28=−37\) es\(a=−9\).
Resolver:\(n−61=−75\).
- Contestar
-
\(n=−14\)
Resolver:\(p−41=−73\).
- Contestar
-
\(p=−32\)
Resolver:\(x - \frac{5}{8} = \frac{3}{4}\)
- Contestar
-
Utilizar la Propiedad de Adición de Igualdad. 
Encuentra la pantalla LCD para sumar las fracciones a la derecha. \(x-\frac{5}{8}+\frac{5}{8}=\frac{6}{8}+\frac{5}{8}\) Simplificar. \(x=\frac{11}{8}\) Comprobar: 
Sustituto\(x= \frac{11}{8}\) 
Restar. 
Simplificar. 
La solución a\(x - \frac{5}{8} = \frac{3}{4}\) es\(x= \frac{11}{8}\).
Resolver:\(p−\frac{2}{3}=\frac{5}{6}\).
- Contestar
-
\(p = \frac{9}{6} p =\frac{3}{2}\)
Resolver:\(q−\frac{1}{2}=\frac{5}{6}\).
- Contestar
-
\(q =\frac{4}{3}\)
El siguiente ejemplo será una ecuación con decimales.
Resolver:\(n−0.63=−4.2\).
- Contestar
-
\(n-0.63=-4.2\) Utilizar la Propiedad de Adición de Igualdad. 
Agregar. \(n=-3.57\) Comprobar: \(n=-3.57\) Vamos\(n=−3.57\). 
Resolver:\(b−0.47=−2.1\).
- Contestar
-
\(b=−1.63\)
Resolver:\(c−0.93=−4.6\).
- Contestar
-
\(c=−3.67\)
Resolver ecuaciones que requieren simplificación
En los ejemplos anteriores, pudimos aislar la variable con una sola operación. La mayoría de las ecuaciones que encontremos en álgebra tomarán más pasos para resolver. Por lo general, necesitaremos simplificar uno o ambos lados de una ecuación antes de usar las Propiedades de Suma o Suma de Igualdad.
Siempre debes simplificar lo más posible antes de intentar aislar la variable. Recuerda que para simplificar una expresión significa hacer todas las operaciones en la expresión. Simplifica un lado de la ecuación a la vez. Obsérvese que la simplificación es diferente al proceso utilizado para resolver una ecuación en la que aplicamos una operación a ambos lados.
Resolver:\(9x−5−8x−6=7\).
- Contestar
-
Resolver:\(8y−4−7y−7=4\).
- Contestar
-
\(y=15\)
Resolver:\(6z+5−5z−4=3\).
- Contestar
-
\(z=2\)
Resolver: 5 (n−4) −4n=−8.
- Contestar
-
Simplificamos ambos lados de la ecuación tanto como sea posible antes de intentar aislar la variable.
\(5(n-4)-4 n=-8\)
Distribuir a la izquierda. \(5 n-20-4 n=-8\) Utilice la Propiedad Conmutativa para reorganizar los términos. \(5 n-4 n-20=-8\) Combina términos similares. \(n-20=-8\) Cada lado está lo más simplificado posible. A continuación, aislar n. Deshacer la resta usando la Propiedad de Suma de Igualdad. \(n-20 \; \color{red}{+ 20} \;\color{black}{=-8}\; \color{red}{+20}\) Agregar. \(n=12\) Cheque. Sustituto n=12.
La solución a\(5(n−4)−4n=−8\) es\(n=12\).
Resolver:\(5(p−3)−4p=−10\).
- Contestar
-
\(p=5\)
Resolver:\(4(q+2)−3q=−8\).
- Contestar
-
\(q=−16\)
Resolver:\(3(2y−1)−5y=2(y+1)−2(y+3)\).
- Contestar
-
Simplificamos ambos lados de la ecuación antes de aislar la variable.
\(3(2 y-1)-5 y=2(y+1)-2(y+3)\) Distribuir por ambos lados. \(6 y-3-5 y=2 y+2-2 y-6\) Utilice la Propiedad Conmutativa de Adición. \(6 y-5 y-3=2 y-2 y+2-6\) Combina términos similares. \(y-3=-4\) Cada lado está lo más simplificado posible. A continuación, aislar y. Deshacer la resta usando la Propiedad de Suma de Igualdad. \(y-3 \color{red} + 3 \color{black} = -4 \color{red} +3\) Agregar. \(y=-1\) Cheque. Deje y=−1.
La solución a\(3(2y−1)−5y=2(y+1)−2(y+3)3(2y−1)−5y=2(y+1)−2(y+3)\) es\(y=−1\).
Resolver:\(4(2h−3)−7h=6(h−2)−6(h−1)\).
- Contestar
-
\(h = 6\)
Resolver:\(2(5x+2)−9x=3(x−2)−3(x−4)\).
- Contestar
-
\(x=2\)
Traducir a una ecuación y resolver
Para resolver aplicaciones algebraicamente, comenzaremos traduciendo de oraciones en inglés a ecuaciones. Nuestro primer paso es buscar la palabra (o palabras) que se traducirían al signo igual. Estas son algunas de las palabras que se usan comúnmente.
Iguales =
- es
- es igual a
- es lo mismo que
- el resultado es
- da
- fue
- será
Los pasos que usamos para traducir una oración en una ecuación se enumeran a continuación.
- Localice la (s) palabra (s) “iguales”. Traducir a un signo igual (=).
- Traducir las palabras a la izquierda de las palabras “iguales” en una expresión algebraica.
- Traducir las palabras a la derecha de las palabras “iguales” en una expresión algebraica.
Traducir y resolver: Once más de x es igual a 54.
- Contestar
-
Traducir. 
Restar 11 de ambos lados. 
Simplificar. 
Cheque: ¿54 once es más de 43?
\[\begin{array} {rrr} {43 + 11} &{\stackrel{?}{=}} &{54}\\ {54} &{=} &{54\checkmark} \end{array}\]
Traducir y resolver: Diez más que x es igual a 41.
- Contestar
-
\(x+10=41;x=31\)
Traducir y resolver: Doce menos de x es igual a 51.
- Contestar
-
y−12=51; y=63
Traducir y resolver: La diferencia de 12t y 11t es −14.
- Contestar
-
Traducir. 
Simplificar. 
Comprobar:
\[\begin{array} {rrl} {12(-14) - 11(-14)} &{\stackrel{?}{=}} &{-14}\\{-168 + 154} &{\stackrel{?}{=}} &{-14} \\ {-14} &{=} &{-14\checkmark}\end{array}\]
Traducir y resolver: La diferencia de 4x y 3x es 14.
- Contestar
-
\(4x−3x=14;x=14\)
Traducir y resolver: La diferencia de 7a y 6a es −8.
- Contestar
-
\(7a−6a=−8;a=−8\)
Traducir y resolver aplicaciones
La mayoría de las veces una pregunta que requiere una solución algebraica sale de una pregunta de la vida real. Para empezar esa pregunta se hace en inglés (o el idioma de la persona que pregunta) y no en símbolos matemáticos. Debido a esto, es una habilidad importante poder traducir una situación cotidiana al lenguaje algebraico.
Comenzaremos replanteando el problema en una sola oración, asignaremos una variable, y luego traduciremos la oración en una ecuación para resolverla. Al asignar una variable, elija una letra que le recuerde lo que está buscando. Por ejemplo, podrías usar q para el número de cuartos si estuvieras resolviendo un problema sobre las monedas.
La familia MacIntyre recicló periódicos durante dos meses. Los dos meses de periódicos pesaban un total de 57 libras. Al segundo mes, los periódicos pesaban 28 libras. ¿Cuánto pesaron los periódicos el primer mes?
- Contestar
-
Traduzca en una ecuación algebraica y resuelva:
La familia Pappas tiene dos gatos, Zeus y Atenea. Juntos, pesan 23 libras. Zeus pesa 16 libras. ¿Cuánto pesa Atenea?
- Contestar
-
7 libras
Traduzca en una ecuación algebraica y resuelva:
Sam y Henry son compañeros de cuarto. Juntos, tienen 68 libros. Sam tiene 26 libros. ¿Cuántos libros tiene Henry?
- Contestar
-
42 libros
- Lee el problema. Asegúrate de que todas las palabras e ideas sean entendidas.
- Identificar lo que estamos buscando.
- Nombra lo que estamos buscando. Elija una variable para representar esa cantidad.
- Traducir en una ecuación. Puede ser útil reafirmar el problema en una oración con la información importante.
- Resolver la ecuación usando buenas técnicas de álgebra.
- Comprueba la respuesta en el problema y asegúrate de que tenga sentido.
- Contesta la pregunta con una oración completa.
Randell pagó 28,675 dólares por su auto nuevo. Esto fue $875 menos que el precio de la pegatina. ¿Cuál era el precio de la pegatina del auto?
- Contestar
-
\(\begin{array} {ll} {\textbf {Step 1. Read}\text{ the problem. }} &{}\\\\ {\textbf {Step 2. Identify}\text{ what we are looking for.}} &{\text{"What was the sticker price of the car?"}} \\\\ {\textbf{Step 3. Name}\text{ what we are looking for.}} &{} \\ {\text{Choose a variable to represent that quantity.}} &{\text{Let s = the sticker price of the car.}} \\\\{\textbf {Step 4. Translate}\text{ into an equation. Restate }} &{} \\ {\text{the problem in one sentence.}} &{$\text{28675 is } $\text{875 less than the sticker price}} \\ \\ {} &{$\text{28675 is } $\text{875 less than s}}\\ {}&{28675 = s - 875} \\ {\textbf {Step 5. Solve}\text{ the equation. }} &{28675 + 875 = s - 875 + 875}\\ {} &{29550 = s} \\ \\ {\textbf {Step 6. Check}\text{ the answer. }} &{} \\ {\text{Is }$875\text{ less than }$29550\text{ equal to } $28675?} &{} \\ {29550 - 875 \stackrel{?}{=} 28675} &{} \\ {28675 = 28675\checkmark} &{} \\ \\ {\textbf {Step 7. Answer}\text{ the question with }} &{\text{The sticker price of the car was }$29550.} \\ {\text{a complete sentence.}} &{} \end{array}\)
Traduzca en una ecuación algebraica y resuelva:
Eddie pagó 19875 dólares por su auto nuevo. Esto fue $1025 menos que el precio de la pegatina. ¿Cuál era el precio de la pegatina del auto?
- Contestar
-
$20900
Traduzca en una ecuación algebraica y resuelva:
El precio de entrada para las películas durante el día es de $7.75. Esto es $3.25 menos el precio por la noche. ¿Cuánto cuesta la película por la noche?
- Contestar
-
$11.00
Conceptos clave
- Para determinar si un número es una solución a una ecuación
- Sustituir el número en por la variable en la ecuación.
- Simplifica las expresiones en ambos lados de la ecuación.
- Determinar si la declaración resultante es verdadera.
- Si es cierto, el número es una solución.
- Si no es cierto, el número no es una solución.
- Adición Propiedad de Igualdad
- Para cualquier número a, b y c, si a=b, entonces a+c=b+c.
- Resta Propiedad de Igualdad
- Para cualquier número a, b y c, si a=b, entonces a−c=b−c.
- Para traducir una oración a una ecuación
- Localice la (s) palabra (s) “iguales”. Traducir a un signo igual (=).
- Traducir las palabras a la izquierda de las palabras “iguales” en una expresión algebraica.
- Traducir las palabras a la derecha de las palabras “iguales” en una expresión algebraica.
- Para resolver una aplicación
- Lee el problema. Asegúrate de que todas las palabras e ideas sean entendidas.
- Identificar lo que estamos buscando.
- Nombra lo que estamos buscando. Elija una variable para representar esa cantidad.
- Traducir en una ecuación. Puede ser útil reafirmar el problema en una oración con la información importante.
- Resolver la ecuación usando buenas técnicas de álgebra.
- Comprueba la respuesta en el problema y asegúrate de que tenga sentido.
- Contesta la pregunta con una oración completa.
Glosario
- solución de una ecuación
- Una solución de una ecuación es un valor de una variable que hace una declaración verdadera cuando se sustituye en la ecuación.