7.2: Trinomios cuadráticos factoriales con coeficiente principal 1
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- Trinomios factoriales de la forma\(x^{2}+b x+c\)
- Trinomios factoriales de la forma\(x^{2}+b x y+c y^{2}\)
Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.
- Multiplicar: (x+4) (x+5).
Si te perdiste este problema, revisa Ejercicio 6.3.31. - Simplificar: ⓐ −9+ (−6) ⓑ −9+6.
Si te perdiste este problema, revisa el Ejercicio 1.4.18. - Simplificar: ⓐ −9 (6) ⓑ −9 (−6).
Si te perdiste este problema, revisa el Ejercicio 1.5.1. - Simplificar: ⓐ |−5| ⓑ |3|.
Si te perdiste este problema, revisa el Ejercicio 1.4.2.
Trinomios factoriales de la Forma \(x^{2}+b x+c\)
Ya aprendiste a multiplicar binomios usando FOIL. Ahora necesitarás “deshacer” esta multiplicación—para comenzar con el producto y terminar con los factores. Veamos un ejemplo de multiplicar binomios para refrescar tu memoria.
Factorizar el trinomio significa comenzar con el producto,\(x^{2}+5 x+6\), y terminar con los factores,\((x+2)(x+3)\). Hay que pensar de dónde vino cada uno de los términos en el trinomio.
El primer término provino de multiplicar el primer término en cada binomio. Entonces para entrar\(x^{2}\) en el producto, cada binomio debe comenzar con una x.
\[\begin{array}{l}{x^{2}+5 x+6} \\ {(x\quad)(x\quad)}\end{array}\]
El último término en el trinomio provino de multiplicar el último término en cada binomio. Por lo que los últimos términos deben multiplicarse a 6.
¿Qué dos números se multiplican a 6?
Los factores de 6 podrían ser 1 y 6, o 2 y 3. ¿Cómo sabes qué par usar?
Considera el término medio. Vino de agregar los términos externo e interno.
Por lo que los números que deben tener un producto de 6 necesitarán una suma de 5. Probaremos ambas posibilidades y resumiremos los resultados en Tabla \(\PageIndex{1}\), la tabla será muy útil cuando se trabaja con números que se pueden factorizar de muchas maneras diferentes.
| Factores de 6 | Suma de factores |
|---|---|
| 1,6 | \(1+6=7\) |
| 2,3 | \(2+3=5\) |
Mesa \(\PageIndex{1}\)
Vemos que 2 y 3 son los números que se multiplican a 6 y se suman a 5. Entonces tenemos los factores de\(x^{2}+5 x+6\). Ellos son\((x+2)(x+3)\).
\[\begin{array}{ll}{x^{2}+5 x+6} & {\text { product }} \\ {(x+2)(x+3)} & {\text { factors }}\end{array}\]
Debe verificar esto multiplicando.
Mirando hacia atrás, empezamos con\(x^{2}+5 x+6\), que es de la forma\(x^{2}+b x+c\), donde b=5 y c=6. Lo factorizamos en dos binomios de la forma (x+m) y (x+n).
\[\begin{array}{ll}{x^{2}+5 x+6} & {x^{2}+b x+c} \\ {(x+2)(x+3)} & {(x+m)(x+n)}\end{array}\]
Para obtener los factores correctos, encontramos dos números m y n cuyo producto es c y la suma es b.
Factor:\(x^{2}+7 x+12\)
- Contestar
-
Factor:\(x^{2}+6 x+8\)
Factor:\(y^{2}+8 y+15\)
Resumimos los pasos que usamos para encontrar los factores.
Trinomios factoriales de la forma\(x^{2}+b x+c\).
Paso 1. Escribe los factores como dos binomios con los primeros términos x:\((x \quad)(x \quad )\)
Paso 2. Encuentra dos números m y n que se
multiplican a c,\(m \cdot n=c\)
Agregar a b,\(m+n=b\)
Paso 3. Utilice m y n como los últimos términos de los factores:\((x+m)(x+n)\)
Paso 4. Verificar multiplicando los factores.
Factor:\(u^{2}+11 u+24\)
- Contestar
-
Observe que la variable es u, por lo que los factores tendrán primeros términos u.
\(\begin{array}{ll} & u^{2}+11 u+24\\ {\text { Write the factors as two binomials with first terms } u \text { . }} & (u \quad)(u\quad) \\ {\text { Find two numbers that: multiply to } 24 \text { and add to } 11 .} & \end{array}\)
Factores de 24 Suma de factores 1,24 1+24=25 2,12 2+12=14 3,8 3+8=11* 4,6 4+6=10 \(\begin{array}{ll}\text { Use } 3 \text { and } 8 \text { as the last terms of the binomials. } & (u+3)(u+8)\\ \\ \text { Check. } \\ \\ \begin{array}{l}{(u+3)(u+8)} \\ {u^{2}+3 u+8 u+24} \\ {u^{2}+11 u+24 v} \checkmark\end{array}\end{array}\)
Factor:\(q^{2}+10 q+24\)
Factor:\(t^{2}+14 t+24\)
Factor:\(y^{2}+17 y+60\)
- Contestar
-
\(\begin{array}{ll} & y^{2}+17 y+60\\ \text { Write the factors as two binomials with first terms y. } & (y \quad)(y\quad)\end{array}\)
Encuentra dos números que se multiplican a 60 y se suman a 17.
\(\begin{array} {ll} \text { Use } 5 \text { and } 12 \text { as the last terms. } & (y+5)(y+12) \\ \text{ Check.} & \\ \\ \begin{array}{l}{(y+5)(y+12)} \\ {\left(y^{2}+12 y+5 y+60\right)} \\ {\left(y^{2}+17 y+60\right) }\checkmark \end{array} \end{array}\)Factores de 60 Suma de factores 1,60 1+60=61 2,30 2+30=32 3,20 3+20=23 4,15 4+15=19 5,12 5+12=17* 6,10
Factor:\(x^{2}+19 x+60\)
Factor:\(v^{2}+23 v+60\)
Trinomios Factoriales de la Forma x 2 + bx + c con b Negativo, c Positivo
En los ejemplos hasta el momento, todos los términos en el trinomio fueron positivos. ¿Qué pasa cuando hay términos negativos? Bueno, depende qué término es negativo. Veamos primero los trinomios con solo el negativo a medio plazo.
Recuerda: Para obtener una suma negativa y un producto positivo, los números deben ser ambos negativos.
De nuevo, piensa en FOIL y de dónde viene cada término en el trinomio. Al igual que antes,
- el primer término,\(x^2\), proviene del producto de los dos primeros términos en cada factor binomial, x e y;
- el último término positivo es producto de los dos últimos términos
- el término medio negativo es la suma de los términos externo e interno.
¿Cómo se obtiene un producto positivo y una suma negativa? Con dos números negativos.
Factor:\(t^{2}-11 t+28\)
- Contestar
-
Nuevamente, con el último término positivo, 28, y el término medio negativo, −11t, necesitamos dos factores negativos. Encuentra dos números que multiplican 28 y se suman a −11.
\(\begin{array} {ll} & t^{2}-11 t+28 \\ \text {Write the factors as two binomials with first terms } t & (t\qquad)(t\qquad)\end{array}\)
Encuentra dos números que: multiplicar a 28 y sumar a −11.
\(\begin{array} {ll} \text { Use }-4,-7 \text { as the last terms of the binomials. }& (t-4)(t-7) \\ \text { Check. } \\\\ \begin{array}{l}{(t-4)(t-7)} \\ {t^{2}-7 t-4 t+28} \\ {t^{2}-11 t+28}\checkmark\end{array}\end{array}\)Factores de 28 Suma de factores −1, −28 −1+ (−28) =−29 −2, −14 −2+ (−14) =−16 −4, −7 \(-4+(-7)=-11^{*}\)
Factor:\(u^{2}-9 u+18\)
Factor:\(y^{2}-16 y+63\)
Trinomios factoriales de la Forma x2+bx+c con c Negativo
Ahora bien, ¿y si el último término en el trinomio es negativo? Piensa en FOIL. El último término es producto de los últimos términos en los dos binomios. Un producto negativo resulta de multiplicar dos números con signos opuestos. Hay que tener mucho cuidado para elegir factores para asegurarse de obtener la señal correcta para el mediano plazo, también.
Recuerda: Para obtener un producto negativo, los números deben tener diferentes signos.
Factor:\(z^{2}+4 z-5\)
- Contestar
-
Para obtener un último término negativo, multiplique uno positivo y otro negativo. Necesitamos factores de −5 que se sumen a 4 positivos.
Factores de −5 Suma de factores 1, −5 1+ (−5) =−4 −1,5 −1+5=4* Aviso: Enumeramos tanto 1, −5 como −1,5 para asegurarnos de que tenemos el signo del término medio correcto.
\(\begin{array} {ll} &z^{2}+4 z-5 \\ \text { Factors will be two binomials with first terms z. }& (z\qquad)(z\qquad)\\ \text { Use }-1,5 \text { as the last terms of the binomials. } & (z-1)(z+5)\\ \text { Check. } & \\ \\ \begin{array}{l}{(z-1)(z+5)} \\ {z^{2}+5 z-1 z-5} \\ {z^{2}+4 z-5 }\checkmark\end{array} \end{array}\)
Factor:\(h^{2}+4 h-12\)
- Contestar
-
\((h-2)(h+6)\)
Factor:\(: 2^{2}+k-20\)
- Contestar
-
\((k-4)(k+5)\)
Hagamos un cambio menor al último trinomio y veamos qué efecto tiene sobre los factores.
Factor:\(z^{2}-4 z-5\)
- Contestar
-
Esta vez, necesitamos factores de −5 que se sumen a −4.
Factores de −5 Suma de factores 1, −5 1+ (−5) =−4* −1,5 −1+5=4 \(\begin{array} {ll} &z^{2}-4 z-5 \\ \text { Factors will be two binomials with first terms z. }& (z\qquad)(z\qquad)\\ \text { Use }1,-5 \text { as the last terms of the binomials. } & (z+1)(z-5)\\ \text { Check. } & \\ \\ \begin{array}{l}{(z+1)(z-5)} \\z^{2}-5 z+1 z-5 \\ z^{2}-4 z-5\checkmark\end{array} \end{array}\)
Factor:\(x^{2}-4 x-12\)
- Contestar
-
\((x+2)(x-6)\)
Factor:\(y^{2}-y-20\)
- Contestar
-
\((y+4)(y-5)\)
Factor:\(q^{2}-2 q-15\)
- Contestar
-
\(\begin{array} {ll} &q^{2}-2 q-15\\ \text { Factors will be two binomials with first terms q. }& (q\qquad)(q\qquad)\\ \text { You can use }3,-5 \text { as the last terms of the binomials. } & (q+3)(q-5)\\ \end{array}\)
Factores de −15 Suma de factores 1, −15 1+ (−15) =−14 −1,15 −1+15=14 3, −5 3+ (−5) =−2* −3,5 \(\begin{array}{ll}\text { Check. } & \\ \\ \begin{array}{l}{(q+3)(q-5)} \\q^{2}-5 q+3 z-15 \\ q^{2}-2q-15\checkmark\end{array} \end{array}\)
Factor:\(r^{2}-3 r-40\)
- Contestar
-
\((r+5)(r-8)\)
Factor:\(s^{2}-3 s-10\)
- Contestar
-
\((s+2)(s-5)\)
Algunos trinomios son primos. La única manera de estar seguro de un trinomio es prime es enumerar todas las posibilidades y demostrar que ninguna de ellas funciona.
Factor:\(y^{2}-6 y+15\)
- Contestar
-
\(\begin{array}{ll}&y^{2}-6 y+15 \\ \text { Factors will be two binomials with first } & (y \qquad)(y\qquad) \\\text { terms y. } \end{array}\)
Factores de 15 Suma de factores −1, −15 −1+ (−15) =−16 −3, −5 −3+ (−5) =−8 Como se muestra en la tabla, ninguno de los factores se suma a −6; por lo tanto, la expresión es prima.
Factor:\(m^{2}+4 m+18\)
- Contestar
-
prime
Factor:\(n^{2}-10 n+12\)
- Contestar
-
prime
Factor:\(2 x+x^{2}-48\)
- Contestar
-
\(\begin{array}{ll}&2 x+x^{2}-48 \\ \text { First we put the terms in decreasing degree order. } & x^{2}+2 x-48 \\ \text { Factors will be two binomials with first terms } x \text { . }& (x \qquad)(x\qquad) \end{array}\)
Como se muestra en la tabla, puede usar −6,8 como los últimos términos de los binomios.
\[(x-6)(x+8)\]
Factores de −48 Suma de factores −1,48 −1+48=47 −2,24
−3,16
−4,12
−6,8−2+24=22
−3+16=13
−4+12=8
−6+8=2\(\begin{array}{l}{\text { Check. }} \\ {(x-6)(x+8)} \\ {x^{2}-6 q+8 q-48} \\ {x^{2}+2 x-48}\checkmark \end{array}\)
Factor:\(9 m+m^{2}+18\)
- Contestar
-
\((m+3)(m+6)\)
Factor:\(-7 n+12+n^{2}\)
- Contestar
-
\((n-3)(n-4)\)
Resumamos el método que acabamos de desarrollar para factorizar trinomios de la forma\(x^{2}+b x+c\)
Cuando factorizamos un trinomio, miramos primero los signos de sus términos para determinar los signos de los factores binomiales.
\[\begin{array}{c}{x^{2}+b x+c} \\ {(x+m)(x+n)}\end{array}\]
Cuando c es positivo, m y n tienen el mismo signo.
\[\begin{array}{cc}{\text { b positive }} & {\text { b negative }} \\ {m, n \text { positive }} & {m, n \text { negative }} \\ {x^{2}+5 x+6} & {x^{2}-6 x+8} \\ {(x+2)(x+3)} & {(x-4)(x-2)} \\ {\text { same signs }} & {\text { same signs }}\end{array}\]
Cuando c es negativo, m y n tienen signos opuestos.
\[\begin{array}{cc}{x^{2}+x-12} & {x^{2}-2 x-15} \\ {(x+4)(x-3)} & {(x-5)(x+3)} \\ {\text { opposite signs }} & {\text { opposite signs }}\end{array}\]
Observe que, en el caso de que m y n tengan signos opuestos, el signo del que tiene el valor absoluto mayor coincide con el signo de b.
Trinomios Factoriales de la Forma x 2 + bxy + cy 2
A veces necesitarás factorizar trinomios de la forma\(x^{2}+b x y+c y^{2}\) con dos variables, como\(x^{2}+12 x y+36 y^{2}\). El primer término,\(x^2\), es producto de los primeros términos de los factores binomiales,\(x \cdot x\). El\(y^2\) en el último término significa que los segundos términos de los factores binomiales deben contener cada uno y. Para obtener los coeficientes b y c, se utiliza el mismo proceso resumido en el objetivo anterior.
Factor:\(x^{2}+12 x y+36 y^{2}\)
- Contestar
-
\(\begin{array}{ll }&x^{2}+12 x y+36 y^{2} \\ \text { Note that the first terms are } x, \text { last terms } &\left(x_{-} y\right)\left(x_{-} y\right) \\ \text { contain } y\end{array}\)
Encuentra los números que se multiplican a 36 y se suman a 12.
Factores de 36 Suma de factores 1, 36 1+36=37 2, 18 2+18=20 3, 12 3+12=15 4, 9 4+9=13 6, 6 6+6=12* \(\begin{array}{ll}{\text { Use } 6 \text { and } 6 \text { as the coefficients of the last terms. }} & (x+6 y)(x+6 y)\\ {\text { Check your answer. }}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}{(x+6 y)(x+6 y)} \\ {x^{2}+6 x y+6 x y+36 y^{2}} \\ {x^{2}+12 x y+36 y^{2}}\checkmark \end{array}\)
Factor:\(u^{2}+11 u v+28 v^{2}\)
- Contestar
-
\((u+4 v)(u+7 v)\)
Factor:\(x^{2}+13 x y+42 y^{2}\)
- Contestar
-
\((x+6 y)(x+7 y)\)
Factor:\(r^{2}-8 r s-9 s^{2}\)
- Contestar
-
Necesitamos\(r\) en el primer término de cada binomio y\(s\) en el segundo término. El último término del trinomio es negativo, por lo que los factores deben tener signos opuestos.
\(\begin{array}{ll }& r^{2}-8 r s-9 s^{2} \\ \text { Note that the first terms are } r, \text { last terms contain } s &\left(r_{-} s\right)\left(r_{-} s\right) \end{array}\)
Factores de −9 Suma de factores 1, −9 1+ (−9) =−8* −1,9 −1+9=8 3, −3 3+ (−3) =0 \(\begin{array}{ll}\text { Use } 1,-9 \text { as coefficients of the last terms. }&(r+s)(r-9 s)\\ {\text { Check your answer. }}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}{(r-9 s)(r+s)} \\ {r^{2}+r s-9 r s-9 s^{2}} \\ {r^{2}-8 r s-9 s^{2}} \checkmark \end{array}\)
Factor:\(a^{2}-11 a b+10 b^{2}\)
- Contestar
-
\((a-b)(a-10 b)\)
Factor:\(m^{2}-13 m n+12 n^{2}\)
- Contestar
-
\((m-n)(m-12 n)\)
Factor:\(u^{2}-9 u v-12 v^{2}\)
- Contestar
-
Necesitamos u en el primer término de cada binomio y v en el segundo término. El último término del trinomio es negativo, por lo que los factores deben tener signos opuestos.
\(\begin{array}{ll }& u^{2}-9 u v-12 v^{2} \\ \text { Note that the first terms are } u, \text { last terms contain } v &\left(u_{-} v\right)\left(u_{-} v\right) \end{array}\)
Encuentra los números que se multiplican a −12 y se suman a −9.
Factores de −12 Suma de factores 1, −12 1+ (−12) =−11 −1,12 −1+12=11 2, −6 2+ (−6) =−4 −2,6 −2+6=4 3, −4 3+ (−4) =−1 −3,4 −3+4=1 Tenga en cuenta que no hay pares de factores que nos den −9 como suma. El trinomio es primo.
Factor:\(x^{2}-7 x y-10 y^{2}\)
- Contestar
-
prime
Factor:\(p^{2}+15 p q+20 q^{2}\)
- Contestar
-
prime
Conceptos clave
- Trinomios factoriales de la forma\(x^{2}+b x+c\)
- Escribe los factores como dos binomios con primeros términos\(x\):\((x\qquad)(x\qquad)\)
- Encuentra dos números\(m\) y\(n\) que
Multiplicar a\(c\),\(m \cdot n=c\)
Agregar a\(b\),\(m+n=b\) - Uso\(m\) y\(n\) como los últimos términos de los factores:\((x+m)(x+n)\).
- Verificar multiplicando los factores.