2.3: Solución de Desigualdades Polinómicas por Grafiación

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En esta sección, combinaremos los conceptos de las dos secciones anteriores para resolver desigualdades polinomiales. En Sección$2.2,$ resolvemos ecuaciones graficando y encontrando los$x$ -valores que hicieron$y=0 .$ Al resolver una desigualdad, nos preocuparemos por encontrar el rango de$x$ valores que hacen mayor$y$ o menor que$0,$ dependiendo del problema dado.
Ejemplo
Resolver la desigualdad dada.
$2 x^{3}+8 x^{2}+5 x-3 \geq 0$
Primero, graficamos la función:
$clipboard_e3f8e47f913fd0e34106737c8e2343cf8.png$
Luego identificamos los intervalos de$x$ -valores que hacen que el$y$ valor sea mayor o igual a cero, como se indica en el problema.
$clipboard_e6b2909ccb26526cd094be44a912eed0f.png$
Las raíces indicadas de la función$(A, B \text { and } C)$ son los$x$ -valores que hacen$y$ igual a cero. Estos puntos dividen la gráfica entre las regiones donde$y$ es mayor que cero y las regiones donde$y$ es menor que cero. La solución a la inqulaidad dada$2 x^{3}+8 x^{2}+5 x-3 \geq 0$ son$\mathrm{A} \leq x \leq \mathrm{B}$ O$x \geq \mathrm{C}$
Cuando encontremos los valores de$\mathrm{A}, \mathrm{B}$$\mathrm{C}: \mathrm{A}=-3, \mathrm{B} \approx-1.366$ y y$\mathrm{C} \approx 0.366,$ podemos
completar la solución al problema.
$2 x^{3}+8 x^{2}+5 x-3 \geq 0$
$-3 \leq x \leq-1.366$O$x \geq 0.366$

Ejemplo
Resolver la desigualdad dada.
$x^{4}-2 x^{3}-5 x^{2}+8 x+3 \leq 0$
Primero, graficamos la función:
$clipboard_e0d1f896a2f4849e3bffdbc8dfefdf341.png$
En este problema, estamos buscando los intervalos de$x$ valores que hagan$y$ menor o igual a cero. Primero, identificamos las raíces de la función:
$clipboard_e1ec85eef24e411dee8323fc1cd74e19d.png$
A continuación, identificaremos los intervalos donde los$y$ valores son menores que cero:
$clipboard_e23c9b391486aa6db2497514cd64fa7d8.png$
Entonces, la solución a la desigualdad original es:
$x^{4}-2 x^{3}-5 x^{2}+8 x+3 \leq 0$
$-2.034 \leq x \leq-0.320$O$1.806 \leq x \leq 2.549$
En el siguiente ejemplo estaremos buscando identificar tanto los intervalos donde$y$ es mayor que cero, como los intervalos donde$y$ es menor que cero.

Ejemplo
Determine el intervalo o intervalos para los cuales$x^{3}+5 x^{2}+5 x+1 \geq 0$
Determine el intervalo o intervalos para los cuales$x^{3}+5 x^{2}+5 x+1<0$
Una vez más, comenzaremos graficando la función para encontrar las raíces:
$clipboard_e83e7f20222ec2c78613c50fea074f1cd.png$

Ahora que hemos identificado las raíces, podemos determinar dónde los$y$ valores son mayores que cero y dónde son menores que cero.

Para$y \geq 0,$ podemos ver que esto corresponde a:$-3.732 \leq x \leq-1$ O$x \geq-0.268$
Para$y<0,$ podemos ver que esto corresponde a:$x<-3.732 \mathrm{OR}-1<x<-0.268$

Ejercicios 2.3
1) Determinar el intervalo o intervalos para los cuales$x^{3}-4 x^{2}+2 x+3 \geq 0$
Determinar el intervalo o intervalos para los cuales$x^{3}-4 x^{2}+2 x+3<0$
2) Determinar el intervalo o intervalos para los cuales$4 x^{3}-4 x^{2}-19 x+10 \geq 0$
Determinar el intervalo o intervalos para los cuales$4 x^{3}-4 x^{2}-19 x+10<0$
3) Determinar los intervalos para los cuales$x^{3}-2.5 x^{2}-7 x-1.5 \geq 0$
Determine el intervalo o intervalos para los cuales$x^{3}-2.5 x^{2}-7 x-1.5<0$
4) Determine el intervalo o intervalos para los cuales$x^{3}-3.5 x^{2}+0.5 x+5 \geq 0$
Determine el intervalo o intervalos para los cuales$x^{3}-3.5 x^{2}+0.5 x+5<0$
5) Determine el intervalo o intervalos para los cuales$6 x^{4}-13 x^{3}+2 x^{2}-4 x+15 \geq 0$
Determine el intervalo o intervalos para los cuales$6 x^{4}-13 x^{3}+2 x^{2}-4 x+15<0$
6) Determine el intervalo o intervalos para los cuales$x^{4}-x^{3}-x^{2}+3 x-5 \geq 0$
Determine el intervalo o intervalos para los cuales$x^{4}-x^{3}-x^{2}+3 x-5<0$
7) Determine el intervalo o intervalos para los cuales$3 x^{4}+3 x^{3}-14 x^{2}-x+3 \geq 0$
Determine el intervalo o intervalos para los cuales cual$3 x^{4}+3 x^{3}-14 x^{2}-x+3<0$
8) Determinar el intervalo o intervalos para los cuales$4 x^{4}-4 x^{3}-7 x^{2}+4 x+3 \geq 0$
Determine el intervalo o intervalos para los cuales$4 x^{4}-4 x^{3}-7 x^{2}+4 x+3<0$

Determinar los intervalos que satisfacen cada desigualdad.
9)$\quad x^{3}+x^{2}-5 x+3 \leq 0$
10)$\quad x^{3}-7 x+6>0$
11)$\quad x^{3}-13 x+12>0$
12)$\quad x^{4}-10 x^{2}+9<0$
13)$\quad 6 x^{4}-9 x^{2}-4 x+12 \geq 0$
14)$\quad x^{4}-5 x^{3}+20 x-16>0$
15)$\quad x^{3}-2 x^{2}-7 x+6 \leq 0$
16)$\quad x^{4}-6 x^{3}+2 x^{2}-5 x+2 \leq 0$
17)$\quad 2 x^{4}+3 x^{3}-2 x^{2}-4 x+2>0$
18) $\quad x^{5}+5 x^{4}-4 x^{3}+3 x^{2}-2 \leq 0$

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