1.5: Números decimales

Considera el número\(23.7456\). Cada dígito ocupa un 'lugar”. El 2 está en el lugar de las decenas, los tres en el lugar uno, el 7 en el décimo lugar, el 4 en el lugar de las centésimas, el 5 en el lugar de las milésimas, y el 6 en el lugar de las diez milésimas. ¿Por qué? Porque:

\[23.7456=2 \cdot 10+3 \cdot 1+7 \cdot \frac{1}{10}+4 \cdot \frac{1}{100}+5 \cdot \frac{1}{1000}+6 \cdot \frac{1}{10,000}\nonumber\]

Redondeo

El redondeo se asocia con cortar o truncar un número, y que el redondeo compensa la cola perdida del número. Por ejemplo, para redondear un número dado a la décima más cercana, miramos un dígito a la derecha del lugar de las décimas (el lugar de las centésimas) y si es mayor o igual a 5, agregamos uno al lugar de las décimas y quitamos todos los dígitos a la derecha, de lo contrario dejamos los décimos lugar como es y eliminamos todos los dígitos a la derecha.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

1. 234.45 redondeado al diez más cercano es 230.
2. 45.6 redondeado a los más cercanos (número entero) es 46.
3. 34.555 redondeado al décimo más cercano es 34.6.
4. 34.54 redondeado al décimo más cercano es 34.5.
5. 34.95 redondeado al décimo más cercano es 35.0.
6. 34.554 redondeado a la centésima más cercana es 34.55.
7. 56.7874778 redondeado a la diezmilésima más cercana es 56.7875

Sumando y restando números decimales

Para sumar decimales, alineamos los decimales, y donde quiera que falte un dígito, lo rellenamos con un cero. Por ejemplo, agregue 45.23 y 2.3:

\ [\ begin {array} {rrrrr}
4 & 5 &. & 2 & 3\\
+ & 2 &. & 3 & 0\\
\ hline 4 & 7 &. & 5 & 3
\ end {array}\ nonumber\]

Restar es similar. Para restar 45.23 de 2.3 primero señalamos que la respuesta debe ser negativa y proceder a restar 2.3 de 45.23:

\ [\ begin {array} {lllll}
4 & 5 &. & 2 & 3\\
- & 2 &. & 3 & 0\\
\ hline 4 & 2 &. & 9 & 3
\ end {array}\ nonumber\]

Entonces, la respuesta de\(2.3-45.23=-42.93\)

Ejemplo 3.2

1. \(2.4+32.032=34.432\)
2. \(3.44+12.035=15.475\)
3. \(34.3-0.05=34.25\)
4. \(6.3-9.72=-3.42\)

Multiplicar y dividir números decimales

Multiplicando y Dividiendo los Números Decimales por 10, 100, 1000,.

Primero nos fijamos en la multiplicación especial de decimales por 10, 100, 1000,.

\[\begin{align*} 12.415 &\times 10 &=124.15 \\ 12.415 &\times 100 &=1241.5 \\ 12.415 &\times 1000 &=12415 \end{align*} \nonumber\]

Cuando multiplicamos por 10 movemos el punto decimal a la derecha un lugar (porque 10 tiene una posición decimal). Multiplicando por 100 mueve el punto decimal dos lugares (porque 100 tiene dos decimales), etc.

\ (\ begin {array} {l}
12.415\ div 10=1.2415\\
12.415\ div 100=0.12415\\
12.415\ div 1000=0.012415
\ end {array}\)

Cuando dividimos por 10 movemos el punto decimal a la izquierda un lugar (porque 10 tiene una posición decimal). Dividiendo por 100 mueve el punto decimal a la izquierda dos lugares (porque 100 tiene dos decimales), etc.

\(10^{n}\) notation

\ [\ begin {array} {l}
10=10^ {1}\\
100=10\ times 10=10^ {2}\\
1000=10\ times 10\ times 10=10^ {3}
\ end {array}\ nonumber\]

¡Observe que el exponente de 10 en\(10^{n}\) notación refleja el número de ceros! Entonces,\(10000=10^{4}(4 \text { zeros, exponent is } 4)\) y\(100,000=10^{5}, \ldots\)

Multiplicando por\(10^{n}\)

Multiplicar un número decimal por\(10^{n}\) mueve los\(n\) puntos decimales hacia la derecha. Por ejemplo:

\ [\ begin {array} {l}
5.435\ times 10=54.35\\
5.435\ times 100=543.5\\
5.435\ times 10000=54350
\ end {array}\ nonumber\]

Multiplicar números decimales

Para multiplicar dos números decimales, multiplicamos como si no hubiera un punto decimal, luego colocamos un punto decimal como se describe en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3.3

Multiplicar 5.4 por 1.21.

Solución

\ (\ begin {array} {rrrr}
& & 1 & 2 & 1\\
\ times & & & & & 5 & 4\
\ hline & & 4 & 8 & 4\\
& 6 & 0 & 5 & 0\
\ hline & 6 & 5 & 5 & 3 & 4
\ end {array}\)

Ahora bien, para escribir la respuesta, notamos que hay dos dígitos después del punto decimal en el primer número\(1.21,\) y un dígito después del punto decimal en el segundo número\(5.4 .\) El producto entonces debería tener 3 dígitos después del punto decimal. Entonces,\(5.4 \times 1.21=6.534\)

Ejemplo 3.4

Multiplica 3.72 por 13.

Solución

\ (\ begin {array} {rrrr}
& & 3 & 7 & 2\\
\ times & & & & & 1 & 3
\\ hline & 1 & 1 & 1 & 6\\
& 3 & 7 & 2 & 0\
\ hline & 4 & 8 & 3 & 6
\ end {array}\)

Ahora bien, para escribir la respuesta, notamos que hay dos dígitos después del punto decimal en 3.72 mientras que 13 no tiene parte decimal. El producto entonces debe tener 2 dígitos después del punto decimal:\(3.72 \times 13=48.36\)

Dividir números decimales

Dividir un número decimal es muy parecido a dividir un número entero, excepto que se usa la posición del punto decimal en el dividendo para determinar los lugares decimales en el resultado.

Ejemplo 3.5

1. \(6.5 \div 2\)
2. \(55.318 \div 3.4\)

Solución

a) Dividir como de costumbre:

Si el divisor no entra en el dividendo de manera uniforme, agregue ceros a la derecha del último dígito del dividendo y continúe hasta que el resto sea 0, o aparezca un patrón repetitivo. Coloque la posición del punto decimal en su respuesta directamente por encima del punto decimal en el dividendo.

b)

Si el divisor no es un número entero, mueva el punto decimal en el divisor todo el camino hacia la derecha (para que sea un número entero). Después mueve el punto decimal en el dividendo el mismo número de lugares.

En este ejemplo, mueva el punto decimal un lugar a la derecha para el divisor de 3.4 a\(34 .\) Por lo tanto, mueva también el punto decimal un lugar a la derecha para el dividendo, de 55.318 a 553.18.

Conversión de decimales a fracciones

Convertir un decimal a una fracción es tan sencillo como reconocer el lugar del dígito más a la derecha.

Ejemplo: Tenga en cuenta que en el número\(2.45,\) el dígito más a la derecha 5 está en el lugar centésimas así\(2.45=\frac{245}{100}=\frac{49}{20}\) o\(2 \frac{9}{20}\)

Ejemplo 3.6

Aquí hay algunos ejemplos más:

1. \(1.2=\frac{12}{10}=\frac{6}{5}\)o\(1 \frac{1}{5}\)
2. \(0.0033=\frac{33}{10,000}\)
3. \(0.103=\frac{103}{1000}\)

Conversión de fracciones a decimales

Para convertir una fracción a un decimal simplemente se realiza la división larga.

Ejemplo 3.7

Convertir la fracción dada a un decimal:

1. \(\frac{4}{5}=4 \div 5=0.8\)
2. \(3 \frac{4}{5}=3+4 \div 5=3.8\)
3. \(\frac{13}{2}=6 \frac{1}{2}=6+1 \div 2=6.5\)
4. (ronda a la décima más cercana)\(\frac{3}{7}=3 \div 7=0.42857 \cdots \approx 0.4\)

Convertir decimales a porcentajes y porcentajes a decimales

“Por ciento” viene del latín y significa por cien. Usamos el signo\% para Por ejemplo, si sabes que\(25 \%\) de los estudiantes hablan español con fluidez, significa que 25 de cada 100 estudiantes hablan español fluido. Presentada como fracción, sería\(\frac{25}{100}\) y como decimal 0.25.

Ejemplo 3.8

Convertir el porcentaje dado a fracción y luego a un decimal:

1. \(17 \%\)es\(\frac{17}{100}=0.17\)
2. \(31 \%\)es\(\frac{31}{100}=0.31\)
3. \(23.44 \%\)es\(\frac{23.44}{100}=0.2344\)

Ejemplo 3.9

Convertir el decimal dado a una fracción y luego a porcentaje:

1. \(0.55=\frac{55}{100}\)que es\(55 \%\)
2. \(8.09=\frac{809}{100}\)que es\(809 \%\)
3. \(98.08=\frac{9808}{100}\)que es\(9808 \%\)
4. \(0.5=\frac{50}{100}\)que es\(50 \%\)

Problema de salida

Dividir:\(782.56 \div 3.2\)