1.6: Evaluar expresiones

Si una familia paga\(\$ 30\) por línea telefónica, y\(\$ 20\) por\(1 G B\) datos, por mes a un proveedor de servicios telefónicos, podemos escribir una expresión matemática para representar el costo que esta familia paga por mes.

Vamos\(x\) a usar para representar el número de líneas telefónicas que tiene la familia, y\(y\) para representar el número\(G B\) de datos que utiliza la familia. Entonces\(30 x+20 y\) es una expresión matemática que representa el costo de los servicios telefónicos familiares por mes.

\(30 x+20 y\)es una expresión algebraica. Una expresión matemática que consiste en variables, números y operaciones algebraicas se denomina expresión algebraica.

Cada expresión algebraica puede contener varios términos. Por ejemplo, la expresión anterior contiene dos términos:\(30 x\) y\(20 y .\) El factor numérico de cada término se denomina coeficiente. Los coeficientes de los términos anteriores son\(30\) y\(20,\) respectivamente. Al considerar un término variable, vemos que está compuesto por un coeficiente numérico y una parte variable. En el término\(30 x\) el coeficiente numérico es 30 y la parte variable es\(x\).

El valor de una expresión algebraica puede variar. Por ejemplo, el valor de la expresión anterior puede variar dependiendo del número de líneas telefónicas y del número\(\mathrm{GB}\) de datos que utilice la familia.

Si\(x=2\) (la familia usa 2 líneas), y\(y=3\) (la familia usa\(3 G B\) datos), entonces el costo de los servicios de teléfono familiar es\(30 \cdot 2+20 \cdot 3=\$ 120\) para este mes.

Si\(x=4,\) y\(y=2,\) entonces el costo de los dispositivos telefónicos familiares es\(30 \cdot 4+20 \cdot 2=\)\(\$ 160\) para este mes.

Encontrar el valor de las expresiones cuando las variables son sustituidas por valores dados se llama evaluar una expresión algebraica.

Ejemplo 4.1

La expresión algebraica\(5 x^{3} y-2 y^{2}-z+4,\) que escribimos usando solo suma como\(5 x^{3} y+\left(-2 y^{2}\right)+(-z)+4,\) contiene cuatro términos:\(5 x^{3} y,-2 y^{2},-z\) y\(+4\). Los tres primeros términos son términos variables y el 4 es el término constante. Observe que el coeficiente de\(-z\) es\(-1,\) y solemos escribir\(-1 z .\) en\(-z\) lugar de De la misma manera, si el coeficiente es\(1,\) solemos omitirlo.

Este proceso de encontrar el valor de una expresión algebraica para valores particulares de sus variables se llama evaluar una expresión.

Evaluar una expresión

1. Reemplazar cada variable por el valor numérico dado.
2. Simplifica la expresión resultante. Tenga cuidado de seguir el orden de las operaciones.

Consejo útil: Al evaluar una expresión variable que contiene una barra de fracciones, no olvide calcular el numerador y el denominador por separado (teniendo cuidado de seguir el orden de las operaciones mientras lo hace); finalmente, divide el numerador por el denominador.

Ejemplo 4.2

Evaluar si\(a=1, b=2, c=4,\) y\(d=-1:\)

a)\ (\ begin {array} {l}
8 b\\
=8 (2)\\
=16
\ end {array}\)

b)\ (\ begin {array} {l}
a+c\\
=1+4\\
=5
\ end {array}\)

c)\ (\ begin {array} {l}
a-d\\
=1- (-1)\\
=1+1\\
=2
\ end {array}\)

d)\ (\ begin {array} {l}
5 a b\\
=5 (1) (2)\\
=10
\ end {array}\)

e)\ (\ begin {array} {l}
\ frac {d+a} {b}\\
=\ frac {(-1) +1} {2}\\
=\ frac {0} {2}\\
=0
\ end {array}\)

f)\ (\ begin {array} {l}
\ frac {7 b+c} {a-d}\\
=\ frac {7 (2) +4} {1- (-1)}\\
=\ frac {14+4} {1+1}\\
=\ frac {18} {2}\\
=9
\ end {array}\)

Ejemplo 4.3

Evaluar si\(a=-3, b=5, c=-2,\) y\(d=7:\)

a)\ (\ begin {array} {l}
4 c-2 b\\
=4 (-2) -2 (5)\\
=-8-10\\
=( -8) + (-10)\\
=-18
\ end {array}\)

b)\ (\ begin {array} {l}
b^ {2} +b\\
=5^ {2} +5\\
=25+5\\
=30
\ end {array}\)

c)\ (\ begin {array} {l}
3 c^ {2}\\
=3 (-2) ^ {2}\\
=3 (4)\\
=12
\ end {array}\)

d)\ (\ begin {array} {l}
(c+a)\ izquierda (c^ {2} -a c+a^ {2}\ derecha)\\
=( (-2) + (-3))\ izquierda ((-2) ^ {2} - (-3) (-2) + (-3) ^ {2}\ derecha)\\
=( -5) (4- (-3) (-2) +9)\\
=( -5) (4-6+9)\\
=( -5) (7)\\
=-35
\ end {array}\)

e)\ (\ begin {array} {l}
4 b+5 d-\ frac {c} {a}\\
=4 (5) +5 (7) -\ frac {(-2)} {(-3)}\\
=4 (5) +5 (7) -\ frac {2} {3}\\
=20+35-\ frac {2} {3}\\
=\ frac {60} {3} +\ frac {105} {3} -\ frac {2} {3}\\
=\ frac {60+105-2} {3}\\
=\ frac {163} {3}\\
=54\ frac {1} {3}
\ end {array}\)

f)\(-d^{2}=-(7)^{2}=-49\)

Aplicación

Aquí hay algunas aplicaciones que provienen de la geometría.

Ejemplo 4.4

a) Encontrar el perímetro de un rectángulo con largo\(33 \mathrm{cm}\) y ancho\(17 \mathrm{cm}\).

\ (\ begin {align*}
P &=2 l+2 w\\
&=2 (33\ mathrm {cm}) +2 (17\ mathrm {cm})\\
&=66\ mathrm {cm} +34\ mathrm {cm}\\
&=100\ mathrm {cm}
\ end {align*}\)

b) Encontrar el área de un rectángulo que sea\(12 \mathrm{cm}\) largo y\(16 \mathrm{cm}\) ancho.

\ (\ begin {alinear*}
A &=l\ cdot w\\
&=12\ mathrm {cm}\ cdot 16\ mathrm {cm}\\
&=192\ mathrm {cm} ^ {2}
\ end {alinear*}\)

c) Encontrar el área de un triángulo con altura de\(20 \mathrm{in}\) y una base de\(30 \mathrm{in}\).

\ (\ begin {align*}
A &=\ frac {1} {2} b\ cdot h\\
&=\ frac {1} {2} 20\ mathrm {in}\ cdot 30\ mathrm {in}\\
&=300\ mathrm {in} ^ {2}
\ end {align*}\)

d) Encuentra el área de un círculo con radio\(7 \mathrm{cm},\) alrededor de tu respuesta a la décima más cercana.

\ (\ begin {align*}
A &=\ pi r^ {2}\\
&=\ pi (7\ mathrm {cm}) ^ {2}\\
&\ aprox 3.14\ cdot 49\ mathrm {cm} ^ {2}\
&=153.86\ mathrm {cm} ^ {2}\\
&\ aproximadamente 153.9\ mathrm {cm} ^ {2} final
\ {alinear*}\)

Problema de salida

Evaluar si\(a=-2:-3 a^{2}-4 a-16\)