1.7: Propiedades de los Exponentes

Propiedades de multiplicación

Recordemos del capítulo 1 que\(5^{3}=5 \cdot 5 \cdot 5 .\) De la misma manera tenemos

\[x^{3}=x \cdot x \cdot x\nonumber\]

Ejemplo 5.1

Realizar las operaciones dadas:

1. \(x^{3} \cdot x^{5}=\underbrace{x \cdot x \cdot x}_{=x^{3}} \cdot \underbrace{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x}_{=x^{5}}=x^{8}\)
2. \(\left(x^{3}\right)^{4}=x^{3} \cdot x^{3} \cdot x^{3} \cdot x^{3}=\underbrace{x \cdot x \cdot x} \cdot x \cdot x \cdot x \cdot \cdot \underbrace{x \cdot x \cdot x} \cdot x \cdot x \cdot x=x^{12}\)
3. \((x \cdot y)^{4}=\underbrace{x \cdot y} \cdot \underbrace{x \cdot y} \cdot \underbrace{x \cdot y} \cdot \underbrace{x \cdot y}=x^{4} y^{4}\)

Podemos resumir estos ejemplos en las siguientes reglas útiles:

Reglas de multiplicación y exponenciación

Para cualquier número entero\(n\) y\(m\)

1. \(x^{n} x^{m}=x^{n+m}\)
2. \((x^{n})^{m}=x^{n-m}\)
3. \((x y)^{n}=x^{n} y^{n}\)

Ejemplo 5.2

Realiza la operación dada usando las propiedades de multiplicación de los exponentes y escribe tu respuesta en la forma más simple:

1. \(b^{2} \cdot b^{3}=b^{2+3}=b^{5}\)(recordar el significado de los exponentes)
2. \(x^{8} x^{7}=x^{8+7}=x^{15}\)(tenga en cuenta que la yuxtaposición indica multiplicación)
3. \(a^{8} a^{9} a^{14}=a^{8+9+14}=a^{31}\)
4. \(4 x^{4} \cdot 7 x^{6}=(4 \cdot 7)\left(x^{4} \cdot x^{6}\right)=28 x^{10}\)
5. \(5 x y^{3} \cdot 6 y=(5 \cdot 6)(x)\left(y^{3} \cdot y\right)=30 x y^{4}\)
6. \(\left(5 x^{4} y^{2}\right)\left(2 x^{7} y^{3}\right)=10 x^{4+7} y^{2+3}=10 x^{11} y^{5}\)
7. \((2 x)^{3}=2^{3} x^{3}=8 x^{3}\)
8. \(\left(-4 a^{2} b^{5}\right)^{3}=(-4)^{3} a^{2 \cdot 3} b^{5-3}=-64 a^{6} b^{15}\)
9. \(\begin{align*}\left(-5 r^{3} s\right)^{2} \cdot\left(2 r^{4} s^{3}\right)^{3} \cdot\left(-r^{2} s^{2}\right) &=(-5)^{2} r^{3-2} s^{2} \cdot 2^{3} r^{4 \cdot 3} s^{3-3} \cdot(-1) r^{2} s^{2} \\&=25 r^{6} s^{2} \cdot 8 r^{12} s^{9} \cdot(-1) r^{2} s^{2} \\&=-200 r^{20} s^{13}\end{align*}\)

Propiedades de División

Ejemplo 5.3

1. \(\dfrac{x^{5}}{x^{3}}=\dfrac{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x}{x \cdot x \cdot x}=\dfrac{x \cdot x}{1}=\dfrac{x^{2}}{1}=x^{2}\)
2. \(\dfrac{x^{3}}{x^{5}}=\dfrac{x \cdot x \cdot x}{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x}=\dfrac{1}{x \cdot x}=\dfrac{1}{x^{2}}\)
3. \(\left(\dfrac{x}{y}\right)^{5}=\dfrac{x}{y} \cdot \dfrac{x}{y} \cdot \dfrac{x}{y} \cdot \dfrac{x}{y} \cdot \dfrac{x}{y}=\dfrac{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x}{y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y}=\dfrac{x^{5}}{y^{5}}\)

Podemos resumir estos ejemplos en las siguientes reglas útiles:

Reglas de División

Para cualquier número entero\(n\) y\(m\)

1. \(\dfrac{x^{n}}{x^{m}}=x^{n-m}\)
2. \(\left(\dfrac{x}{y}\right)^{n}=\dfrac{x^{n}}{y^{n}}\)

Ejemplo 5.4

Realiza la operación dada usando las propiedades de división de los exponentes y establece tu respuesta en la forma más simple:

1. \(\dfrac{b^{8}}{b^{7}}=b^{8-7}=b^{8+(-7)}=b^{1}=b\)
2. \(\dfrac{x^{12} y^{2}}{x^{8} y}=x^{12-8} y^{2-1}=x^{12+(-8)} y^{2+(-1)}=x^{4} y^{1}=x^{4} y\)
3. \(\dfrac{8 x^{6} y^{2}}{6 x^{5} y^{7}}=\dfrac{4 x^{6-5}}{3 y^{7-2}}=\dfrac{4 x^{1}}{3 y^{5}}=\dfrac{4 x}{3 y^{5}}\)
4. \(\dfrac{\left(m^{2}\right)^{3}\left(n^{4}\right)^{5}}{\left(m^{3}\right)^{3}}=\dfrac{m^{6} n^{20}}{m^{9}}=\dfrac{n^{20}}{m^{3}}\)
5. \(\left(\dfrac{3 a^{2} b^{4}}{9 c^{3}}\right)^{2}=\left(\dfrac{a^{2} b^{4}}{3 c^{3}}\right)^{2}=\dfrac{a^{2 \cdot 2} b^{4 \cdot 2}}{3^{2} c^{3 \cdot 2}}=\dfrac{a^{4} b^{8}}{9 c^{6}}\)Otra forma de simplificar esto correctamente es esta:\(\left(\dfrac{3 a^{2} b^{4}}{9 c^{3}}\right)^{2}=\dfrac{3^{2} a^{2 \cdot 2} b^{4 \cdot 2}}{9^{2} c^{3 \cdot 2}}=\dfrac{9 a^{4} b^{8}}{81 c^{6}}=\dfrac{a^{4} b^{8}}{9 c^{6}}\)

Exponente Cero

Recordemos del capítulo 1 que\((-7)^{0}=1\) y\(8^{0}=1 .\) De la misma manera tenemos\(x^{0}=1\)

Exponente Cero

\[a^{0}=1 \nonumber\]

Ejemplo 5.5

Evaluar

1. \(15^{0}=1\)
2. \((-15)^{0}=1\)
3. \(-15^{0}=-1\)
4. \((15 x)^{0}=1\)
5. \(15 x^{0}=15 \cdot 1=15\)

Exponentes negativos

Exponentes negativos

Para cualquier entero\(n\)

1. \(a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}\)
2. \(\dfrac{1}{a^{-n}}=a^{n}\)
3. \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}\)

Nota 5.6. Las reglas de exponente negativo se pueden usar para cambiar términos de numerador a denominador o viceversa, y es útil para escribir expresiones usando solo exponentes positivos.

Ejemplo 5.7

1. \(\dfrac{x^{-3} y^{2}}{z^{4}}=\dfrac{y^{2}}{x^{3} z^{4}}\)
2. \(\dfrac{x^{4}}{y^{-5} z^{2}}=\dfrac{x^{4} y^{5}}{z^{2}}\)

Ejemplo 5.8

Realiza la operación dada y escribe tu respuesta usando solo exponentes positivos

1. \(\dfrac{x^{4} y^{2}}{x^{3} y^{-3}}=x^{4-3} y^{2-(-3)}=x^{4+(-3)} y^{2+3}=x y^{5}\)
2. \(\left(x^{2} y\right) \cdot\left(x y^{-4}\right)=x^{2+1} y^{1+(-4)}=x^{3} y^{-3}=\dfrac{x^{3}}{y^{3}}\)

Probelm de salida

Simplificar:\(\left(\dfrac{8 y}{3 x^{3}}\right)^{3}\)