1.9: Polinomios

Un polinomio es una suma de monomios. Entonces, expresiones como:

\[x^{2}+3 x+7\nonumber\]

\[-2 x^{3}+4 x^{2}-5 x+2\nonumber\]

\[x+x^{2}\nonumber\]

\[-4 x^{3}\nonumber\]

\[x^{2} y+\dfrac{x y z^{2}}{6}-8 y^{2} z^{2}\nonumber\]

son ejemplos de polinomios. Sin embargo, los siguientes no son polinomios:

\[\dfrac{x^{2}+3 x+4}{x+5}\nonumber\]

\[\dfrac{2 x^{2} y z^{3}}{-x y^{2}}\nonumber\]

\[-4 x \sqrt{6 x}\nonumber\]

El grado de un polinomio es la potencia más alta de la (s) variable (s) que tiene un coeficiente distinto de cero.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

El grado de\(-2 x^{3}+4 x^{2}-5 x+2\) es\(3\).

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Determinar si la expresión dada es un polinomio y si es así, encuentra su grado.

a)\(5 x^{3}+4 x^{2}-3 x+7\)

Se trata de un polinomio de grado 3.

b)\(\dfrac{2}{x^{2}+3 x-4}\)

Esto no es un polinomio.

c)\(2 x^{3}+5 x^{4}+3 x-8\)

Se trata de un polinomio de grado 4.

d)\(6.2 \times 10^{-5} x^{8}\)

Se trata de un polinomio de grado 8.

Un polinomio con un término se llama monomio. Por ejemplo,\(2 a^{5}\) y\(-3 x y^{2}\) son monomios. Un polinomio con dos términos se llama binomio. \(5 x^{2}+3 x\)es un ejemplo de binomio. Un polinomio con tres términos se llama trinomio. \(3 x^{2}+5 x-1\)es un trinomio. Tiene tres términos:\(3 x^{2}, 5 x\) y -1

Así como hicimos en el capítulo 4 al evaluar expresiones, también podemos evaluar polinomios.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Evaluar el polinomio dado en el valor dado de la (s) variable (s):

1. \(3 x+7\)cuando\(x=2\):\[3(2)+7=6+7=13 \nonumber\]
2. \(x^{2}+3 x+2\)cuando\(x=5\):\[(5)^{2}+3(5)+2=25+15+2=42 \nonumber\]
3. \(2 x^{3}+4 x^{2}-3 x\)cuando\(x=-2\):\[2(-2)^{3}+4(-2)^{2}-3(-2)=2(-8)+4(4)-(-6)=-16+16+6=6 \nonumber\]
4. \(-4 x^{7}-3 x^{4}\)cuando\(x=-1\):\[-4(-1)^{7}-3(-1)^{4}=-4(-1)-3(1)=4-3=1 \nonumber\]
5. \(2 x^{2} y-5 x^{3} y^{2}\)cuándo\(x=-3\) y\(y=2\):

\ [\ begin {align*}
2 (-3) ^ {2} (2) -5 (-3) ^ {3} (2) ^ {2} &=2 (9) (2) -5 (-27) (4)\\
&=18 (2) +135 (4)\\
&=36+540\\
&=576
\ end {align*}\]

Notación de funciones

Un tipo específico de notación, llamada notación de función, se puede utilizar para representar polinomios. Esta notación utiliza una letra (el nombre de la función) y la variable a mano (por ejemplo,\(x .)\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

1. \(f(x)=3 x+7\)representa el polinomio\(3 x+7\) como una función llamada\(f\). El\(x\) in\(f(x)\) es para indicar que la variable en el polinomio es\(x\).
2. \(g(x)=x^{2}+3 x+2\)representa el polinomio\(x^{2}+3 x+2\) como una función llamada\(g \). Nuevamente, el\(x\) in\(g(x)\) es para indicar que la variable en el polinomio es\(x\).
3. \(f(x, y)=2 x^{2} y-5 x^{3} y^{2}\)representa el polinomio\(2 x^{2} y-5 x^{3} y^{2}\) como una función llamada\(f \). El\(x\) y\(y\) en\(f(x, y)\) son para indicar que las variables en el polinomio son\(x\) y\(y\).

Aprenderás sobre funciones y notación de funciones en una clase de pre-cálculo, pero, aquí usamos la notación porque facilita pedir evaluar un polinomio a un valor dado de la (s) variable (s), como vimos en el Ejemplo 7.3.

Entonces, por ejemplo, encontrar\(f(2)\) cuándo\(f(x)=3 x+7\) está pidiendo evaluar el polinomio\(3 x+7\) cuándo\(x=2 \). Entonces,\(f(2)=3 \cdot 2+7=13\).

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

\(f(x)=x^{2}-1\). Encuentra\(f(-3)\)

Solución

\[f(-3)=(-3)^{2}-1=9-1=8 \nonumber\]

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

\(g(x)=-3 x^{3}+5 \). Encontrar\(g(-2)\).

Solución

\[g(-2)=-3 \cdot(-2)^{3}+5=-3 \cdot(-8)+5=24+5=29 \nonumber\]

Problema de salida

Evaluar\(f(-1)\) para la función\(f(x)=-2 x^{3}+3 x^{2}-x\)