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LibreTexts Español

1.10: Sumando y restando expresiones polinómicas

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    108623
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Los polinomios se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir. Al sumar o restar, solo podemos combinar términos que sean como términos.

    ¿Cuáles son los términos?

    Considera la expresión

    \[5 x^{4} y^{2}+6 x^{3} y-7 y^{2} x^{4}\nonumber\]

    Primero, reescribimos la expresión dada usando solo la adición:

    \[5 x^{4} y^{2}+6 x^{3} y+\left(-7 y^{2} x^{4}\right)\nonumber\]

    Aquí los términos son:\(5 x^{4} y^{2}, 6 x^{3} y,\) y\(-7 y^{2} x^{4}\). Se agregan los términos para obtener la expresión.

    Dos términos son “a diferencia” o “como”.

    Términos Me gusta

    Los términos similares son términos que tienen los mismos exponentes en las mismas variables.

    Por ejemplo, en la expresión anterior\(5 x^{4} y^{2}\) y\(-7 y^{2} x^{4}\) son como términos ya que\(y\) tiene el mismo exponente (2) y el\(x\) tiene el mismo exponente (4). Por otro lado,\(5 x^{4} y^{2}\) y\(6 x^{3} y^{2}\) son términos distintos ya que\(x^{4}\) aparece en el primer término pero\(x^{3}\) aparece en el segundo.

    Ejemplo 8.1

    Considera la expresión:

    \(-2 x^{5} y^{2}-5 x^{4} y^{2}+6 x^{5} y^{2}\)

    Solución

    Los términos similares son:\(-2 x^{5} y^{2}\) y\(6 x^{5} y^{2}\).

    Agregar o restar términos similares

    Agregar o restar términos similares

    Sólo podemos sumar o restar términos similares, y, lo hacemos sumando o restando sus coeficientes.

    Ejemplo 8.2

    \(-2 x^{5} y^{2}+6 x^{5} y^{2}=4 x^{5} y^{2}\)para que nuestra expresión en el ejemplo anterior se pueda simplificar:

    \[-2 x^{5} y^{2}-5 x^{4} y^{2}+6 x^{5} y^{2}=4 x^{5} y^{2}-5 x^{4} y^{2}\nonumber\]

    Ahora, sumemos y restemos polinomios.

    Ejemplo 8.3

    Sumar o restar los polinomios.

    a)\ (\ comenzar {alinear*}
    \ izquierda (3 x^ {2} +5 x+6\ derecha) +\ izquierda (4 x^ {2} +3 x-8\ derecha) &=3 x^ {2} +5 x+6+4 x^ {2} +3 x-8\\
    &=7 x^ {2} +8 x-2
    \ end {align*}\)

    b)\ (\ comenzar {alinear*}
    \ izquierda (x^ {4} -2 x^ {3} +6 x\ derecha) +\ izquierda (5 x^ {3} +2 x^ {2} +9 x+4\ derecha) &=x^ {4} -2 x^ {3} +6 x+5 x^ {3} +2 x^ {2} +9 x+4\\
    &=x^ {4} +3 ^ {3} +2 x^ {2} +15 x+4
    \ final {alinear*}\)

    c)\ (\ comenzar {alinear*}
    \ izquierda (2 a b^ {2} -3 a^ {2} -7 a b\ derecha) +\ izquierda (-a^ {2} -5 a^ {2} b\ derecha) &=2 a b^ {2} -3 a^ {2} -7 a b-a^ {2} -5 a^ {2} b\
    &=2 a b^ {2} -4 a^ {2} -7 a b-5 a^ {2} b
    \ end {alinear*}\)

    Nota: Arriba, los únicos términos similares que se pueden combinar son\(-3 a^{2}\) y\(-a^{2}\) Los términos restantes no se pueden combinar más.

    d)\ (\ comenzar {alinear*}
    \ izquierda (3 x^ {2} +5 x+6\ derecha) -\ izquierda (4 x^ {2} +3 x-8\ derecha) &=3 x^ {2} +5 x+6-4 x^ {2} -3 x+8\\
    &=-x^ {2} +2 x+14
    \ end {align*}\)

    Nota: Al quitar el paréntesis al restar se cambia el signo para todos los términos del polinomio que se está restando.

    e)\ (\ comenzar {alinear*}
    (5 m+3 n) - (7 m+2 n) &=5 m+3 n-7 m-2 n\\
    &=-2 m+n
    \ final {alinear*}\)

    f) Restar\(4 a^{2}-5 a\) de\(6 a+4\).

    \ (\ comenzar {alinear*}
    (6 a+4) -\ izquierda (4 a^ {2} -5 a\ derecha) &=6 a+4-4 a^ {2} +5 a\\
    &=-4 a^ {2} +11 a+4
    \ final {alinear*}\)

    Nota: Restar\(4 a^{2}-5 a\) de\(6 a+4\) requiere escribir\(6 a+4\) primero, y luego\(4 a^{2}-5 a\) restarlo. ¡Revertir el orden produciría una respuesta equivocada!

    g) Restar\(-3 q+4 p q-2 p\) de\(-9 p\).

    \ (\ begin {alinear*}
    -9 p- (-3 q+4 p q-2 p) &=-9 p+3 q-4 p q+2 p\\
    &=-7 p+3 q-4 p q
    \ end {alinear*}\)

    Problema de salida

    Simplificar:\(\left(9 m^{2} n-15 m n^{2}\right)-\left(3 m n^{2}+2 m^{2} n\right)\)