1.10: Sumando y restando expresiones polinómicas
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Los polinomios se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir. Al sumar o restar, solo podemos combinar términos que sean como términos.
¿Cuáles son los términos?
Considera la expresión
\[5 x^{4} y^{2}+6 x^{3} y-7 y^{2} x^{4}\nonumber\]
Primero, reescribimos la expresión dada usando solo la adición:
\[5 x^{4} y^{2}+6 x^{3} y+\left(-7 y^{2} x^{4}\right)\nonumber\]
Aquí los términos son:\(5 x^{4} y^{2}, 6 x^{3} y,\) y\(-7 y^{2} x^{4}\). Se agregan los términos para obtener la expresión.
Dos términos son “a diferencia” o “como”.
Términos Me gusta
Los términos similares son términos que tienen los mismos exponentes en las mismas variables.
Por ejemplo, en la expresión anterior\(5 x^{4} y^{2}\) y\(-7 y^{2} x^{4}\) son como términos ya que\(y\) tiene el mismo exponente (2) y el\(x\) tiene el mismo exponente (4). Por otro lado,\(5 x^{4} y^{2}\) y\(6 x^{3} y^{2}\) son términos distintos ya que\(x^{4}\) aparece en el primer término pero\(x^{3}\) aparece en el segundo.
Ejemplo 8.1
Considera la expresión:
\(-2 x^{5} y^{2}-5 x^{4} y^{2}+6 x^{5} y^{2}\)
Solución
Los términos similares son:\(-2 x^{5} y^{2}\) y\(6 x^{5} y^{2}\).
Agregar o restar términos similares
Agregar o restar términos similares
Sólo podemos sumar o restar términos similares, y, lo hacemos sumando o restando sus coeficientes.
Ejemplo 8.2
\(-2 x^{5} y^{2}+6 x^{5} y^{2}=4 x^{5} y^{2}\)para que nuestra expresión en el ejemplo anterior se pueda simplificar:
\[-2 x^{5} y^{2}-5 x^{4} y^{2}+6 x^{5} y^{2}=4 x^{5} y^{2}-5 x^{4} y^{2}\nonumber\]
Ahora, sumemos y restemos polinomios.
Ejemplo 8.3
Sumar o restar los polinomios.
a)\ (\ comenzar {alinear*}
\ izquierda (3 x^ {2} +5 x+6\ derecha) +\ izquierda (4 x^ {2} +3 x-8\ derecha) &=3 x^ {2} +5 x+6+4 x^ {2} +3 x-8\\
&=7 x^ {2} +8 x-2
\ end {align*}\)
b)\ (\ comenzar {alinear*}
\ izquierda (x^ {4} -2 x^ {3} +6 x\ derecha) +\ izquierda (5 x^ {3} +2 x^ {2} +9 x+4\ derecha) &=x^ {4} -2 x^ {3} +6 x+5 x^ {3} +2 x^ {2} +9 x+4\\
&=x^ {4} +3 ^ {3} +2 x^ {2} +15 x+4
\ final {alinear*}\)
c)\ (\ comenzar {alinear*}
\ izquierda (2 a b^ {2} -3 a^ {2} -7 a b\ derecha) +\ izquierda (-a^ {2} -5 a^ {2} b\ derecha) &=2 a b^ {2} -3 a^ {2} -7 a b-a^ {2} -5 a^ {2} b\
&=2 a b^ {2} -4 a^ {2} -7 a b-5 a^ {2} b
\ end {alinear*}\)
Nota: Arriba, los únicos términos similares que se pueden combinar son\(-3 a^{2}\) y\(-a^{2}\) Los términos restantes no se pueden combinar más.
d)\ (\ comenzar {alinear*}
\ izquierda (3 x^ {2} +5 x+6\ derecha) -\ izquierda (4 x^ {2} +3 x-8\ derecha) &=3 x^ {2} +5 x+6-4 x^ {2} -3 x+8\\
&=-x^ {2} +2 x+14
\ end {align*}\)
Nota: Al quitar el paréntesis al restar se cambia el signo para todos los términos del polinomio que se está restando.
e)\ (\ comenzar {alinear*}
(5 m+3 n) - (7 m+2 n) &=5 m+3 n-7 m-2 n\\
&=-2 m+n
\ final {alinear*}\)
f) Restar\(4 a^{2}-5 a\) de\(6 a+4\).
\ (\ comenzar {alinear*}
(6 a+4) -\ izquierda (4 a^ {2} -5 a\ derecha) &=6 a+4-4 a^ {2} +5 a\\
&=-4 a^ {2} +11 a+4
\ final {alinear*}\)
Nota: Restar\(4 a^{2}-5 a\) de\(6 a+4\) requiere escribir\(6 a+4\) primero, y luego\(4 a^{2}-5 a\) restarlo. ¡Revertir el orden produciría una respuesta equivocada!
g) Restar\(-3 q+4 p q-2 p\) de\(-9 p\).
\ (\ begin {alinear*}
-9 p- (-3 q+4 p q-2 p) &=-9 p+3 q-4 p q+2 p\\
&=-7 p+3 q-4 p q
\ end {alinear*}\)
Problema de salida
Simplificar:\(\left(9 m^{2} n-15 m n^{2}\right)-\left(3 m n^{2}+2 m^{2} n\right)\)