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1.13: Simplificar las raíces cuadradas

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    108443
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Encontrar una raíz cuadrada de un número es la operación inversa de cuadrar ese número. Recuerda, el cuadrado de un número es ese número multiplicado por sí mismo. Por ejemplo,

    \[5^{2}=5 \cdot 5=25 \nonumber\]

    y

    \[(-5)^{2}=(-5) \cdot(-5)=25. \nonumber\]

    La raíz cuadrada de un número\(n,\) escrito como\(\sqrt{n},\) es el número positivo que da\(n\) cuando se multiplica por sí mismo. Por ejemplo,\(\sqrt{25}=5\) y no -5 porque 5 es el número positivo que multiplicado por sí mismo da 25.

    Los cuadrados perfectos son los cuadrados de números enteros:

    • \(1=1^{2}\)
    • \(4=2^{2}\)
    • \(9=3^{2}\)
    • \(16=4^{2}\)
    • \(25=5^{2}\)
    • \(36=6^{2}\)
    • \(49=7^{2}\)
    • \(64=8^{2}\)
    • \(81=9^{2}\)
    • \(100=10^{2}, \ldots\)

    y encontrar sus raíces cuadradas es sencillo. Entonces

    \[\begin{align*} \sqrt{16} &=\sqrt{4^{2}} \\[4pt] &=4 \\ \sqrt{100} &= \sqrt{10^{2}} \\[4pt] &=10. \end{align*}\]

    ¿Qué pasa con\(\sqrt{50} ?\) ¿Se te ocurre un número que multiplicas por sí mismo y\(50 ?\) la respuesta es Lo único que podemos hacer es simplificar la raíz cuadrada? Decimos que una raíz cuadrada se simplifica si no tiene factores cuadrados perfectos.

    Entonces, para simplificar\(\sqrt{50}\) primero escribimos 50 en su factor y buscamos cuadrados perfectos.

    \[50=25 \cdot 2=5^{2} \cdot 2 . \nonumber\]

    Entonces,

    \[\begin{align*} \sqrt{50} &=\sqrt{25 \cdot 2} \\[4pt] &=\sqrt{5^{2}} \cdot \sqrt{2} \\[4pt] &=5 \cdot \sqrt{2}. \end{align*}\]

    La justificación para separar\(\sqrt{5^{2}}\) y\(\sqrt{2}\) es el hecho de que la raíz cuadrada de un producto es igual al producto de la raíz cuadrada de cada factor:

    Regla de Producto para Radicales

    \[\sqrt{a \cdot b}=\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\]

    Ejemplo 11.1

    Simplifica cada una de las siguientes expresiones radicales:

    1. \(\begin{align*} \sqrt{24} &=\sqrt{4 \cdot 6}=\sqrt{2^{2} \cdot 6} \\ &=\sqrt{2^{2}} \cdot \sqrt{6}=2 \cdot \sqrt{6} \end{align*}\)
    2. \(\sqrt{108}=\sqrt{36 \cdot 3}=\sqrt{6^{2} \cdot 3}=\sqrt{6^{2}} \cdot \sqrt{3}=6 \cdot \sqrt{3}\)
    3. \(\begin{align*} 2 \cdot \sqrt{80} &=2 \cdot \sqrt{16 \cdot 5}=2 \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 5} \\ &=2 \cdot \sqrt{4^{2}} \cdot \sqrt{5}=2 \cdot 4 \cdot \sqrt{5} \\ &=8 \cdot \sqrt{5} \end{align*}\)

    Cómo combinar raíces cuadradas “me gusta”

    Podemos combinar raíces cuadradas “me gusta” de la misma manera que combinamos “términos similares” en el capítulo 8.

    Como Raíces Cuadradas

    Dos (o más) raíces cuadradas son “como” si tienen la misma cantidad debajo de la raíz.

    Nota: Siempre simplifique la raíz cuadrada si es posible antes de identificar raíces “similares”.

    Ejemplo 11.2

    Como raíces cuadradas:

    1. \(\sqrt{3}\)y\(-6 \sqrt{3}\)
    2. \(2 \sqrt{5}\)y\(-4 \sqrt{5}\)
    3. \(\sqrt{7}\)y\(\sqrt{28},\) porque\(\sqrt{28}=\sqrt{4 \cdot 7}=\sqrt{4} \cdot \sqrt{7}=2 \sqrt{7}\)
    4. \(\sqrt{90}\)y\(\sqrt{250}\) porque\(\sqrt{90}=\sqrt{9 \cdot 10}=\sqrt{9} \cdot \sqrt{10}=3 \sqrt{10}\) y\(\sqrt{250}=\sqrt{25 \cdot 10}=\sqrt{25} \cdot \sqrt{10}=5 \sqrt{10}\)

    Para sumar o restar radicales, primero necesitamos simplificar los radicales, luego combinarlos como radicales.

    Ejemplo 11.3

    Suma o resta radicales:

    1. \(\sqrt{160}+\sqrt{490}=\sqrt{16 \cdot 10}+\sqrt{49 \cdot 10}=\sqrt{16} \cdot \sqrt{10}+\sqrt{49} \cdot \sqrt{10}=4 \cdot \sqrt{10}+7 \cdot \sqrt{10}=(4+7) \sqrt{10}=11 \sqrt{10}\)
    2. \(2 \sqrt{27}-5 \sqrt{3}=2 \sqrt{9 \cdot 3}-5 \sqrt{3}=2 \sqrt{9} \cdot \sqrt{3}-5 \sqrt{3}=2 \cdot 3 \sqrt{3}-5 \sqrt{3}=6 \sqrt{3}-5 \sqrt{3}=(6-5) \sqrt{3}=1 \sqrt{3}=\sqrt{3}\)
    3. \(4 \sqrt{18}-7 \sqrt{8}-3 \sqrt{1}=4 \sqrt{9} \sqrt{2}-7 \sqrt{4} \sqrt{2}-3 \cdot 1=4 \cdot 3 \sqrt{2}-7 \cdot 2 \sqrt{2}-3=12 \sqrt{2}-14 \sqrt{2}-3=(12-14) \sqrt{2}-3=-2 \sqrt{2}-3\)

    Nota: Solo se pueden combinar raíces “similares”.

    ¿Cómo simplificamos los radicales no numéricos?

    Similar a los números, las variables dentro de la raíz cuadrada que son cuadradas (elevadas a la potencia 2) se pueden simplificar. Entonces,\(\sqrt{x^{2}}=x\) de la misma manera que\(\sqrt{8^{2}}=8\). Entonces, necesitamos encontrar tantos múltiplos de variables que estén al cuadrado:

    \[\begin{align*} \sqrt{x^{8}} &=\sqrt{x^{2} \cdot x^{2} \cdot x^{2} \cdot x^{2}} \\[4pt] &=\sqrt{x^{2}} \cdot \sqrt{x^{2}} \cdot \sqrt{x^{2}} \cdot \sqrt{x^{2}} \\[4pt] &=x \cdot x \cdot x \cdot x \\[4pt] &=x^{4} \\[4pt] \sqrt{x^{5}} &=\sqrt{x^{2} \cdot x^{2} \cdot x} \\[4pt] &=\sqrt{x^{2}} \cdot \sqrt{x^{2}} \cdot \sqrt{x} \\[4pt] &=x \cdot x \cdot \sqrt{x} \\[4pt] =x^{2} \sqrt{x}\end{align*}\]

    Si tienes un número y una variable dentro de la raíz cuadrada (o más de una variable), trabajas con cada una por separado. Por ejemplo:

    \[\sqrt{50 x^{8}}=\sqrt{50} \cdot \sqrt{x^{8}}=5 \sqrt{2} \cdot x^{4}=5 x^{4} \sqrt{2}\nonumber\]

    Ejemplo 11.4

    Simplifica cada una de las siguientes expresiones radicales:

    a)\ (\ begin {align*}
    \ sqrt {y^ {4} x^ {8}} &=\ sqrt {y^ {4}}\ cdot\ sqrt {x^ {8}} =\ sqrt {y^ {2}\ cdot y^ {2}}\ cdot\ sqrt {x^ {8}}\\
    &=\ sqrt {y^ {2}}}\ cdot\ sqrt {y^ {2}}\ cdot\ sqrt {x^ {8}} =y\ cdot y\ cdot\ sqrt {x^ {8}} =y^ {2}\ cdot\ sqrt {x^ {8}}\\
    &=y^ {2}\ cdot x^ {4}\\
    &=y^ {2} x^ {4}
    \ end {align*}\)

    b)\ (\ comenzar {alinear*}
    \ sqrt {200\ cdot m^ {4}} &=\ sqrt {200}\ cdot\ sqrt {m^ {4}} =\ sqrt {100\ cdot 2}\ cdot\ sqrt {m^ {4}}\\
    &=\ sqrt {10^ {2}\ cdot 2}\ cdot\ sqrt m^ {4}} =\ sqrt {10^ {2}}\ cdot\ sqrt {2}\ cdot\ sqrt {m^ {4}} =10\ cdot\ sqrt {2}\ cdot m^ {2}\\
    &=10\ cdot m^ {2} \ cdot\ sqrt {2} =10 m^ {2}\ sqrt {2}
    \ final {alinear*}\)

    c)\ (\ comenzar {alinear*}
    m^ {3}\ cdot\ sqrt {200\ cdot m^ {4}} &=m^ {3}\ cdot\ sqrt {200}\ cdot\ sqrt {m^ {4}} =m^ {3}\ cdot\ sqrt {100\ cdot 2}\ cdot\ sqrt {m^ {4}}\
    &=m^ {3}\ cdot\ sqrt {10^ {2}\ cdot 2}\ cdot\ sqrt {m^ {4}} =m^ {3}\ cdot\ sqrt {10^ {2}}\ cdot\ sqrt {2}\ cdot\ sqrt {m ^ {4}}\\
    &=m^ {3}\ cdot 10\ cdot\ sqrt {2}\ cdot m^ {2} =10 m^ {5}\ cdot\ sqrt {2}\\
    &=10 m^ {5}\ sqrt {2}
    \ end {align*}\)

    d)\ (\ comenzar {alinear*}
    2\ sqrt {63 x^ {3}} &=2\ cdot\ sqrt {63}\ cdot\ sqrt {x^ {3}} =2\ cdot\ sqrt {9\ cdot 7}\ cdot\ sqrt {x^ {3}}\\
    &=2\ cdot\ crt {3^ {2}\ punto 7}\ cdot\ sqrt {x^ {2}\ cdot x} =2\ cdot\ sqrt {3^ {2}}\ cdot\ sqrt {7}\ cdot\ sqrt {x^ {2}}\ cdot\ sqrt {x}\\
    &= 2\ cdot 3\ sqrt {7}\ cdot x\ cdot\ sqrt {x} =6 x\ cdot\ sqrt {7 x} =6 x\ sqrt {7 x}
    \ final {alinear*}\)

    Similar a la regla del producto, la regla del cociente nos permite separar las raíces cuadradas de la siguiente manera:

    Regla de cociente para radicales

    \(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)

    Y fíjate que ambas reglas se pueden leer de derecha a izquierda de la siguiente manera:

    \[\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}=\sqrt{a \cdot b}\nonumber\]

    \[\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\nonumber\]

    Esto nos proporciona las herramientas necesarias para combinar y simplificar las raíces cuadradas, cuando la operación es sólo multiplicación o división.

    Ejemplo 11.5

    Simplifique completamente:

    1. \(\begin{align*} \frac{\sqrt{15} \sqrt{70}}{\sqrt{5}} &=\frac{\sqrt{15 \cdot 70}}{\sqrt{5}} \\ &=\sqrt{\frac{15 \cdot 70}{5}}=\sqrt{\frac{5 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 2}{5}} \\ &=\sqrt{5 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7}=\sqrt{210} \end{align*}\)
    2. \(\begin{align*} -x \sqrt{12 y^{3}} \cdot 3 y^{2} \sqrt{15 x} &=-3 x y^{2} \cdot \sqrt{12 y^{3} \cdot 15 x}=-3 x y^{2} \cdot \sqrt{12 \cdot 15 x y^{3}} \\ &=-3 x y^{2} \cdot \sqrt{4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 x y^{3}} \\ &=-3 x y^{2} \cdot \sqrt{4 \cdot 3^{2} \cdot 5 x y \cdot y^{2}} \\ &=-3 x y^{2} \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{3^{2}} \cdot \sqrt{5 x y} \cdot \sqrt{y^{2}} \\ &=-3 x y^{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5 x y} \cdot y \\ &=-18 x y^{3} \cdot \sqrt{5 x y} \end{align*}\)

    Problema de salida

    Simplificar:\(5 \sqrt{24}-2 \sqrt{54}-3 \sqrt{16}\)