1.14: Factorización de un Monomio a partir de un Polinomio y GCF

Hemos aprendido a multiplicar polinomios. Por ejemplo, usar la propiedad distributiva on\(2 x(x-1)\) we get\(2 x^{2}-2 x\) o usar\(\mathrm{FOlL}\) on\((x+1)(2 x-5)\) results en\(2 x^{2}-3 x-5 .\) Factoring es un procedimiento inverso de multiplicar polinomios. Si escribimos\(2 x^{2}-2 x=2 x(x-1)\) o\(2 x^{2}-3 x-5=(x+1)(2 x-5),\) esto se llama factoring. En general, la factorización es un procedimiento para escribir un polinomio como producto de dos o más polinomios. En el primer ejemplo\(2 x\) y\((x-1)\) se llaman factores de\(2 x^{2}-2 x .\) En el segundo ejemplo\((x+1)\) y\((2 x-5)\) son factores de\(2 x^{2}-3 x-5\).

La factorización es extremadamente útil cuando tratamos de resolver ecuaciones polinómicas y simplificar fracciones algebraicas. En los siguientes tres capítulos, aprenderemos varios métodos de factorización.

Factorizar el mayor factor común (GCF)

En esta sección explicaremos cómo factorizar el mayor factor común (GCF) a partir de un polinomio. El GCF es el polinomio más grande que divide cada término del polinomio. Por ejemplo, el polinomio\(9 x^{3}+6 x^{2}+12 x^{4}\) es la adición de tres términos\(9 x^{3}, 6 x^{2}\) y\(12 x^{4}\). Desde la factorización, tenemos:

\[9 x^{3}=3 \cdot 3 \cdot x \cdot x \cdot x=\left(3 x^{2}\right)(3 x)\nonumber\]

\[6 x^{2}=2 \cdot 3 \cdot x \cdot x=\left(3 x^{2}\right)(2)\nonumber\]

\[12 x^{4}=2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x=\left(3 x^{2}\right)\left(4 x^{2}\right)\nonumber\]

Por lo tanto, el monomio\(3 x^{2}\) es el\(G C F\) de\(9 x^{3}, 6 x^{2}\) y\(12 x^{4}\). Una vez identificado el GCF, podemos usar la propiedad distributiva para factorizar el GCF de la siguiente manera:

\ [\ begin {align*}
9 x^ {3} +6 x^ {2} +12 x^ {4} &=3 x^ {2} (3 x) +3 x^ {2} (2) +3 x^ {2}\ izquierda (4 x^ {2}\ derecha)\\
&=3 x^ {2}\ izquierda (3 x+2+4 x^ {2}\ derecha)
\ final {alinear*}\ nonúmero\]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Factor fuera del GCF del polinomio dado.

a)\(6 a^{4}-8 a\)

El GCF es\(2 a\)

\[6 a^{4}-8 a=2 a\left(3 a^{3}\right)-2 a(4)=2 a\left(3 a^{3}-4\right)\nonumber\]

b)\(15 a b^{3} c-10 a^{2} b c+25 b^{2} c^{3}\)

El GCF es\(5 b c\)

\ [\ begin {align*}
15 a b^ {3} c-10 a^ {2} b c+25 b^ {2} c^ {3} &=5 b c\ izquierda (3 a b^ {2}\ derecha) -5 b c\ izquierda (2 a^ {2}\ derecha) +5 b c\ izquierda (5 b c^ {2}\ derecha)\\
&=5 b c izquierda\ (3 a b^ {2} -2 a^ {2} +5 b c^ {2}\ derecha)
\ final {alinear*}\ nonumber\]

c)\(3 x^{2}-6 x+12\)

El GCF es 3.

\[3 x^{2}-6 x+12=3\left(x^{2}\right)-3(2 x)-3(4)=3\left(x^{2}-2 x-4\right)\nonumber\]

En los problemas que hemos hecho hasta ahora, el primer término del polinomio ha sido positivo. Si el primer término del polinomio es negativo, es mejor factorizar lo contrario del GCF. El procedimiento es exactamente el mismo, pero hay que prestar atención al signo de cada término.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Factorizar el GCF del polinomio dado:

a)\(-8 x^{2} y+12 x y^{2}-16 x y\)

El GCF es\(4 x y .\) ya que el primer término del polinomio es negativo, nosotros factorizamos\(-4 x y\) en su lugar.

\ [\ comenzar {alinear*}
-8 x^ {2} y+12 x y^ {2} -16 x y & =( -4 x y) (2 x) + (-4 x y) (-3 y) + (-4 x y) (4)\\
&=-4 x y (2 x-3 y+4)
\ final {alinear*}\ nonumber\]

Nota: Dentro de los paréntesis, se ha cambiado el signo para cada término en el factor restante.

b)\(-9 b^{5}-15 b^{4}+21 b^{3}+27 b^{2}\)

ya que el primer término es negativo, factorizamos lo contrario de la\(\mathrm{GCF}:-3 b^{2}\)

\ [\ begin {align*}
&-9 b^ {5} -15 b^ {4} +21 b^ {3} +27 b^ {2}\
=&\ izquierda (-3 b^ {2}\ derecha)\ izquierda (3 b^ {3}\ derecha) +\ izquierda (-3 b^ {2}\ derecha)\ izquierda (5 b^ {2}\ derecha) +\ izquierda (-3 b^ {2}\ derecha) +\ izquierda (-3 b^ {2}\ derecha) +\ izquierda (-3 b^ {2}\ derecha) (-7 b) +\ izquierda (-3 b^ {2}\ derecha) (-9)\\
=&-3 b^ {2}\ izquierda (3 b^ {3} +5 b^ {2} -7 b-9\ derecha)
\ end {align*}\ nonumber\]

Nuevamente, observe cómo dentro de los paréntesis, se ha cambiado el signo de cada uno de los términos restantes.

Factorizar el mayor factor común (GCF)

• Paso 1: Identificar el GCF de cada término del polinomio.
• Paso 2: Escribir cada término del polinomio como producto del GCF y factor restante. Si el primer término del polinomio es negativo, usamos lo contrario del GCF como factor común.
• Paso 3: Utilice la propiedad distributiva para factorizar el GCF.

Factorización por Agrupación

En muchas expresiones, el mayor factor común puede ser un binomio. Por ejemplo, en la expresión\(x^{2}(2 x+1)+5(2 x+1)\), el binomio\((2 x+1)\) es un factor común de ambos términos. Entonces podemos factorizar este factor binomial de la siguiente manera:

\[x^{2}(2 x+1)+5(2 x+1)=(2 x+1)\left(x^{2}+5\right)\nonumber\]

Esta idea es muy útil para factorizar un polinomio de cuatro términos utilizando el método de agrupación. Por ejemplo,\(6 a^{2}-10 a+3 a b-5 b\) es un polinomio con cuatro términos. El GCF de los cuatro términos es\(1 .\) Sin embargo, si agrupamos los dos primeros términos y los dos últimos términos, obtenemos\(\left(6 a^{2}-10 a\right)+(3 a b-5 b)\). Observe que en el primer grupo,\(2 a\) es un factor común y en el segundo grupo,\(b\) es un factor común, por lo que podemos factorizarlos:\(2 a(3 a-5)+b(3 a-5)\). Los dos términos tienen ahora un factor binomial común\(3 a-5\). Después de factorizarlo, obtenemos:

\[2 a(3 a-5)+b(3 a-5)=(3 a-5)(2 a+b) .\]

La factorización por agrupación es un método muy útil cuando factorizamos ciertos trinomios en una sesión posterior.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Factorizar los polinomios dados por el método de agrupación.

a)\(x^{3}+3 x^{2}+2 x+6\)

\ [\ begin {align*}
x^ {3} +3 x^ {2} +2 x+6 &=\ izquierda (x^ {3} +3 x^ {2}\ derecha) + (2 x+6)\\
&=x^ {2} (x+3) +2 (x+3)\\
& =( x+3)\ izquierda (x^ {2} +2\ derecha)
\ end {alinear*}\ no er\]

b)\(6 x^{2}-3 x-2 x y+y\)

\ [\ begin {align*}
6 x^ {2} -3 x-2 x y+y &=\ izquierda (6 x^ {2} -3 x\ derecha) + (-2 x y+y)\\
&=3 x (2 x-1) + (-y) (2 x-1)\\
& =( 2 x-1) (3 x-y)
\ end {align*}\ nonumber\]

c)\(10 a x+15 a y-8 b x-12 b y\)

\ [\ begin {alinear*}
10 a x+15 a y-8 b x-12 b y & =( 10 a x+15 a y) + (-8 b x-12 b y)\\
&=5 a (2 x+3 y) + (-4 b) (2 x+3 y)\\
& =( 2 x+3 y) (5 a-4 b)
\ end {align*}\ nonumber\]

Nota: En los dos últimos problemas del ejemplo, el tercer término en el polinomio es negativo. Al agrupar, necesitamos agregar un signo de suma adicional entre dos grupos, y al factorizar el segundo grupo, es útil factorizar lo contrario del GCF.

Problema de salida

Factor completamente:\(12 a^{5} b^{4} c^{5}-36 a^{6} b^{3} c-24 a b^{2}\)

Factor por agrupación:\(35 x y+21 t y-15 x z-9 t z\)