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1.17: Ecuaciones y sus soluciones

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    Una ecuación es una expresión que es igual a otra expresión.

    Ejemplo 15.1

    Ejemplos de ecuaciones:

    a)\(x-4=6\)

    b)\(5 x-6=4 x+2\)

    c)\(6 x-30=0\)

    d)\(x^{2}+3 x-4=0\)

    e)\(3 x^{2}-2 x=-1\)

    f)\(x^{3}+x^{2}+x+1=0\)

    g) no\(2 x-5>3\) es una ecuación. Es una desigualdad y se discutirá en el capítulo 21

    Una solución de una ecuación es cualquier valor de la variable que satisfaga la igualdad, es decir, hace que el Lado Izquierdo (LHS) y el Lado Derecho (RHS) de la ecuación sean el mismo valor.

    Resolver una ecuación es encontrar la (s) solución (s) para esa ecuación. El método para resolver una ecuación depende del tipo de ecuación en cuestión. Estudiaremos cómo:

    • resolver ecuaciones lineales en los capítulos 16 y 17
    • resolver ecuaciones cuadráticas en el capítulo 20

    Ejemplo 15.2

    Soluciones de ecuaciones:

    a) Una solución para\(x-4=6\) es\(x=10\) porque el LHS evaluado en\(x=10\) es el\(10-4=6\) que es igual al\(\mathrm{RHS}\).

    b) Una solución para\(5 x-6=4 x+2\) es\(x=8\) porque el LHS evaluado en\(x=8\) es\(5(8)-6=40-6=34\) y el RHS evaluado en\(x=8\) es\(4 x+2=4(8)+2=32+2=34,\) y son iguales!

    Entonces, dado un valor de\(x\), podemos verificar si es una solución o no evaluando simultáneamente el LHS y RHS de una ecuación. Si son iguales, entonces el valor es una solución. Si no son iguales, entonces el valor no es una solución.

    Ejemplo 15.3

    a) Es\(x=2\) una solución de la ecuación

    \[-4 x+8+x=5-2 x+1\nonumber\]?

    El LHS evaluado en\(x=2\) es\(-4(2)+8+2=-8+8+2=2\).

    El RHS evaluado en\(x=2\) es\(5-2(2)+1=5-4+1=5+(-4)+1=1+1=2\).

    Ya que son iguales, entonces decimos que\(x=2\) es una solución para la ecuación dada.

    b) Es\(x=-1\) una solución de la ecuación

    \[x^{2}+4 x=-3 x+8\nonumber\]?

    El LHS evaluado en\(x=-1\) es\((-1)^{2}+4(-1)=1+(-4)=-3\).

    El RHS evaluado en\(x=-1\) es\(-3(-1)+8=3+8=11\).

    Ya que\(-3 \neq 11\), entonces decimos que no\(x=-1\) es una solución para la ecuación dada.

    c) Es\(x=-2\) una solución para

    \[x^{2}-2 x+1=3 x^{2}+2 x+1\nonumber\]?

    El LHS evaluado en\(x=-2\) es\((-2)^{2}-2(-2)+1=4+4+1=9\).

    El RHS evaluado en\(x=-2\) es\(3(-2)^{2}+2(-2)+1=3 \cdot 4-4+1=12-4+1=9 .\) ya que\(9=9,\) el\(L H S=R H S\) y\(x=-2\) es una solución a la ecuación.

    Problema de salida

    Comprobar: Es\(x=-6\) una solución de la ecuación

    \[10+10 x=13+6 x+1 ?\nonumber\]