1.18: Resolver ecuaciones lineales
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Ejemplo 16.1
Ejemplos de ecuaciones lineales:
- \(x-4=6\)es una ecuación lineal.
- \(5 x-6=4 x+2\)es una ecuación lineal.
- \(x^{2}-2 x+1=0\)no es una ecuación lineal, ya que la variable\(x\) es a la segunda potencia. Se trata de una ecuación cuadrática que estudiaremos en el capítulo 20.
Observación Crítica: Podemos sumar o restar cualquier cosa de una ecuación siempre y cuando lo hagamos a ambos lados al mismo tiempo. Esta es una herramienta muy esencial para resolver ecuaciones lineales. Nos ayudará a aislar la variable en un lado de la ecuación y los números en el otro lado de la ecuación.
Si\(\quad a=b \quad\) entonces\(\quad a+c=b+c\).
Si\(\quad a=b \quad\) entonces\(\quad a-c=b-c\).
Ejemplo 16.2
Aísle la variable en la ecuación dada:
a)\(x-4=6\)
Aquí agregamos 4 a ambos lados de la ecuación para obtener
\[x-4+4=6+4\nonumber\]
que tiene el efecto de aislar el\(x\) en un lado de la ecuación y los números en el otro ya que al simplificar vemos que
\[x=10\nonumber\]
Puede ser útil escribir esto en forma vertical:
\[x-4=6\nonumber\]
\[+4 \quad+4\nonumber]\]
\[\Longrightarrow x=10\]
b)\(x+7=-2 .\) Aquí agregamos -7 de ambos lados porque tendrá el efecto de aislar el\(x:\) (escrito verticalmente)
\[x+7=-2\nonumber\]
\[+-7 \quad-7\nonumber\]
\[\Longrightarrow x=-9\nonumber\]
c)\(5 x-6=4 x+2\)
Aquí\(x\) aparece en ambos lados de la ecuación. Si restamos uno de los términos de ambos lados, tendrá el efecto de aislar el de un\(x\) lado.
Tenemos una opción. Vamos a restar\(4 x\) de ambos lados para que un\(x\) esté en el LHS. La alternativa hubiera sido restar\(5 x\) lo que nos habría dejado con\(-x\) en el\(\mathrm{RHS}\) (esto sería algo inconveniente). Tenemos (escrito verticalmente)
\[5 x-6=4 x+2\nonumber\]
\[-4 x-4 x\nonumber\]
\[\Longrightarrow x-6=2\nonumber\]
\[\quad+6 \quad+6\nonumber\]
\[\Longrightarrow x=8\nonumber\]
Tenga en cuenta que cada solución se puede verificar enchufando el número encontrado en la ecuación original.
Ejemplo 16.3
Resolver:
a)\(17-(4-2 x)=3(x+4)\)
Para resolver esta ecuación, primero necesitamos eliminar todos los paréntesis y combinar cualquier término similar.
\[17-(4-2 x)=3(x+4)\nonumber\]
\[\Longrightarrow 17-4+2 x=3 x+12\nonumber\]
\[\Longrightarrow 13+2 x=3 x+12\nonumber\]
Siguiendo el ejemplo anterior, la solución se encuentra (restando\(2 x\) de ambos lados y restando 12 de ambos lados) para ser\(x=1 .\) Ahora, podemos verificar si nuestro trabajo es correcto sustituyendo\(x=1\) en la ecuación original y viendo si el\(\mathrm{RHS}\) y\(\mathrm{LHS}\) arroja el mismo valor :
RHS:\(17-(4-2 x)=17+(-1)(4+(-2 x))=17+(-1)(4+(-2 \cdot 1))=17+(-1)(4+(-2))=17+(-1)(2)=17+(-2)=15\)
LHS:\(3(x+4)=3(1+4)=3(5)=15\)
Dado que ambos valores son iguales, nuestra solución de\(x=1\) es correcta.
Observación Crítica: Podemos multiplicar o dividir una ecuación por cualquier número distinto de cero siempre y cuando lo hagamos a ambos lados al mismo tiempo. Esta es una herramienta muy esencial para resolver ecuaciones lineales donde el coeficiente de la variable no es 1.
Si\(a=b\) entonces\(a \times c=b \times c\).
Si\(a=b\) entonces\(\frac{a}{c}=\frac{b}{c} \quad\) cuando\(c \neq 0\).
Ejemplo 16.4
a)\(6 x=42\)
\[6 x=42\nonumber\]
\[\Longrightarrow \frac{6 x}{6}=\frac{42}{6}\nonumber\]
\[\Longrightarrow x=7\nonumber\]
b)\(-4 x-30=0\)
En este ejemplo primero aislaremos el '\(x\)-término' que es\(4 x\) antes de aislar\(x\).
\[-4 x-30=0\nonumber\]
\[\quad+30 \quad +30\nonumber\]
\[\Longrightarrow-4 x=30\nonumber\]
\[\Longrightarrow \frac{-4 x}{-4}=\frac{30}{-4}\nonumber\]
\[\Longrightarrow x=-\frac{15}{2}\nonumber\]
c)\(2 x=\frac{1}{4}\)
\[2 x=\frac{1}{4}\nonumber\]
\[\Longrightarrow \frac{2 x}{2}=\frac{1}{4} \div 2\nonumber\]
\[\Longrightarrow x=\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}\nonumber\]
\[\Longrightarrow x=\frac{1 \cdot 1}{4 \cdot 2}\nonumber\]
\[\Longrightarrow x=\frac{1}{8}\nonumber\]
Tenga en cuenta que dividir por 2 en ambos lados de la ecuación es lo mismo que multiplicar por\(\frac{1}{2}\). Entonces, podemos reescribir la solución así:
\[2 x=\frac{1}{4}\nonumber\]
\[\Longrightarrow \frac{1}{2} \cdot 2 x=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}\nonumber\]
\[\Longrightarrow \frac{1 \cdot 2 x}{2}=\frac{1 \cdot 1}{4 \cdot 2}\nonumber\]
\[\Longrightarrow x=\frac{1}{8}\nonumber\]
Generalmente, multiplicar un número por sus recíprocos da como resultado 1:
\[\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}=\frac{a b}{b a}=1\nonumber\]
Usemos este hecho en el siguiente ejemplo.
d)\(\frac{2 x}{3}=\frac{5}{6}\)
\[\frac{2 x}{3}=\frac{5}{6}\nonumber\]
\[\Longrightarrow \frac{2}{3} \cdot x=\frac{5}{6}\nonumber\]
\[\Longrightarrow \frac{2}{3} \cdot x=\frac{5}{6}\nonumber\]
\[\Longrightarrow \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot x=\frac{3}{2} \cdot \frac{5}{6}\nonumber\]
\[\Longrightarrow x=\frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 6}\nonumber\]
\[\Longrightarrow x=\frac{5}{2 \cdot 2}\nonumber\]
\[\Longrightarrow x=\frac{5}{4}\nonumber\]
e)\(\frac{x}{5}+3=6\)
\[\frac{x}{5}+3=6\nonumber\]
\[\quad -3 \quad-3\nonumber\]
\[\Longrightarrow \frac{x}{5}=3\nonumber\]
\[\Longrightarrow 5 \cdot \frac{x}{5}=5 \cdot 3\nonumber\]
\[\Longrightarrow x=15\nonumber\]
f)\(5 x-6=2 x+3\)
\[5 x-6=2 x+3\nonumber\]
\[\quad+6 \quad +6 \quad\nonumber\]
\[\Longrightarrow 5 x=2 x+9\nonumber\]
\[\Longrightarrow-2 x \quad -2 x\nonumber\]
\[\Longrightarrow 3 x=9\nonumber\]
\[\Longrightarrow \frac{3 x}{3}=\frac{9}{3}\nonumber\]
\[\Longrightarrow x=3\nonumber\]
g)\(-3(x-1)=4(x+2)+2\)
Primero eliminamos los paréntesis y recopilamos términos similares.
\[-3(x-1)=4(x+2)+2\nonumber\]
\[\Longrightarrow-3 x+3=4 x+8+2\nonumber\]
\[\Longrightarrow-3 x+3=4 x+10\nonumber\]
Ahora procedemos a resolver la ecuación lineal aislando la variable:
\[-3 x+3=4 x+10\nonumber\]
\[\quad -3 \quad-3 \quad \nonumber\]
\[\Longrightarrow-3 x=4 x+7\nonumber\]
\[\quad -4 x \quad -4 x \quad \nonumber\]
\[\Longrightarrow-7 x=7\nonumber\]
\[\Longrightarrow \frac{-7 x}{-7}=\frac{7}{-7}\nonumber\]
\[\Longrightarrow x=-1\nonumber\]
h)\(10-3 x=-2(x-1)\)
\[10-3 x=-2(x-1)\nonumber\]
\[\Longrightarrow 10-3 x=-2 x+2\nonumber\]
\[\quad -10 \quad \quad-10\nonumber\]
\[\Longrightarrow-3 x=-2 x-8\nonumber\]
\[\quad +2x \quad + 2 x \quad \nonumber\]
\[\Longrightarrow-x=-8\nonumber\]
\[\Longrightarrow x=8\nonumber\]
Problema de salida
Resolver:\(5 y-(7-2 y)=2(y+4)\)