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1.18: Resolver ecuaciones lineales

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    108620
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    El tipo de ecuación determinará el método que empleemos para resolverla. Primero discutiremos ecuaciones lineales. Se trata de ecuaciones que sólo contienen la primera potencia de una variable y nada superior.

    Ejemplo 16.1

    Ejemplos de ecuaciones lineales:

    1. \(x-4=6\)es una ecuación lineal.
    2. \(5 x-6=4 x+2\)es una ecuación lineal.
    3. \(x^{2}-2 x+1=0\)no es una ecuación lineal, ya que la variable\(x\) es a la segunda potencia. Se trata de una ecuación cuadrática que estudiaremos en el capítulo 20.

    Observación Crítica: Podemos sumar o restar cualquier cosa de una ecuación siempre y cuando lo hagamos a ambos lados al mismo tiempo. Esta es una herramienta muy esencial para resolver ecuaciones lineales. Nos ayudará a aislar la variable en un lado de la ecuación y los números en el otro lado de la ecuación.

    Si\(\quad a=b \quad\) entonces\(\quad a+c=b+c\).

    Si\(\quad a=b \quad\) entonces\(\quad a-c=b-c\).

    Ejemplo 16.2

    Aísle la variable en la ecuación dada:

    a)\(x-4=6\)

    Aquí agregamos 4 a ambos lados de la ecuación para obtener

    \[x-4+4=6+4\nonumber\]

    que tiene el efecto de aislar el\(x\) en un lado de la ecuación y los números en el otro ya que al simplificar vemos que

    \[x=10\nonumber\]

    Puede ser útil escribir esto en forma vertical:

    \[x-4=6\nonumber\]

    \[+4 \quad+4\nonumber]\]

    \[\Longrightarrow x=10\]

    b)\(x+7=-2 .\) Aquí agregamos -7 de ambos lados porque tendrá el efecto de aislar el\(x:\) (escrito verticalmente)

    \[x+7=-2\nonumber\]

    \[+-7 \quad-7\nonumber\]

    \[\Longrightarrow x=-9\nonumber\]

    c)\(5 x-6=4 x+2\)

    Aquí\(x\) aparece en ambos lados de la ecuación. Si restamos uno de los términos de ambos lados, tendrá el efecto de aislar el de un\(x\) lado.

    Tenemos una opción. Vamos a restar\(4 x\) de ambos lados para que un\(x\) esté en el LHS. La alternativa hubiera sido restar\(5 x\) lo que nos habría dejado con\(-x\) en el\(\mathrm{RHS}\) (esto sería algo inconveniente). Tenemos (escrito verticalmente)

    \[5 x-6=4 x+2\nonumber\]

    \[-4 x-4 x\nonumber\]

    \[\Longrightarrow x-6=2\nonumber\]

    \[\quad+6 \quad+6\nonumber\]

    \[\Longrightarrow x=8\nonumber\]

    Tenga en cuenta que cada solución se puede verificar enchufando el número encontrado en la ecuación original.

    Ejemplo 16.3

    Resolver:

    a)\(17-(4-2 x)=3(x+4)\)

    Para resolver esta ecuación, primero necesitamos eliminar todos los paréntesis y combinar cualquier término similar.

    \[17-(4-2 x)=3(x+4)\nonumber\]

    \[\Longrightarrow 17-4+2 x=3 x+12\nonumber\]

    \[\Longrightarrow 13+2 x=3 x+12\nonumber\]

    Siguiendo el ejemplo anterior, la solución se encuentra (restando\(2 x\) de ambos lados y restando 12 de ambos lados) para ser\(x=1 .\) Ahora, podemos verificar si nuestro trabajo es correcto sustituyendo\(x=1\) en la ecuación original y viendo si el\(\mathrm{RHS}\) y\(\mathrm{LHS}\) arroja el mismo valor :

    RHS:\(17-(4-2 x)=17+(-1)(4+(-2 x))=17+(-1)(4+(-2 \cdot 1))=17+(-1)(4+(-2))=17+(-1)(2)=17+(-2)=15\)

    LHS:\(3(x+4)=3(1+4)=3(5)=15\)

    Dado que ambos valores son iguales, nuestra solución de\(x=1\) es correcta.

    Observación Crítica: Podemos multiplicar o dividir una ecuación por cualquier número distinto de cero siempre y cuando lo hagamos a ambos lados al mismo tiempo. Esta es una herramienta muy esencial para resolver ecuaciones lineales donde el coeficiente de la variable no es 1.

    Si\(a=b\) entonces\(a \times c=b \times c\).

    Si\(a=b\) entonces\(\frac{a}{c}=\frac{b}{c} \quad\) cuando\(c \neq 0\).

    Ejemplo 16.4

    a)\(6 x=42\)

    \[6 x=42\nonumber\]

    \[\Longrightarrow \frac{6 x}{6}=\frac{42}{6}\nonumber\]

    \[\Longrightarrow x=7\nonumber\]

    b)\(-4 x-30=0\)

    En este ejemplo primero aislaremos el '\(x\)-término' que es\(4 x\) antes de aislar\(x\).

    \[-4 x-30=0\nonumber\]

    \[\quad+30 \quad +30\nonumber\]

    \[\Longrightarrow-4 x=30\nonumber\]

    \[\Longrightarrow \frac{-4 x}{-4}=\frac{30}{-4}\nonumber\]

    \[\Longrightarrow x=-\frac{15}{2}\nonumber\]

    c)\(2 x=\frac{1}{4}\)

    \[2 x=\frac{1}{4}\nonumber\]

    \[\Longrightarrow \frac{2 x}{2}=\frac{1}{4} \div 2\nonumber\]

    \[\Longrightarrow x=\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}\nonumber\]

    \[\Longrightarrow x=\frac{1 \cdot 1}{4 \cdot 2}\nonumber\]

    \[\Longrightarrow x=\frac{1}{8}\nonumber\]

    Tenga en cuenta que dividir por 2 en ambos lados de la ecuación es lo mismo que multiplicar por\(\frac{1}{2}\). Entonces, podemos reescribir la solución así:

    \[2 x=\frac{1}{4}\nonumber\]

    \[\Longrightarrow \frac{1}{2} \cdot 2 x=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}\nonumber\]

    \[\Longrightarrow \frac{1 \cdot 2 x}{2}=\frac{1 \cdot 1}{4 \cdot 2}\nonumber\]

    \[\Longrightarrow x=\frac{1}{8}\nonumber\]

    Generalmente, multiplicar un número por sus recíprocos da como resultado 1:

    \[\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}=\frac{a b}{b a}=1\nonumber\]

    Usemos este hecho en el siguiente ejemplo.

    d)\(\frac{2 x}{3}=\frac{5}{6}\)

    \[\frac{2 x}{3}=\frac{5}{6}\nonumber\]

    \[\Longrightarrow \frac{2}{3} \cdot x=\frac{5}{6}\nonumber\]

    \[\Longrightarrow \frac{2}{3} \cdot x=\frac{5}{6}\nonumber\]

    \[\Longrightarrow \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot x=\frac{3}{2} \cdot \frac{5}{6}\nonumber\]

    \[\Longrightarrow x=\frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 6}\nonumber\]

    \[\Longrightarrow x=\frac{5}{2 \cdot 2}\nonumber\]

    \[\Longrightarrow x=\frac{5}{4}\nonumber\]

    e)\(\frac{x}{5}+3=6\)

    \[\frac{x}{5}+3=6\nonumber\]

    \[\quad -3 \quad-3\nonumber\]

    \[\Longrightarrow \frac{x}{5}=3\nonumber\]

    \[\Longrightarrow 5 \cdot \frac{x}{5}=5 \cdot 3\nonumber\]

    \[\Longrightarrow x=15\nonumber\]

    f)\(5 x-6=2 x+3\)

    \[5 x-6=2 x+3\nonumber\]

    \[\quad+6 \quad +6 \quad\nonumber\]

    \[\Longrightarrow 5 x=2 x+9\nonumber\]

    \[\Longrightarrow-2 x \quad -2 x\nonumber\]

    \[\Longrightarrow 3 x=9\nonumber\]

    \[\Longrightarrow \frac{3 x}{3}=\frac{9}{3}\nonumber\]

    \[\Longrightarrow x=3\nonumber\]

    g)\(-3(x-1)=4(x+2)+2\)

    Primero eliminamos los paréntesis y recopilamos términos similares.

    \[-3(x-1)=4(x+2)+2\nonumber\]

    \[\Longrightarrow-3 x+3=4 x+8+2\nonumber\]

    \[\Longrightarrow-3 x+3=4 x+10\nonumber\]

    Ahora procedemos a resolver la ecuación lineal aislando la variable:

    \[-3 x+3=4 x+10\nonumber\]

    \[\quad -3 \quad-3 \quad \nonumber\]

    \[\Longrightarrow-3 x=4 x+7\nonumber\]

    \[\quad -4 x \quad -4 x \quad \nonumber\]

    \[\Longrightarrow-7 x=7\nonumber\]

    \[\Longrightarrow \frac{-7 x}{-7}=\frac{7}{-7}\nonumber\]

    \[\Longrightarrow x=-1\nonumber\]

    h)\(10-3 x=-2(x-1)\)

    \[10-3 x=-2(x-1)\nonumber\]

    \[\Longrightarrow 10-3 x=-2 x+2\nonumber\]

    \[\quad -10 \quad \quad-10\nonumber\]

    \[\Longrightarrow-3 x=-2 x-8\nonumber\]

    \[\quad +2x \quad + 2 x \quad \nonumber\]

    \[\Longrightarrow-x=-8\nonumber\]

    \[\Longrightarrow x=8\nonumber\]

    Problema de salida

    Resolver:\(5 y-(7-2 y)=2(y+4)\)