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1.19: Resolver ecuaciones lineales, decimales, racionales

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    En este capítulo observamos ciertos tipos de ecuaciones lineales, las que incluyen coeficientes decimales o coeficientes racionales. La razón por la que discutimos estos por separado es porque podemos “deshacernos” de los números decimales o denominadores en la ecuación realizando un simple truco.

    Recordemos de la página 22 cómo multiplicamos los números decimales por potencias de 10 (es decir\(10,100,1000, \ldots)\).

    Ejemplo 17.1

    Ejemplos de multiplicar por poderes de 10:

    1. \(0.05 \times 100=5\)
    2. \(2.23 \times 10=22.3\)
    3. \(0.7 \times 100=70\)
    4. \(0.2 \times 10=2\)

    Veamos la siguiente ecuación lineal con coeficientes decimales:

    \[0.02 y+0.1 y=2.4\nonumber\]

    Paso\(1 .\) Mira todos los números decimales en la ecuación dada: 0.02,0.1 y 2.4

    Paso 2. Escoge el número\((s)\) con más decimales\((s)\) y cuenta cuántos: 0.02 tiene dos decimales.

    Paso 3. Multiplique ambos lados de la ecuación por\(100(1\) y dos ceros) porque la mayor cantidad de decimales es dos.

    \(\begin{align*} \text{Multiply both sides by }100: \quad 100 \times(0.02 y+0.1 y) &= 100 \times(2.4) \\ \text{Distribute}: \quad \quad \quad \quad 100 \times 0.02 y+100 \times 0.1 y &= 100 \times 2.4 \\ \Longrightarrow 2 y+10 y & = 240 \end{align*}\)

    Paso 4. Proceder a resolver la ecuación lineal como de costumbre.

    \[2 y+10 y=240\nonumber\]

    \[\Longrightarrow 12 y=240\nonumber\]

    \[\Longrightarrow y=\frac{240}{12}\nonumber\]

    \[\Longrightarrow y=\frac{12 \cdot 20}{12}\nonumber\]

    \[\Longrightarrow y=20\nonumber\]

    Ejemplo 17.2

    Resuelve la ecuación dada:

    a)\(1.4=0.2 x+4\)

    Paso 1. Mira todos los números decimales en la ecuación dada: 1.4 y 0.2

    Paso 2. Escoja el (los) número (s) con más decimales y cuente cuántos: 1.4 y 0.2 ambos tienen una posición decimal. \

    Paso 3. Multiplique ambos lados de la ecuación por\(10(1\) y uno cero) porque el mayor número de decimales es uno.

    \(\begin{align*} \text{Multiply both sides by }100: \quad 100 10 \times(1.4) &= 10 \times(0.2 x+4) \\ \text{Distribute}: \quad \quad \quad \quad 10 \times 1.4 &= 10 \times 0.2 x+10 \times 4 \\ 14 & = 2 x+40 \end{align*}\)

    Paso 4. Proceder a resolver la ecuación lineal como de costumbre.

    \[14=2 x+40\nonumber\]

    \[-40 \quad-40\nonumber\]

    \[\Longrightarrow-26=2 x\nonumber\]

    \[\Longrightarrow \frac{-26}{2}=\frac{2 x}{2}\nonumber\]

    \[\Longrightarrow-13=x\nonumber\]

    b)\(0.7+0.28 x=1.26\)

    Paso 1. Mira todos los números decimales en la ecuación dada: 0.7,0.28 y 1.26

    Paso 2. Escoja el (los) número (s) con más decimales y cuente cuántos: 0.28 y 1.26 ambos tienen dos decimales.

    Paso 3. Multiplique ambos lados de la ecuación por\(100(1\) y dos ceros) porque la mayor cantidad de decimales es dos.

    \(\begin{align*} \text{Multiply both sides by }100: \quad 100 \times(0.7+0.28 x) &= 100 \times(1.26) \\ \text{Distribute}: \quad \quad \quad \quad 100 \times 0.7+100 \times 0.28 x &= 100 \times 1.26 \\ 70+28 x & = 126 \end{align*}\)

    Paso 4. Proceder a resolver la ecuación lineal como de costumbre.

    \[70+28 x=126\nonumber\]

    \[-70 \quad-70\nonumber\]

    \[\Longrightarrow 28 x=56\nonumber\]

    \[\Longrightarrow \frac{28 x}{28}=\frac{56}{28}\nonumber\]

    \[\Longrightarrow x=2\nonumber\]

    c)\(0.5 x-0.235=0.06\)

    Paso 1. Observe todos los números decimales en la ecuación dada: 0.5, 0.235 y 0.06.

    Paso 2. Escoja el (los) número (s) con más decimales y cuente cuántos: 0.235 tiene tres decimales.

    Paso 3. Multiplique ambos lados de la ecuación por 1000 (1 y tres ceros) porque la mayor cantidad de decimales es tres.

    \(\begin{align*} \text{Multiply both sides by }1000: \quad 1000 \times(0.5 x-0.235) &= 1000 \times(0.06) \\ \text{Distribute}: \quad \quad \quad \quad 1000 \times 0.5 x-1000 \times 0.235 &= 1000 \times 0.06 \\ 500 x-235 & = 60 \end{align*}\)

    Paso 4. Proceder a resolver la ecuación lineal como de costumbre

    \[500 x-235=60\nonumber\]

    \[+235 \quad+235\nonumber\]

    \[\Longrightarrow 500 x=295\nonumber\]

    \[\Longrightarrow \frac{500 x}{500}=\frac{295}{500}\nonumber\]

    \[\Longrightarrow x=\frac{5 \cdot 59}{5 \cdot 100}\nonumber\]

    \[\Longrightarrow x=\frac{59}{100}\nonumber\]

    En el último ejemplo, podríamos haber procedido de la siguiente manera. Escribir la ecuación usando fracciones da

    \[\frac{5}{10} x-\frac{235}{1000}=\frac{6}{100}\nonumber\]

    Obsérvese que en el ejemplo anterior multiplicamos por 1000 que es el mínimo denominador común (siendo los denominadores\(10,1000,\) y 100). Obtenemos

    \[\frac{1000 \cdot 5}{10} x-\frac{1000 \cdot 235}{1000}=\frac{1000 \cdot 6}{100}\nonumber\]

    Simplificando da

    \[100 \cdot 5 x-235=10 \cdot 6, \text { or equivalently, } 500 x-235=60\nonumber\]

    Esto nos lleva al Paso 4 anterior.

    Podemos usar este método para resolver una ecuación lineal que involucra fracciones. Veamos un par de ejemplos.

    Ejemplo 17.3

    Resolver ecuaciones lineales con coeficientes racionales

    a) Resolver\(\frac{1}{2}-\frac{3}{5} x=\frac{1}{6}\).

    Podríamos simplemente tratar esto como en la última sección pero la aritmética involucra fracciones. Restar\(\frac{1}{2}\) de ambos lados (señalando que\(\frac{1}{6}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6}-\frac{3}{6}=-\frac{2}{6}=\)\(\left.-\frac{1}{3}\right)\)

    \[-\frac{3}{5} x=-\frac{1}{3}\nonumber\]

    Ahora multiplicando ambos lados por\(-\frac{5}{3}\) da

    \[x=\left(-\frac{5}{3}\right)\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{5}{9}\nonumber\]

    Pero también podríamos proceder limpiando fracciones:

    Paso 1. Enumere los denominadores. Los denominadores son 2, 5 y 6.

    Paso 2. Encuentra el mínimo denominador común. El mínimo denominador común es 30.

    Paso 3. Multiplique ambos lados de la ecuación por la pantalla LCD (30) y simplifique:

    \[\frac{30 \cdot 1}{2}-\frac{30 \cdot 3}{5} x=\frac{30 \cdot 1}{6} \Longrightarrow 15-18 x=5\nonumber\]

    Paso 4. Resuelve como de costumbre. Restamos 15 de ambos lados:

    \[-18 x=-10\nonumber\]

    Dividiendo por -18 da

    \[x=\frac{-10}{-18}=\frac{5}{9}\nonumber\]

    b) Resolver\(2-\frac{5 x}{3}=\frac{3 x}{5}-\frac{1}{6}\)

    Paso 1. Identificar los denominadores 3, 5 y 6.

    Paso 2. Encuentra el mínimo denominador común 30.

    Paso 3. Multiplica ambos lados de la ecuación por 30 y simplifica.

    \[30 \cdot 2-\frac{30 \cdot 5 x}{3}=\frac{30 \cdot 3 x}{5}-\frac{30 \cdot 1}{6} \Longrightarrow 60-50 x=18 x-5\nonumber\]

    Paso 4. Resuelve como de costumbre. Añadiendo\(50 x\) a ambos lados da

    \[60=68 x-5\nonumber\]

    Agregar 5 a ambos lados da

    \[65=68 x\nonumber\]

    Dividiendo por 68 da

    \[x=\frac{65}{68}\nonumber\]

    Problema de salida

    Resolver:\(0.03 x+2.5 =4.27\)

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