1.20: Problemas de palabras para ecuaciones lineales

Los problemas de palabras son aplicaciones importantes de las ecuaciones lineales. Comenzamos con ejemplos de traducir una oración o frase en inglés a una expresión algebraica.

Ejemplo 18.1

Traducir la frase en una expresión algebraica:

a) Dos veces se agrega una variable a 4

Solución: Llamamos a la variable\(x .\) Dos veces la variable es\(2 x .\) Sumando\(2 x\) a 4 da:

\[4 + 2x\nonumber\]

b) Tres veces se resta un número de 7.

Solución: Tres veces un número es\(3 x .\) Necesitamos restar\(3 x\) de 7. Esto significa:\

\[7-3 x\nonumber\]

c) 8 menos que un número.

Solución: El número se denota por\(x .8\) menos que\(x\) media, que necesitamos restarle 8. Obtenemos:

\[x-8\nonumber\]

Por ejemplo, 8 menos de 10 es\(10-8=2\).

d) Restar\(5 p^{2}-7 p+2\)\(3 p^{2}+4 p\) y simplificar.

Solución: Necesitamos calcular\(3 p^{2}+4 p\) menos\(5 p^{2}-7 p+2:\)

\[\left(3 p^{2}+4 p\right)-\left(5 p^{2}-7 p+2\right)\nonumber\]

Simplificar esta expresión da:

\[\left(3 p^{2}+4 p\right)-\left(5 p^{2}-7 p+2\right)=3 p^{2}+4 p-5 p^{2}+7 p-2 =-2 p^{2}+11 p-2\nonumber\]

e) La cantidad de dinero entregada por monedas de\(x\) diez centavos y\(y\) trimestres.

Solución: Cada centavo vale 10 centavos, por lo que esto da un total de\(10 x\) centavos. Cada trimestre vale 25 centavos, por lo que esto da un total de\(25 y\) centavos. Sumando las dos cantidades da un total de

\[10 x+25 y \text{ cents or } .10x + .25y \text{ dollars}\nonumber\]

Ahora nos ocupamos de problemas de palabras que describen directamente una ecuación que involucra una variable, que luego podemos resolver.

Ejemplo 18.2

Resuelve los siguientes problemas de palabras:

a) Cinco veces un número desconocido es igual a 60. Encuentra el número.

Solución: Traducimos el problema al álgebra:

\[5x = 60\nonumber\]

Resolvemos esto para\(x\):

\[x=\frac{60}{5}=12\nonumber\]

b) Si se resta 5 del doble de un número desconocido, la diferencia es\(13 .\) Encontrar el número.

Solución: Traducir el problema en una ecuación algebraica da:

\[2x − 5 = 13\nonumber\]

Resolvemos esto para\(x\). Primero, agrega 5 a ambos lados.

\[2x = 13 + 5, \text{ so that } 2x = 18\nonumber\]

Dividiendo por 2 da\(x=\frac{18}{2}=9\).

c) Un número restado de 9 es igual a 2 veces el número. Encuentra el número.

Solución: Traducimos el problema al álgebra.

\[9 − x = 2x\nonumber\]

Esto lo resolvemos de la siguiente manera. Primero, agregue\(x\):

\[9 = 2x + x \text{ so that } 9 = 3x\nonumber\]

Entonces la respuesta es\(x=\frac{9}{3}=3\)

d) Multiplicar un número desconocido por cinco es igual a sumar doce al número desconocido. Encuentra el número.

Solución: Tenemos la ecuación:

\[5x = x + 12.\nonumber\]

Restar\(x\) da

\[4x = 12.\nonumber\]

Dividir ambos lados por 4 da la respuesta:\(x=3\).

e) Sumando nueve a un número da el mismo resultado que restar siete de tres veces el número. Encuentra el número.

Solución: Sumando 9 a un número se escribe como\(x+9,\) mientras se resta 7 de tres veces el número se escribe como\(3 x-7\). Por lo tanto, obtenemos la ecuación:

\[x + 9 = 3x − 7.\nonumber\]

Resolvemos\(x\) por sumando 7 en ambos lados de la ecuación:

\[x + 16 = 3x.\nonumber\]

Luego restamos\(x:\)

\[16 = 2x.\nonumber\]

Después de dividir por\(2,\) obtenemos la respuesta\(x=8\)

Los siguientes problemas de palabras consideran aplicaciones del mundo real. Requieren modelar una situación dada en forma de ecuación.

Ejemplo 18.3

Resuelve los siguientes problemas de palabras:

a) Debido a la inflación, el precio de una barra de pan ha aumentado en\(5 \%\). ¿Cuánto cuesta ahora la hogaza de pan, cuando su precio era el año\(\$ 2.40\) pasado?

Solución: Calculamos el incremento de precio como\(5 \% \cdot \$ 2.40 .\) tenemos

\[5 \% \cdot 2.40=0.05 \cdot 2.40=0.1200=0.12\nonumber\]

Debemos agregar el incremento de precio al precio antiguo.

\[2.40+0.12=2.52\nonumber\]

El nuevo precio es por lo tanto\(\$ 2.52\).

b) Para completar un trabajo, se paga a tres trabajadores a razón de\(\$ 12\) hora. Si el salario total por el trabajo era\(\$ 180,\) entonces ¿cuántas horas gastaron los tres trabajadores en el puesto?

Solución: Denotamos el número de horas por\(x\). Entonces el precio total se calcula como el precio por hora\((\$ 12)\) multiplicado por el número de trabajadores por el número de horas\((3) .\) Obtenemos la ecuación

\[12 \cdot 3 \cdot x=180\nonumber\]

Simplificando estos rendimientos

\[36 x=180\nonumber\]

Dividiendo por 36 da

\[x=\frac{180}{36}=5\nonumber\]

Por lo tanto, los tres trabajadores necesitaron 5 horas para el trabajo.

c) Un agricultor corta una cerca de 300 pies en dos piezas de diferentes tamaños. La pieza más larga debe ser cuatro veces más larga que la pieza más corta. ¿Cuánto duran las dos piezas?

\[x+4 x=300\nonumber\]

Combinando los términos similares a la izquierda, obtenemos

\[5 x=300\nonumber\]

Dividiendo por 5, obtenemos que

\[x=\frac{300}{5}=60\nonumber\]

Por lo tanto, la pieza más corta tiene una longitud de 60 pies, mientras que la pieza más larga tiene cuatro veces esta longitud, es decir\(4 \times 60\) pies\(=240\) pies.

d) Si 4 bloques pesan 28 onzas, ¿cuántos bloques pesan 70 onzas?

Solución: Denotamos el peso de un bloque por\(x .\) Si pesan 4 bloques\(28,\) entonces un bloque pesa\(x=\frac{28}{4}=7\)

Cuantos bloques pesan\(70 ?\) Bueno, solo nos falta encontrar\(\frac{70}{7}=10 .\) Entonces, la respuesta es\(10 .\)

Nota Puede resolver este problema configurando y resolviendo la ecuación fraccionaria\(\frac{28}{4}=\frac{70}{x}\). Resolver tales ecuaciones se aborda en el capítulo 24.

e) Si un rectángulo tiene una longitud que es tres más del doble de ancho y el perímetro es de 20 pulgadas, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?

Solución: Denotamos el ancho por\(x\). Entonces la longitud es\(2 x+3\). El perímetro es de 20 pulgadas por un lado y el\()+2(\) ancho de\(2(\) largo\()\) por el otro. Así que tenemos

\[20=2 x+2(2 x+3)\nonumber\]

Distribuir y recopilar términos similares dan

\[20=6 x+6\nonumber\]

Restar 6 de ambos lados de la ecuación y luego dividir ambos lados de la ecuación resultante por 6 da:

\[20-6=6 x \Longrightarrow 14=6 x \Longrightarrow x=\frac{14}{6} \text { in }=\frac{7}{3} \text { in }=2 \frac{1}{3} \text { in. }\nonumber\]

f) Si un círculo tiene una circunferencia de 4in, ¿cuál es su radio?

Solución: Sabemos que\(C=2 \pi r\) dónde\(C\) está la circunferencia y\(r\) es el radio. Entonces en este caso

\[4=2 \pi r\nonumber\]

Dividiendo ambos lados por\(2 \pi\) da

\[r=\frac{4}{2 \pi}=\frac{2}{\pi} \text { in } \approx 0.63 \mathrm{in}\nonumber\]

g) El perímetro de un triángulo equilátero es de 60 metros. ¿Cuánto dura cada lado?

Solución: Dejar\(x\) igualar el lado del triángulo. Entonces el perímetro es, por un lado,\(60,\) y por otro lado\(3 x .\) Así\(3 x=60\) y dividiendo ambos lados de la ecuación por 3 da\(x=20\) metros.

h) Si un jardinero tiene que\(\$ 600\) gastar en una barda que cuesta\(\$ 10\) por pie lineal y el área a cercar es rectangular y debe ser el doble de larga que es ancha, ¿cuáles son las dimensiones del área cercada más grande?

Solución: El perímetro de un rectángulo es\(P=2 L+2 W\). Dejar\(x\) ser el ancho del rectángulo. Entonces la longitud es\(2 x .\) El perímetro es\(P=2(2 x)+2 x=6 x\). El perímetro más grande es\(\$ 600 /(\$ 10 / f t)=60\) ft. Entonces\(60=6 x\) y dividiendo ambos lados por 6 da\(x=60 / 6=10\). Entonces las dimensiones son de 10 pies por 20 pies.

i) Un trapecio tiene un área de 20.2 pulgadas cuadradas con una base que mide 3.2 pulgadas y la altura de 4 pulgadas. Encuentra la longitud de la otra base.

Solución: Dejar\(b\) ser la longitud de la base desconocida. El área del trapecio es por un lado 20.2 pulgadas cuadradas. Por otro lado es\(\frac{1}{2}(3.2+b) \cdot 4=\)\(6.4+2 b .\) tan

\[20.2=6.4+2 b\nonumber\]

Multiplicando ambos lados por 10 da

\[202=64+20 b\nonumber\]

Restar 64 de ambos lados da

\[b=\frac{138}{20}=\frac{69}{10}=6.9 \text { in }\nonumber\]

y dividiendo por 20 da

Problema de salida

Escribe una ecuación y resuelve: Un automóvil usa 12 galones de gasolina para recorrer 100 millas. ¿Cuántos galones se necesitarían para recorrer 450 millas?