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1.22: Resolver ecuaciones cuadráticas por factorización

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    108605
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Como se mencionó anteriormente, la resolución de ecuaciones depende del tipo de ecuación en cuestión. Puede revisar la resolución de ecuaciones lineales en el capítulo 16. Este capítulo tratará de resolver ecuaciones cuadráticas. Se trata de ecuaciones que contienen la segunda potencia de una variable y nada superior.

    Ejemplo 20.1

    Ejemplos de ecuaciones cuadráticas:

    a)\(x^{2}-3 x-18=0\) es una ecuación cuadrática.

    b)\(x^{2}=81\) es una ecuación cuadrática.

    c)\(4 x^{2}-36=0\) es una ecuación cuadrática.

    d) no\(x^{3}-27=0\) es una ecuación cuadrática, ya que incluye una variable de tercer grado - no discutiremos resolver tales ecuaciones en esta clase.

    Resolviendo ecuaciones cuadráticas

    Resolver ecuaciones cuadráticas implica tres pasos básicos. Veremos cada uno de estos pasos a medida que procedamos a resolver\(x^{2}=100\).

    Paso 1. Forma estándar

    Decimos que una ecuación está en forma estándar si todos los términos se recogen en un lado del signo igual, y solo hay un 0 en el otro lado. Por ejemplo, las ecuaciones a) y c) del ejemplo anterior son ecuaciones cuadráticas en forma estándar.

    Si estamos trabajando con una ecuación que no está en forma estándar, podemos llegar fácilmente a la forma deseada sumando o restando términos de ambos lados.

    Por ejemplo, la ecuación no\(x^{2}=100\) está en forma estándar. Para llegar a la forma estándar, restamos 100 de ambos lados de la ecuación:

    \[x^{2}=100\nonumber\]

    \[-100 \quad-100\nonumber\]

    \[\Longrightarrow x^{2}-100=0\nonumber\]

    Nota: Si la ecuación en cuestión ya está en forma estándar, entonces nos saltamos este paso.

    Paso 2. Factor

    Ahora que todos los términos están en un lado de la ecuación, factorizamos la expresión cuadrática en cuestión. Es una buena idea revisar las técnicas de factorización introducidas en los capítulos 12, 13 y 14.

    \ [\ begin {align*}
    x^ {2} -100 &=0\\
    \ Longrightarrow x^ {2} - (10) ^ {2} &=0\\
    \ Longrightarrow (x-10) (x+10) &=0
    \ end {align*}\ nonumber\]

    Paso 3. Utilice la propiedad de producto cero

    Propiedad de producto cero

    Si\(A \cdot B=0\) entonces\(A=0\) o\(B=0\).

    La razón por la que esta propiedad es útil para resolver ecuaciones cuadráticas es porque después de haber puesto su ecuación en forma estándar y factorizada, se encuentra exactamente en una situación en la que puede aplicar la Propiedad de Producto Cero.

    \[(x-10)(x+10)=0\nonumber\]

    se traduce en:

    \[(x-10)=0 \text { or }(x+10)=0\nonumber\]

    y ahora, ambas ecuaciones en cuestión son lineales, y resolverlas es cuestión de aislar la variable con algunas manipulaciones algebraicas. Observe que ahora tiene dos ecuaciones lineales, cada una dará su propia solución. Entonces, tu ecuación cuadrática original tendrá dos soluciones.

    \[x − 10 = 0 \text{ gives }x = 10\nonumber\]

    y

    \[x + 10 = 0 \text{ gives }x = −10\nonumber\]

    Entonces, las soluciones de la ecuación\(x^{2}=100\) son\(x=10\) y\(x=-10\).

    Paso 4. Cheque (opcional)

    No es obligatorio (a menos que la pregunta lo pida específicamente), pero es una buena costumbre verificar si las soluciones obtenidas son correctas. Para verificar si nuestras soluciones son correctas, necesitamos sustituir 10 y -10 en la ecuación original\(x^{2}=100\).

    Eso lo vemos fácilmente\((10)^{2}=100\) y\((-10)^{2}=100,\) así ambas soluciones funcionan.

    Ejemplo 20.2

    Resolver:

    a)\(5(x-2)(x+3)=0\)

    Observe que esta ecuación ya está en forma estándar y factorizada. Para aplicar la Propiedad de Producto Cero para

    \[5(x-2)(x+3)=0\nonumber\]

    Primero dividimos ambos lados de la ecuación por 5 (o multiplicamos por\(\frac{1}{5}\)):

    \[\frac{5(x-2)(x+3)}{5}=\frac{0}{5}\nonumber\]

    Esto da

    \[(x-2)(x+3)=0\nonumber\]

    Ahora aplicamos la Propiedad de Producto Cero

    \[(x-2)=0 \text { or }(x+3)=0\nonumber\]

    \[x-2=0 \text{ gives } x=2\nonumber\]

    y

    \[x + 3 = 0 \text{ gives } x = −3\nonumber\]

    Entonces, las soluciones de la ecuación\(5(x-2)(x+3)=0\) son\(x=2\) y\(x=-3\). Podemos verificar fácilmente que\(5(x-2)(x+3)\) evaluado en\(x=2\) da 0 y también en\(x=-3\) da 0.

    b)\((5 x-4)(x-6)=0\)

    Observe que esta ecuación ya está en forma estándar y factorizada, y podemos aplicar directamente la Propiedad de Producto Cero.

    \[(5 x-4)=0 \text { or }(x-6)=0\nonumber\]

    \[5 x-4=0 \text{ gives }5x = 4 \text{ and thus }x=\frac{4}{5}\nonumber\]

    y

    \[x − 6 = 0 \text{ gives } x = 6\nonumber\]

    Entonces, las soluciones de la ecuación\((5 x-4)(x-6)=0\) son\(x=\frac{4}{5}\) y\(x=6\).

    Ejemplo 20.3

    Resolver las ecuaciones cuadráticas dadas:

    a)\(x^{2}-3 x-18=0\)

    Esta es una ecuación cuadrática en forma estándar.

    \[\begin{array} {ll} \text{Standard Form} & x^{2}-3 x-18=0 \\ \text{Factor} & \Longrightarrow(x-6)(x+3)=0 \\ \text{Zero-Product Property} & \Longrightarrow(x-6)=0 \text { or }(x+3)=0 \end{array}\nonumber\]

    \[x − 6 = 0 \text{ gives } x = 6\nonumber\]

    y

    \[x + 3 = 0 \text{ gives } x = −3\nonumber\]

    Entonces\(x=6\) o\(x=-3\).

    b)\(x^{2}=81\)

    Esta es una ecuación cuadrática no en forma estándar.

    \[\begin{array} {ll} \text{Standard Form} & x^{2}-81=0 \\ \text{Factor} & \Longrightarrow x^{2}-(9)^{2}=0 \\ & \Longrightarrow(x-9)(x+9)=0 \\ \text{Zero-Product Property} & \Longrightarrow(x-9)=0 \text { or }(x+9)=0 \end{array}\nonumber\]

    \[x − 9 = 0 \text{ gives } x = 9 \nonumber\]

    y

    \[x + 9 = 0 \text{ gives } x = −9 \nonumber\]

    Las soluciones son\(x=9\) y\(x=-9\).

    c)\(3 x^{2}-27=0\)

    Esta es una ecuación cuadrática en forma estándar.

    \[\begin{array} {ll} \text{Standard Form} & 3 x^{2}-27=0 \\ \text{Factor} & \Longrightarrow 3 \cdot x^{2}-3 \cdot 9=0 \\ & \Longrightarrow 3\left(x^{2}-9\right)=0 \\ & \Longrightarrow 3\left(x^{2}-3^{2}\right)=0 \\ & \Longrightarrow 3(x-3)(x+3)=0 \\ \text{Zero-Product Property} & \Longrightarrow(x-3)=0 \text { or }(x+3)=0 \end{array}\nonumber\]

    \[x − 3 = 0 \text{ gives }x = 3 \nonumber\]

    y

    \[x + 3 = 0 \text{ gives } x = −3 \nonumber\]

    Las soluciones son\(x=3\) y\(x=-3\).

    d)\(x^{2}+5 x+4=0\)

    \[\begin{array} {ll} \text{Standard Form} & x^{2}+5 x+4=0 \\ \text{Factor} & \Longrightarrow(x+4)(x+1)=0 \\ \text{Zero-Product Property} & \Longrightarrow(x+4)=0 \text { or }(x+1)=0 \end{array}\nonumber\]

    \[x + 4 = 0 \text{ gives } x = −4\nonumber\]

    y

    \[x + 1 = 0 \text{ gives } x= -1\nonumber\]

    Entonces si\(x^{2}+5 x+4=0\) entonces\(x=-4\) o\(x=-1\).

    e)\(x^{2}=7 x\)

    \[\begin{array} {ll} \text{Standard Form} & x^{2}-7 x=0 \\ \text{Factor} & \Longrightarrow x \cdot x-7 \cdot x=0 \\ & \Longrightarrow x(x-7)=0 \\ \text{Zero-Product Property} & \Longrightarrow x=0 \text { or }(x-7)=0 \end{array}\nonumber\]

    \[x=0 \text{ gives }x=0\nonumber\]

    y

    \[x-7=0 \text{ gives } x= 7\nonumber\]

    Las soluciones son\(x=0\) y\(x=7\)

    f)\(4 x^{2}+20 x=0\)

    \[\begin{array} {ll} \text{Standard Form} & 4 x^{2}+20 x=0 \\ \text{Factor} & \Longrightarrow 4 x \cdot x+4 x \cdot 5=0 \\ & \Longrightarrow 4 x(x+5)=0 \\ \text{Zero-Product Property} & \Longrightarrow 4 x=0 \text { or }(x+5)=0 \end{array}\nonumber\]

    \[4x = 0 \text{ gives } \frac{4 x}{4}=\frac{0}{4} \text{ thus } x=0\nonumber\]

    y

    \[x + 5 = 0 \text{ gives } x = −5\nonumber\]

    Las soluciones son\(x=0\) y\(x=-5\).

    g)\(4 x^{2}-25=0\)

    \[\begin{array} {ll} \text{Standard Form} & 4 x^{2}-25=0 \\ \text{Factor} & \Longrightarrow(2 x)^{2}-(5)^{2}=0 \\ & \Longrightarrow(2 x-5)(2 x+5)=0 \\ \text{Zero-Product Property} & \Longrightarrow(2 x-5)=0 \text { or }(2 x+5)=0 \end{array}\nonumber\]

    \[2 x-5=0 \text{ gives } 2 x=5 \text{ thus } x=\frac{5}{2} \nonumber\]

    y

    \[2 x+5=0 \text{ gives } 2 x=-5 \text{ thus } x=\frac{-5}{2} \nonumber\]

    Las soluciones son\(x=\frac{5}{2}\) o\(x=-\frac{5}{2}\)

    h)\(3 x^{2}+7 x+2=0\)

    \[\begin{array} {ll} \text{Standard Form} & 3 x^{2}+7 x+2=0 \\ \text{Factor} & \Longrightarrow 3 x^{2}+6 x+x+2=0 \\ & \Longrightarrow 3 x \cdot x+3 x \cdot 2+x+2=0 \\ & \Longrightarrow 3 x(x+2)+(x+2)=0 \\ & \Longrightarrow(3 x+1)(x+2)=0 \\ \text{Zero-Product Property} & \Longrightarrow(3 x+1)=0 \text { or }(x+2)=0 \end{array}\nonumber\]

    \[3 x+1=0 \text{ gives } 3 x=-1 \text{ thus } x=\frac{-1}{3} \nonumber\]

    y

    \[x+2=0 \text{ gives } x=-2 \nonumber\]

    Las soluciones son\(x=-\frac{1}{3}\) y\(x=-2\).

    i)\(x^{2}=-2 x-1\)

    \[\begin{array} {ll} \text{Standard Form} & \Longrightarrow x^{2}+2 x+1=0 \\ \text{Factor} & \Longrightarrow(x+1)(x+1)=0 \\ \text{Zero-Product Property} & \Longrightarrow(x+1)=0 \text { or }(x+1)=0 \end{array}\nonumber\]

    \[x+1=0 \text{ gives } x=-1 \nonumber\]

    y

    \[x+1=0 \text{ gives } x=-1 \nonumber\]

    Ya que ambas soluciones son iguales, decimos que tenemos una solución doble\(x=-1\).

    j)\(2 x^{2}-32=0\)

    \[\begin{array} {ll} \text{Standard Form} & \Longrightarrow 2 x^{2}-32=0 \\ \text{Factor} & \\ \Longrightarrow 2 \cdot x^{2}-2 \cdot 16=0 & \Longrightarrow 2\left(x^{2}-16\right)=0 \\ & \Longrightarrow 2\left(x^{2}-4^{2}\right)=0 \\ & \Longrightarrow 2(x-4)(x+4)=0\\ & \Longrightarrow(x-4)(x+4)=0 \\ \text{Zero-Product Property} & \Longrightarrow(x-4)=0 \text { or }(x+4)=0 \end{array}\nonumber\]

    \[x-4=0 \text{ gives } x=4 \nonumber\]

    y

    \[x+4=0 \text{ gives } x=-4 \nonumber\]

    Las soluciones son\(x=4\) y\(x=-4\).

    k)\(3 x^{2}-3 x-6=0\)

    \[\begin{array} {ll} \text{Standard Form} & 3 x^{2}-3 x-6=0 \\ \text{Factor} & \Longrightarrow 3 \cdot x^{2}-3 \cdot x-3 \cdot 2=0 \\ & \Longrightarrow 3\left(x^{2}-x-2\right)=0 \\ & \Longrightarrow 3(x-2)(x+1)=0 \\ & \Longrightarrow(x-2)(x+1)=0 \\ \text{Zero-Product Property} & \Longrightarrow(x-2)=0 \text { or }(x+1)=0 \end{array}\nonumber\]

    \[x-2=0 \text{ gives } x=2 \nonumber\]

    y

    \[x+1=0 \text{ gives } x=-1 \nonumber\]

    Las soluciones son\(x=2\) y\(x=-1\).

    Si un rectángulo tiene área 15 pies cuadrados y su longitud es dos pies menos que su ancho entonces cuáles son las dimensiones del rectángulo.

    Dejar\(x\) representar el ancho. Entonces la longitud es\(x-2\). El área, por un lado es de 15 pies cuadrados, y por otro lado es\(l \times w.\) So

    \[15=x(x-2)\nonumber\]

    Primero distribuimos para obtener

    \[15=x^{2}-2 x\nonumber\]

    Ahora lo ponemos en forma estándar restando 15 de ambos lados:

    \[x^{2}-2 x-15=0\nonumber\]

    Ahora facetamos para que podamos usar la Propiedad de Producto Cero:

    \[(x-5)(x+3)=0\nonumber\]

    Entonces\(x-5=0\) o\(x+3=0,\) que da eso\(x=5\) o\(x=-3 .\) Pero\(x\) es el ancho de un rectángulo y por lo tanto no puede ser negativo. La única solución a este problema es\(x=5\) (y\(x-2=3\)). Entonces las dimensiones del rectángulo son 5 pies por 3 pies.

    Resolviendo Ecuaciones Cuadráticas De La Forma\(x^2 = A\)

    En el caso especial cuando una ecuación cuadrática es de la forma\(x^{2}=A\), podemos recurrir a un atajo para resolverla. Ten en cuenta que este atajo solo funciona en este caso especial.

    Primero notamos que si\(x^{2}=9\) entonces, por inspección, las soluciones son 3 y -3 Vemos que en general para resolver\(x^{2}=A,\) vemos que las soluciones son\(x=\sqrt{A}\) y\(x=-\sqrt{A}\).

    Observe que si usamos el método de factorización, la ecuación\(x^{2}=A\) se vuelve\(x^{2}-A=0\) en forma estándar, y la forma factorizada de la ecuación es la\((x-\)\(\sqrt{A})(x+\sqrt{A})=0\) que da las soluciones\(x=\sqrt{A}\) y\(x=-\sqrt{A}\).

    Ejemplo 20.4

    Usa el atajo anterior para resolver la ecuación cuadrática especial dada:

    a)\(x^{2}=100\)

    Paso 1. \(\sqrt{100}=10\)

    Paso 2. Las soluciones son\(x=10\) y\(x=-10\)

    b)\(x^{2}=72\)

    Paso 1. \(\sqrt{72}=6 \sqrt{2}\)

    Paso 2. Las soluciones son\(x=6 \sqrt{2}\) y\(x=-6 \sqrt{2}\)

    c)\(x^{2}-75=0\)

    Paso 1. \(\sqrt{75}=5 \sqrt{3}\)

    Paso 2. Las soluciones son\(x=5 \sqrt{3}\) y\(x=-5 \sqrt{3}\)

    d) El área de un cuadrado es de 20 pies cuadrados. ¿Cuánto dura cada lado?

    Dejar\(x\) ser la longitud de cada lado. Entonces\(x^{2}=20 .\) Así\(x=\sqrt{20}=2 \sqrt{5} .\) Tenga en cuenta que no puede ser\(-2 \sqrt{5}\) ya que\(x\) es una longitud. Cada lado es\(2 \sqrt{5}\) ft.

    Aplicación al Teorema de Pitágoras

    El Teorema de Pitágoras relaciona las longitudes de las patas de un triángulo rectángulo y la hipotenusa.

    El Teorema de Pitágoras: Si\(a\) y\(b\) son las longitudes de las patas del triángulo rectángulo y\(c\) es la longitud de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) como se ve en esta figura,

    clipboard_e1f77e1e7cd745949914c10c1e8d26110.png

    entonces

    \[a^{2}+b^{2}=c^{2}\nonumber\]

    observación 20.5

    En el teorema a y b son intercambiables.

    Ejemplo 20.6

    Considera el siguiente triángulo rectángulo.

    clipboard_e65e0b01c47b834e234a8a192a855cb35.png

    Satisface la conclusión del Teorema de Pitágoras desde\(3^{2}+4^{2}=5^{2}\) (verifícalo).

    observación 20.7

    No tomes en serio las proporciones de los triángulos dibujados, lo que parece ser la pierna más corta puede no serlo de hecho. Estos dibujos son solo caricaturas que exhiben una relación entre las piernas ya que se relacionan con los ángulos.

    Si conocemos cualquiera de los dos lados de un triángulo rectángulo podemos encontrar el tercero usando el Teorema de Pitágoras. Veremos algunos ejemplos.

    Ejemplo 20.8

    Averiguar\(x\) si

    clipboard_e3952fa2d3b58c01897395d588b5e8407.png

    Por el Teorema de Pitágoras (señalando que la longitud de la hipotenusa es 9 y así 81 pertenece en un lado de la igualdad)

    \[x^{2}+6^{2}=9^{2} \text{, or equivalently ,} x^{2}+36=81 \nonumber\]

    para que

    \[x^{2}=81-36 \text{, or equivalently ,} x^{2}=45 \nonumber\]

    Ahora como\(x\) representa una longitud, es positivo para que

    \[x=\sqrt{45}=\sqrt{9 \cdot 5}=3 \sqrt{5}\nonumber\]

    Ejemplo 20.9

    Encuentra\(x\) dada la siguiente imagen

    clipboard_eff202c93472db9cc5d53f54484d96c9c.png

    Por el Teorema de Pitágoras (señalando que la longitud de la hipotenusa es\(x\) y así\(x^{2}\) pertenece en un lado de la igualdad)

    \[6^{2}+9^{2}=x^{2} \text{, or equivalently ,} 36+81=x^{2} \nonumber\]

    para que

    \[ x^{2}=117 \nonumber\]

    Ahora como\(x\) representa una longitud, es positivo para que

    \[ x=\sqrt{117}=\sqrt{9 \cdot 13}=3 \sqrt{13} \nonumber\]

    Ejemplo 20.10

    Supongamos que debes llegar a una ventana de una casa con una escalera para que la escalera se encuentre con la casa a 7 pies del suelo. Supongamos también que la escalera debe estar a 5 pies de la base de la casa. ¿Cuánto tiempo debe ser la escalera?

    Esta información lleva al triángulo (no dibujado a escala):

    clipboard_e1ae599c26ec45928604b92880c1074d7.png

    Entonces por el Teorema de Pitágoras dice

    \[ 5^{2}+7^{2}=x^{2} \nonumber\]

    así que eso\(x^{2}=74\). Por lo tanto, la escalera debe tener\(\sqrt{74}\) pies de largo, que es aproximadamente 8.6 pies de largo.

    Problema de salida

    1. clipboard_e9625f87f9a05b609d788f5dc66b0ed30.pngResolver:\(x^{2}-5 x=6\)
    2. Resolver:\(16 x^{2}=81\)
    3. Resolver:\(-24 x=10 x^{2}\)
    4. Resolver para\(x\) en el triángulo rectángulo dado.

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