1.23: Desigualdades lineales

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En esta sección resolvemos desigualdades lineales.

Consideremos la desigualdad$2 x-1>2$. Resolver esto significa encontrar todos los valores de$x$ que satisfagan la desigualdad (para que cuando conectes esos valores para$x$ obtengas una declaración verdadera). Por ejemplo, ya que$2 \cdot 5-1=9>2, x=5$ es una solución y ya que no$2 \cdot 1-1=1 \not>2, x=1$ es una solución.

Podemos resolver una desigualdad de la misma manera que resolvemos una igualdad con una excepción importante:

La multiplicación o división por un número negativo invierte la dirección de la desigualdad.

Por ejemplo$-3 x>9 \Longleftrightarrow \frac{-3 x}{-3}<\frac{9}{-3} \Longleftrightarrow x<-3$. Vemos que
$x=-10$ satisface todas estas desigualdades y no$x=3$ satisface ninguna de ellas. Podemos graficar la solución en la recta numéricos:

$clipboard_efcf6d3b0ad32a277fc29febc7bb7b300.png$

Pero$3 x>9 \Longleftrightarrow \frac{3 x}{3}>\frac{9}{3} \Longleftrightarrow x>3$.

$clipboard_e9e89fc9579852b60b5f6e6178e374fb3.png$

Por ejemplo, comprobar que$x=5$ (que es mayor que 3) satisface la desigualdad.

Ejemplo 21.1

Resolver la desigualdad dada y representar la solución en la recta numéricos:

a)$5 x>10 \Longleftrightarrow x>\frac{10}{5} \Longleftrightarrow x>2$

$clipboard_e69bd65626bef756f24bbc854e38b6c09.png$

b)$-10 x \leq-5 \Longleftrightarrow x \geq \frac{-5}{-10} \Longleftrightarrow x \geq \frac{1}{2}$

$clipboard_e7ff97fb7d1a502850f6e7b0287250818.png$

c)$-x>-2 \Longleftrightarrow x<\frac{-2}{-1} \Longleftrightarrow x<2$

$clipboard_e7f49abafa8b8e3e3af1aedd9c203fd09.png$

d)$2-x \geq 2 x-5 \Longleftrightarrow 7-x \geq 2 x \Longleftrightarrow 7 \geq 3 x \Longleftrightarrow \frac{7}{3} \geq x$ (o$\left.x \leq \frac{7}{3}\right)$

$clipboard_e21cf36535d9db45e14f0bb3ff0501b95.png$

e)$2-3 x \geq-2 x+7 \Longleftrightarrow-5-3 x \geq-2 x \Longleftrightarrow-5 \geq x$ (o$x \leq-5)$

$clipboard_ed53e5a20ed016342e96b6f880306a6dd.png$

f)$3(x-2)+5 \leq 5-2(x+1) \Longleftrightarrow 3 x-6+5 \leq 5-2 x-2 \Longleftrightarrow 3 x-1 \leq 3-2 x \Longleftrightarrow 3 x+2 x \leq 3+1 \Longleftrightarrow 5 x \leq 4 \Longleftrightarrow x \leq \frac{4}{5}$

$clipboard_e29e83f963ad9cd4628ed09fdf1862a6b.png$

Nota: Hay más de una manera de hacer un problema. Por ejemplo:

$-3 x-2<1 \Longleftrightarrow-3 x<2+1 \Longleftrightarrow-3 x<3 \Longleftrightarrow \frac{-3 x}{-3}>\frac{3}{-3} \Longleftrightarrow x>-1 $

$-3 x-2<1 \Longleftrightarrow-2<1+3 x \Longleftrightarrow-2-1<3 x \Longleftrightarrow-3<3 x \Longleftrightarrow-1<x($que es lo mismo que$x>-1)$

$clipboard_e4daab39e5a4895d73f78c497943d4913.png$

Problema de salida

Resuelve la desigualdad y muestra la gráfica de la solución:

\[7 x+4 \leq 2 x-6\nonumber\]