1.24: Simplificar, multiplicar y dividir expresiones racionales

Recordamos que un número racional es aquel que se puede escribir como una relación\(\frac{p}{q}\) donde\(p\) y\(q\) son enteros y\(q \neq 0 .\) Una expresión racional (también llamada fracción algebraica) es aquella que se puede escribir como una relación\(\frac{P}{Q}\) donde\(P\) y\(Q\) son polinomios y \(Q \neq 0 .\)Así como podemos escribir un número en forma más simple (o reducida), podemos hacer lo mismo con expresiones racionales.

El principio fundamental de las expresiones racionales

Para polinomios\(P, Q\) y\(R\) con\(Q \neq 0\) y\(R \neq 0\)

\[\frac{P}{Q}=\frac{P \cdot R}{Q \cdot R}\nonumber\]

Para simplificar una expresión racional

• Paso 1. Encuentra el Factor Común Mayor (GCF) tanto del numerador como del denominador, si es posible.
• Paso 2. Facturar completamente tanto el numerador como el denominador.
• Paso 3. Utilice el Principio Fundamental de las Expresiones Racionales para dividir el factor común del numerador y denominador.

Ejemplo 22.1

Simplificar la siguiente expresión racional\(\dfrac{25 a^{6} b^{3}}{5 a^{3} b^{5}}\).

Comenzamos por señalar que el GCF del numerador y denominador es\(5 a^{3} b^{3} .\) Usando esto, podemos factorizar el numerador y denominador para obtener

\[\frac{25 a^{6} b^{3}}{5 a^{3} b^{5}}=\frac{\left(5 a^{3} b^{3}\right)\left(5 a^{3}\right)}{\left(5 a^{3} b^{3}\right)\left(b^{2}\right)}\nonumber\]

Por último, podemos utilizar el Principio Fundamental de las Expresiones Racionales para simplificar

\[\frac{\left(\not{5 a^{3} b^{3}}\right)\left(5 a^{3}\right)}{\left(\not{5 a^{3} b^{3}}\right)\left(b^{2}\right)}=\frac{5 a^{3}}{b^{2}}\nonumber\]

Otra forma de abordar este mismo problema es factorizar completamente tanto el numerador como el denominador y luego cancelar en su caso

\[\begin{align*} \frac{25 a^{6} b^{3}}{5 a^{3} b^{5}} &=\frac{\not 5 \cdot 5 \cdot \cancel{a} \cdot \cancel{a} \cdot \cancel{a} \cdot a \cdot a \cdot a \cdot \cancel{b} \cdot \cancel{b} \cdot \cancel{b}}{\not 5 \cdot \cancel{a} \cdot \cancel{a} \cdot \cancel{a} \cdot \cancel{b} \cdot \cancel{b} \cdot \cancel{b} \cdot b \cdot b} \\[4pt] &=\frac{5 a^{3}}{b^{2}}\end{align*}\]

Ejemplo 22.2

Simplificar:

\[\frac{2 x+2}{x^{2}-1}\nonumber\]

Primero factorizamos tanto el numerador como el denominador, luego, una vez en forma factorizada, podemos usar El Principio Fundamental de las Expresiones Racionales para simplificar.

\[\frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)}\nonumber\]

Ahora fíjate que\((x+1)\) está en común, entonces, podemos cancelarlo. Finalmente, nuestra expresión racional simplificada es:

\[\frac{2}{(x-1)}\nonumber\]

Ejemplo 22.3

Simplificar:

\[\frac{4 x-16}{x^{2}-x-12}=\frac{4(x-4)}{(x-4)(x+3)}=\frac{4}{(x+3)}\nonumber\]

Multiplicar expresiones racionales

Multiplicar expresiones racionales

Dejar\(P, Q, R, S\) ser polinomios con\(Q \neq 0\) y\(S \neq 0\) luego

\[\frac{P}{Q} \cdot \frac{R}{S}=\frac{P \cdot R}{Q \cdot S}\nonumber\]

Ejemplo 22.4

Multiplica y escribe tu respuesta en la forma más simple:

\[\frac{10 x^{2}}{2 y^{2}} \cdot \frac{14 y^{5}}{5 x^{3}}\nonumber\]

\[\frac{10 x^{2}}{2 y^{2}} \cdot \frac{14 y^{5}}{5 x^{3}}=\frac{\left(10 x^{2}\right)\left(14 y^{5}\right)}{\left(2 y^{2}\right)\left(5 x^{3}\right)}=\frac{140 x^{2} y^{5}}{10 x^{3} y^{2}}=\frac{14 y^{3}}{x}\nonumber\]

Alternativamente, podríamos hacer algunas cancelaciones antes de multiplicar y lograr el mismo resultado

\[\frac{10 x^{2}}{2 y^{2}} \cdot \frac{14 y^{5}}{5 x^{3}}=\frac{\not 2 \cdot \not 5 \cdot \not {x^{2}}}{\not 2 \cdot \not{y^{2}}} \cdot \frac{14 \cdot \not{y^{2}} \cdot y^{3}}{5 \cdot \not{x^{2}} \cdot x}=\frac{14 y^{3}}{x}\nonumber\]

Ejemplo 22.5

Multiplicar y escribir la respuesta en forma más simple

\[\left(\frac{11 x^{5}}{-7 y^{7} z^{2}}\right)\left(\frac{-10 y^{5}}{33 x^{3} z}\right)\left(\frac{21 z^{5}}{-6 x^{2}}\right)\nonumber\]

Una forma organizada de hacer este problema es reorganizarlo para que podamos manejar la “porción numérica” y la “porción variable” por separado. Se nos permite hacer esto porque la multiplicación de números reales es conmutativa, es decir, podemos multiplicar en cualquier orden que deseemos. El reordenamiento da como resultado:

\[\left(\frac{11}{-7} \cdot \frac{-10}{33} \cdot \frac{21}{-6}\right)\left(\frac{x^{5}}{y^{7} z^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{x^{3} z} \cdot \frac{z^{5}}{x^{2}}\right)\nonumber\]

Ahora podemos seguir adelante y hacer algunas cancelaciones, cuidadosamente, una porción a la vez:

\[\frac{\not 11}{-\not 7} \cdot \frac{\not{-2} \cdot 5}{\not 3 \cdot \not{11}} \cdot \frac{\not 3 \cdot \not 7}{\not {-2} \cdot 3}=-\frac{5}{3}\nonumber\]

y

\[\frac{\not{x^{3}} \cdot \not{x^{2}}}{y^{2} \cdot \not{y^{5}} \not{z^{2}}} \cdot \frac{\not{y^{5}}}{\not{x^{3}} \cdot \not{z}} \cdot \frac{\not{z^{2}} \cdot \not{z} \cdot z^{2}}{\not{x^{2}}}=\frac{z^{2}}{y^{2}}\nonumber\]

Por último, volvemos a armar nuestras piezas para obtener la solución final de nuestro problema que es

\[-\frac{5 z^{2}}{3 y^{2}}\nonumber\]

Ejemplo 22.6

Multiplicar y simplificar:

\[\frac{4}{27 x+18 y} \cdot \frac{9 x+6 y}{6}=\frac{4}{9(3 x+2 y)} \cdot \frac{3(3 x+2 y)}{6}\nonumber\]

Observe que\((3 x+2 y)\) está en común tanto en el numerador como en el denominador y así se puede simplificar. Entonces:

\[\frac{4}{27 x+18 y} \cdot \frac{9 x+6 y}{6}=\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{6}=\frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 6}=\frac{2}{9}\nonumber\]

Dividimos las expresiones racionales de la misma manera que dividimos las fracciones. Podemos ver la división como la multiplicación de la primera expresión por la recíproca de la segunda.

Dividir expresiones racionales

Dejar\(P, Q, U, V\) ser polinomios con\(Q \neq 0\) y\(V \neq 0\) luego

\[\frac{P}{Q} \div \frac{U}{V}=\frac{P}{Q} \cdot \frac{V}{U}=\frac{P \cdot V}{Q \cdot U}\nonumber\]

Ejemplo 22.7

Divide y escribe la respuesta en la forma más simple:

\[\frac{6 e^{2} f^{3} g}{5 e^{3} g^{3}} \div \frac{24 f^{6} g^{2}}{e f}\nonumber\]

Multiplicamos la primera expresión racional por la recíproca de la segunda:

\[\frac{6 e^{2} f^{3} g}{5 e^{3} g^{3}} \cdot \frac{e f}{24 f^{6} g^{2}}\nonumber\]

A continuación podemos reorganizar nuestro problema en porciones numéricas y variables para obtener

\[\left(\frac{6}{5} \cdot \frac{1}{24}\right)\left(\frac{e^{2} f^{3} g}{e^{3} g^{3}} \cdot \frac{e f}{f^{6} g^{2}}\right)\nonumber\]

Ahora simplificamos independientemente y cuidadosamente cada porción

\[\frac{\not 6}{5 \cdot 4 \cdot \not 6}=\frac{1}{20}\nonumber\]

y

\[\frac{\not{e^{2}} \cdot \not{f^{3}} \cdot \not g}{\not{e^{2}} \cdot \not e \cdot \not g \cdot g^{2}} \cdot \frac{\not e \cdot \not f}{\not{f^{3}} \cdot \not f \cdot f^{2} \cdot g^{2}}=\frac{1}{f^{2} g^{4}}\nonumber\]

Finalmente volvemos a juntar nuestras piezas para formar la solución a nuestro problema que es

\[\frac{1}{20 f^{2} g^{4}}\nonumber\]

Problema de salida

\[\text { Simplify: } \frac{35 x^{2} b^{3}}{-21 a^{2} y} \div \frac{15 x^{2} b^{2}}{14 a y}\nonumber\]