1.26: Resolver ecuaciones fraccionarias

Una ecuación fraccionaria es una ecuación que involucra fracciones que tiene lo desconocido en el denominador de uno o más de sus términos.

Ejemplo 24.1

Los siguientes son ejemplos de ecuaciones fraccionarias:

a)\(\frac{3}{x}=\frac{9}{20}\)

b)\(\frac{x-2}{x+2}=\frac{3}{5}\)

c)\(\frac{3}{x-3}=\frac{4}{x-5}\)

d)\(\frac{3}{4}-\frac{1}{8 x}=0\)

e)\(\frac{x}{6}-\frac{2}{3 x}=\frac{2}{3}\)

La propiedad Cross-Product se puede utilizar para resolver ecuaciones fraccionarias.

Propiedad de productos cruzados

Si\(\frac{A}{B}=\frac{C}{D}\) entonces\(A \cdot D=B \cdot C\).

Usando esta propiedad podemos transformar ecuaciones fraccionarias en no fraccionarias. Debemos tener cuidado a la hora de aplicar esta propiedad y usarla sólo cuando haya una sola fracción a cada lado de la ecuación. Entonces, las ecuaciones fraccionarias se pueden dividir en dos categorías.

I. Fracciones individuales en cada lado de la ecuación

Las ecuaciones a), b) y c) del Ejemplo 24.1 caen dentro de esta categoría. Aquí resolvemos estas ecuaciones.

a) Resolver\(\frac{3}{x}=\frac{9}{20}\)

\[\begin{array}{ll} \text{Cross-Product} & 3 \cdot 20=9 \cdot x \\ \text{Linear Equation} & 60=9 x \\ \text{Divide by 9 both sides} & \frac{60}{9}=x \end{array}\nonumber\]

La solución es\(x=\frac{60}{9}=\frac{20}{3}\).

b)\(\frac{x-2}{x+2}=\frac{3}{5}\)

\[\begin{array}{ll} \text{Cross-Product} & 5 \cdot(x-2)=3 \cdot(x+2) \\ \text{Remove parentheses} & 5 x-10=3 x+6 \\ \text{Linear Equation: isolate the variable} & 5 x-3 x=10+6 \\ & 2 x=16 \\ \text{Divide by 2 both sides} & \frac{2 x}{2}=\frac{16}{2}\end{array}\nonumber\]

la solución es\(x=8\).

c)\(\frac{3}{x-3}=\frac{4}{x-5}\)

\[\begin{array}{ll} \text{Cross-Product} & 3 \cdot(x-5)=4 \cdot(x-3) \\ \text{Remove parentheses} & 3 x-15=4 x-12 \\ \text{Linear Equation: isolate the variable} & 3 x-4 x=15-12 \\ & -x=3 \\ \text{Divide by 2 both sides} & \frac{-x}{-1}=\frac{3}{-1}\end{array}\nonumber\]

La solución es\(x=-3\)

Nota: Si tienes una ecuación fraccionaria y uno de los términos no es una fracción, siempre puedes contabilizarlo poniendo 1 en el denominador. Por ejemplo:

Resolver

\[\frac{3}{x}=15\nonumber\]

Reescribimos la ecuación para que todos los términos sean fracciones.

\[\frac{3}{x}=\frac{15}{1}\nonumber\]

\[\begin{array}{ll} \text{Cross-Product} & 3 \cdot 1=15 \cdot x \\ \text{Linear Equation: isolate the variable} & 3=15 x \\ \text{Divide by 15 both sides} & \frac{3}{15}=\frac{15 x}{15} \end{array}\nonumber\]

La solución es\(x=\frac{3}{15}=\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 5}=\frac{1}{5}\).

II. Fracciones múltiples a cada lado de la ecuación

Las ecuaciones d) y e) del Ejemplo 24.1 caen dentro de esta categoría. Aquí resolvemos estas ecuaciones.

Utilizamos la técnica para combinar expresiones racionales aprendidas en el Capítulo 23 para reducir nuestro problema a un problema con una sola fracción en cada lado de la ecuación.

d) Resolver\(\frac{3}{4}-\frac{1}{8 x}=0\)

Primero nos damos cuenta de que hay dos fracciones en el LHS de la ecuación y por lo tanto no podemos usar la propiedad Cross-Product inmediatamente. Para combinar el LHS en una sola fracción hacemos lo siguiente:

\[\begin{array}{ll} \text{Find the LCM of the denominators} & 8 x \\ \text{Rewrite each fraction using the LCM} & \frac{3 \cdot 2 x}{8 x}-\frac{1}{8 x}=0 \\ \text{Combine into one fraction} & \frac{6 x-1}{8 x}=0 \\ \text{Re-write the equation so that all terms are fractions} & \frac{6 x-1}{8 x}=\frac{0}{1} \\ \text{Cross-Product} & (6 x-1) \cdot 1=8 x \cdot 0 \\ \text{Remove parentheses} & 6 x-1=0 \\\text{Linear Equation: isolate the variable} & 6 x=1 \\ \text{Divide by 6 both sides} & \frac{6 x}{6}=\frac{1}{6} \end{array}\nonumber\]

La solución es\(x=\frac{1}{6}\).

e) Resolver\(\frac{x}{6}+\frac{2}{3 x}=\frac{2}{3}\)

\[\begin{array}{ll} \text{Find the LCM of the denominators of LHS} & 6x \\ \text{Rewrite each fraction on LHS using their LCM} & \frac{x \cdot x}{6 x}+\frac{2 \cdot 2}{6 x}=\frac{2}{3} \\ \frac{x^{2}+4}{6 x}=\frac{2}{3} \text{Combine into one fraction} & \left(x^{2}+4\right) \cdot 3=6 x \cdot 2 \\ \text{Cross-Product} & 3 x^{2}+12=12 x \\ \text{Remove parentheses} & 3 x^{2}-12 x+12=0 \\ \text{Quadratic Equation: Standard form} & 3 x^{2}-12 x+12=0 \\\text{Quadratic Equation: Factor} & 3 \cdot x^{2}-3 \cdot 4 x+3 \cdot 4=0 \\ & 3\left(x^{2}-4 x+4\right)=0 \\ & 3(x-2)(x-2)=0 \\ \text{Divide by 3 both sides} & \frac{3(x-2)(x-2)}{3}=\frac{0}{3} \\ & (x-2)(x-2)=0 \\ \text{Quadratic Equation: Zero-Product Property} & (x-2)=0 \text { or }(x-2)=0 \end{array}\nonumber\]

Ya que ambos factores son los mismos, entonces\(x-2=0\) da\(x=2\). La solución es\(x=2\)

Nota: Existe otro método para resolver ecuaciones que tienen múltiples fracciones a cada lado. Utiliza el LCM de todos los denominadores en la ecuación. Lo demostramos aquí para resolver la siguiente ecuación:\(\frac{3}{2}-\frac{9}{2 x}=\frac{3}{5}\)

\[\begin{array} \text{Find the LCM of all denominators in the equation} & 10x \\ \text{Multiply every fraction (both LHS and RHS) by the LCM} & 10 x \cdot \frac{3}{2}-10 x \cdot \frac{9}{2 x}=10 x \cdot \frac{3}{5} \\ & \frac{10 x \cdot 3}{2}-\frac{10 x \cdot 9}{2 x}=\frac{10 x \cdot 3}{5} \\ \text{Simplify every fraction} & \frac{5 x \cdot 3}{1}-\frac{5 \cdot 9}{1}=\frac{2 x \cdot 3}{1} \\ \text{See how all denominatiors are now 1, thus can be disregarded} & 5 x \cdot 3-5 \cdot 9=2 x \cdot 3 \\ \text{Solve like you would any other equation} & 15 x-45=6 x \\ \text{Linear equation: islolate the variable} & 15 x-6 x=45 \\ & 9 x=45 \\ & x=\frac{45}{9} \\ & x=5 \end{array} \nonumber\]

La solución es\(x=5\)

Problema de salida

Resolver:\(\frac{2}{x}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}\)