1.30: Resolver un Sistema de Ecuaciones Gráficamente
- Page ID
- 108459
Vimos en el Capítulo 27 cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales algebraicamente (por sustitución y por eliminación). Ya que sabemos que las gráficas de ecuaciones lineales son líneas, es natural graficar las líneas que representan nuestro sistema y observar dónde están unas con respecto a otras en el plano de coordenadas. Solo hay tres configuraciones posibles: las líneas se cruzan en un solo punto, las líneas coinciden, las líneas son paralelas. Encontrar esta intersección (si es posible) equivale a resolver el sistema lineal.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Considera el Ejemplo 27.1 del Capítulo 27.
Considera el Ejemplo 27.1 del Capítulo 27.
\ [\ left (\ begin {array} {lllll}
6 x & + & 2 y & = & 72\\
3 x & + & 8 y & = & 78
\ end {array}\ derecha)\ nonumber\]
La solución que encontramos (por sustitución) fue\(x=10\) y\(y=6\).
Para resolver este sistema graficando, comenzamos por graficar cada una de las ecuaciones lineales dadas.
Primero, graficamos\(6 x+2 y=72\). Recuerden, nos encontramos con dos puntos:
\[x=0 \quad \Longrightarrow \quad y=36\nonumber\]
\[y=0 \quad \Longrightarrow \quad x=12\nonumber\]
Del mismo modo,\(3 x+8 y=78\) graficamos encontrando dos puntos en esta línea:
\[x=2 \quad \Longrightarrow \quad y=9\nonumber\]
\[y=3 \quad \Longrightarrow \quad x=18\nonumber\]
Las líneas están graficadas en el mismo sistema de coordenadas que se muestra a continuación.
Las coordenadas del punto de intersección de las dos gráficas son la solución del sistema. Observe a partir de la gráfica que\(y\) las coordenadas\(x\) y del punto de intersección son\(x=10\) y\(y=6\).
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Resuelve graficando:
\ [\ left (\ begin {array} {lllll}
x & + & y & = & 7\\
5 x & + & 10 y & = & 40
\ end {array}\ derecha)\ nonumber\]
Paso 1 Grafica ambas líneas:
\ [\ begin {align*}
x+y=7:\ quad & x=0, y=7\\
& y=0, x=7
\ end {align*}\ nonumber\]
\ [\ begin {align*}
5x + 10y = 40:\ quad & x = 0, y = 4\\
& y = 0, x = 8
\ end {align*}\ nonumber\]
Paso 2 Lee las coordenadas del punto de intersección:
\[x=6, y=1\nonumber\]
Paso 3 La solución del sistema es\(x=6, y=1\).
Observación 28.3
- Si las gráficas de las dos líneas no tienen un punto de intersección, entonces el sistema no tiene solución.
- Si las gráficas de las líneas coinciden, entonces el sistema tiene infinitamente muchas soluciones.
Resolver un sistema de dos ecuaciones lineales mediante gráficos
- Paso 1: Grafica cada ecuación lineal en el mismo sistema de coordenadas.
- Paso 2: Etiquete el punto de intersección en la gráfica (si hay alguno).
- Paso 3: Leer las coordenadas del punto de intersección (si es posible). Si las líneas coinciden, cada punto en ellas se considera un punto de intersección.
- Paso 4: Dependiendo del Paso 3, indica si el sistema no tiene solución (las líneas son paralelas), infinitamente muchas soluciones (líneas coinciden) o una solución (punto de intersección único).
Problema de salida
Resolver gráficamente:
\ (\ begin {array} {lllll}
8 x & - & 4 y & = & 4\\
3 x & - & 2 y & = & 3
\ end {array}\)