7: El maravilloso mundo de los cosets

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Ya hemos visto una manera de examinar a un grupo complicado\(G\): a saber, estudiar sus subgrupos, cuyas estructuras grupales son en algunos casos mucho más directamente comprensibles que la estructura de\(G\) sí misma. Pero si\(H\) es un subgrupo de un grupo\(G\), si solo\(H\) estudiamos perdemos toda la información sobre\(G\) la estructura “fuera” de\(H\). Podríamos esperar que\(G−H\) (es decir, el conjunto de elementos de los\(G\) que no están en\(H\)) también sea un subgrupo de\(G\), pero inmediatamente vemos que no puede ser así ya que el elemento de identidad de\(G\) debe estar en\(H\), y\(H∩(G−H)=∅\). En cambio, preguntemos ¿cómo podemos llegar a comprender alguna estructura completa usando un subgrupo\(H\)?\(G\) Resulta que usamos lo que se llama cosets de\(H\); pero antes de llegar a esos, necesitamos cubrir algún material preliminar.

7.1: Particiones y Relaciones de Equivalencia en Conjuntos
El número de particiones de un conjunto finito de n elementos se agranda muy rápidamente a medida que n va al infinito. En efecto, ¡hay 52 particiones de un conjunto que contiene solo 5 elementos! (El número total de particiones de un conjunto de n-elementos es el número Bell. No hay una forma trivial de calcular el número de Bell, en general, aunque el número Bell sí satisface la relación de recurrencia relativamente simple.
7.2: Introducción a los Coconjuntos y Subgrupos Normales
En esta sección, introduciremos coconjuntos y subgrupos normales, además de proporcionar los teoremas y ejemplos correspondientes.
7.3: El índice de un subgrupo y el teorema de Lagrange
En esta sección se discute el índice de un subgrupo y el Teorema de Lagrange, así como dos corolarios relacionados.
7.4: Ejercicios
Esta página contiene los ejercicios del Capítulo 7.