9: El teorema del isomorfismo

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Recordemos que nuestro objetivo aquí es utilizar un subgrupo de un grupo\(G\) para estudiar no solo la estructura del subgrupo, sino la estructura de\(G\) fuera de ese subgrupo (el objetivo final es tener una idea de la estructura de\(G\) como un todo). Además, hemos visto que si elegimos\(N\) ser un subgrupo normal de\(G\), podemos hacerlo estudiando tanto como\(N\) el grupo factorial\(G/N\). Ahora bien, hemos notado que en algunos casos —en particular, cuando\(G\) es cíclico— no es demasiado difícil identificar la estructura de un grupo factorial de\(G\). Pero ¿qué pasa con cuándo\(G\) y\(N\) son más complicados? Por ejemplo, hemos visto que\(SL(5,\mathbb{R})\) es un subgrupo normal de\(GL(5,\mathbb{R})\). ¿Cuál es la estructura de\(GL(5,\mathbb{R}) / SL(5,\mathbb{R})\)? Eso no es tan fácil de entender mirando directamente a la multiplicación del coset izquierdo en el grupo factorial.

9.1: El primer teorema del isomorfismo
Un teorema muy poderoso, llamado el Primer Teorema del Isomorfismo, nos permite en muchos casos identificar grupos factoriales (hasta isomorfismo) de una manera muy resbaladiza. Los granos jugarán un papel sumamente importante en esto. Por lo tanto, primero proporcionamos algunos teoremas relacionados con los granos.
9.2: El segundo y tercer teoremas del isomorfismo
Los siguientes teoremas se pueden probar utilizando el Teorema del Primer Isomorfismo. Son muy útiles en casos especiales.
9.3: Ejercicios
Esta página contiene los ejercicios para el Capítulo 9.