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# 7: Isomorfismo de Grupos

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Dos grupos pueden verse diferentes pero ser esencialmente los mismos. Este concepto de igualdad se formaliza en las matemáticas por el concepto de isomorfismo (del griego: isos significa lo mismo y morphe significa forma). Antes de dar una definición precisa de isomorfismo, veamos algunos grupos pequeños y veamos si podemos ver si cumplen o no con nuestra noción intuitiva de igualdad.

Problema 7.1 Repasa los ejemplos de grupos que hemos cubierto hasta ahora y haz una lista de todos aquellos con orden$$\le 12$$. Enlistarlos de acuerdo a sus órdenes. Por ejemplo, los siguientes grupos tienen orden 6:$GL(2,\mathbb{Z}_2),\quad \mathbb{Z}_6, \quad S_3, \quad U_7, \quad U_9, \quad \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3.$ Hacer una lista similar para todos los enteros del 1 al 12.

## Definición 7.1:

Vamos$$G = \{ g_1, g_2, \dots, g_n \}$$. Dejemos$$o(g_i) = k_i$$ para$$i = 1, 2, \dots, n$$. Decimos que la secuencia$$(k_1, k_2, \dots, k_m)$$ es la secuencia de orden del grupo$$G$$. Para que la secuencia sea única asumimos que los elementos están ordenados de manera que$$k_1 \le k_2 \le \dots \le k_n$$.

Por ejemplo, la secuencia de orden de$$S_3$$ es$$(1,2,2,2,3,3)$$.

Problema 7.2 Considera la siguiente lista de propiedades que pueden ser utilizadas para distinguir grupos.

1. El orden del grupo.
2. La secuencia de orden del grupo.
3. Si el grupo es abeliano o no.

Mire cuidadosamente los grupos en la lista que realizó para el problema anterior y vea cuáles pueden distinguirse por una o más de las tres propiedades listadas.

## Definición 7.2:

Dejar$$(G,*)$$ y$$(H,\bullet)$$ ser grupos. Se dice que una función$$f:G \to H$$ es un homomorfismo de$$G$$ a$$H$$ si$f(a*b) =f(a) \bullet f(b)$ para todos$$a,b \in G$$. Si además$$f$$ es uno a uno y sobre,$$f$$ se dice que es un isomorfismo de$$G$$ a$$H$$.

Eso decimos$$G$$ y$$H$$ somos isomórficos si y sólo si hay un isomorfismo de$$G$$ a$$H$$. Escribimos$$G \cong H$$ para indicar que$$G$$ es isomórfico a$$H$$.

Ejemplos 7.1 Algunos ejemplos familiares de homomorfismos e isomorfismos son:

1. $$\det: GL(2,\mathbb{R}) \to \mathbb{R}-\{0 \}$$es un homomorfismo ya que$\det(AB) = \det(A)\det(B)$ para todos$$A,B \in GL(2,\mathbb{R})$$.
2. $$\textrm{sign}: S_n \to \{1,-1 \}$$es un homomorfismo ya que$\textrm{sign}(\sigma\tau) = \textrm{sign}(\sigma)\textrm{sign}(\tau)$ para todos$$\sigma, \tau \in S_n$$.
3. $$\log: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$$, donde$$\mathbb{R}^+$$ denota los números reales positivos y las operaciones son respectivamente multiplicación y suma, es un isomorfismo ya que a partir del cálculo sabemos que$$\log$$ es uno a uno y hacia y$\log(xy) = \log(x) + \log(y)$ para todos los números reales positivos $$x$$y$$y$$. [Aquí$$\log(x) = \ln(x)$$.]
4. $$\exp: \mathbb{R}\to \mathbb{R}^+$$, donde$$\mathbb{R}^+$$ denota los números reales positivos y las operaciones son respectivamente suma y multiplicación, es un isomorfismo ya que a partir del cálculo sabemos que$$\exp$$ es uno a uno y hacia y$\exp(x+y) = \exp(x)\exp(y)$ para todos los números reales$$x$$ y$$y$$. Tenga en cuenta que$$\exp(x)$$ es una notación alternativa para$$e^x$$.

Los dos últimos ejemplos muestran que el grupo de números reales positivos bajo multiplicación es isomórfico al grupo de todos los números reales en adición.

## Teorema$$\PageIndex{1}$$ (Isomorphism is an Equavalence Relation)

Si$$G$$,$$H$$ y$$K$$ son grupos entonces

1. $$G \cong G$$,
2. Si$$G \cong H$$ entonces$$H \cong G$$, y
3. Si$$G \cong H$$ y$$H \cong K$$, entonces$$G \cong K$$.

Problema 7.3 Demostrar Teorema 7.1.

Problema 7.4 Demostrar que cada grupo de orden 1 es isomórfico al grupo$$U_2$$.

Problema 7.5 Demostrar que cada grupo de orden 2 es isomórfico al grupo$$\mathbb{Z}_2$$.

Problema 7.6 Demostrar que cada grupo de orden 3 es isomórfico al grupo$$\mathbb{Z}_3$$.

Problema 7.7 Demostrar que si$$G$$ y$$H$$ son grupos isomorfos entonces$$|G| = |H|$$.

Problema 7.8 Demostrar que si$$G$$ y$$H$$ son grupos entonces$$G \times H \cong H \times G$$.

## Teorema$$\PageIndex{2}$$

Dejar$$(G,*)$$ y$$(H,\bullet)$$ ser grupos y dejar que$$f:G \to H$$ sea un homomorfismo. Dejar$$e_G$$ denotar la identidad de$$G$$ y,$$e_H$$ denotar la identidad de$$H$$. Entonces

1. $$f(e_G) = e_H$$,
2. $$f(a^{-1}) = f(a)^{-1}$$, y
3. $$f(a^n) = f(a)^n$$para todos$$n \in \mathbb{Z}$$.

Problema 7.9 Demostrar las partes 1 y 2 del Teorema 7.2.

Problema 7.10 Demostrar parte 3 del Teorema 7.2 para$$n=2,-2,3,-3$$.

El caso general del Teorema 7.2 puede ser probado por inducción sobre$$n$$. Volveremos a esto más tarde.

Problema 7.11 Reafirmar el teorema 7.2 (a) en el caso de que ambos$$G$$ y$$H$$ usen notación aditiva, (b) en el caso donde$$G$$ usa notación aditiva y$$H$$ usa notación multiplicativa, y (c) en el caso donde$$G$$ usa notación multiplicativa y$$H$$ usa notación aditiva.

## Teorema$$\PageIndex{3}$$

Dejar$$(G,*)$$ y$$(H,\bullet)$$ ser grupos y dejar que$$f:G \to H$$ sea un isomorfismo. Entonces$$\mathrm{o}(a) = \mathrm{o}(f(a))$$ para todos$$a \in G$$. De ello se deduce$$G$$ y$$H$$ tienen el mismo número de elementos de cada orden posible.

Problema 7.12 Demostrar Teorema 7.3. Pista: Usa el Teorema 2.

## Teorema$$\PageIndex{4}$$

Si$$G$$ y$$H$$ son grupos isomórficos, y$$G$$ es abeliano, entonces también lo es$$H$$.

Problema 7.13 Demostrar Teorema 7.4.

## Definición 7.3:

Un grupo$$G$$ es cíclico si hay un elemento$$a \in G$$ tal que$$\langle a \rangle = G$$. Si$$\langle a \rangle = G$$ entonces decimos que$$a$$ es un generador para$$G$$.

Problema 7.14 Encuentra un ejemplo de un grupo cíclico que tiene más de un generador.

## Teorema$$\PageIndex{5}$$

Si$$G$$ y$$H$$ son grupos isomórficos y$$G$$ es cíclico entonces$$H$$ es cíclico.

Problema 7.15 Demostrar Teorema 7.5.

Problema 7.16 Determinar cuáles de los siguientes grupos son cíclicos y cuáles no cíclicos.

1. $$\mathbb{Z}$$bajo adición ordinaria.
2. $$\mathbb{Z}_n$$bajo módulo de adición$$n$$.
3. $$U_n$$para$$n \le 12$$.
4. $$S_3$$.
5. $$\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3$$.
6. $$\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$$.
7. $$\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_5$$.
8. $$A_3$$.
9. $$S_4$$.
10. $$GL(2,\mathbb{Z}_2)$$.

Problema 7.17 [Problema de desafío] Demostrar que si$$G$$ es un grupo cíclico finito de orden$$n$$ entonces$$G$$ tiene$$\phi(n)$$ generadores. Pista: Vamos$$G = \langle a \rangle$$. Mostrar que un elemento$$b = a^i \in G$$ es un generador de$$G$$ si y solo si$$\gcd(i,n) = 1$$.

## Teorema$$\PageIndex{6}$$

Dejar$$a$$ ser un elemento de un grupo$$G$$.

1. Si$$o(a) = \infty$$ entonces$$\langle a \rangle \cong \mathbb{Z}$$.
2. Si$$o(a) = n \in \mathbb{N}$$ entonces$$\langle a \rangle \cong \mathbb{Z}_n$$.

Prueba de 1: Supongamos que$$o(a) = \infty$$. Definir la función$$\varphi : \mathbb{Z} \to \langle a \rangle$$ por la regla$$\varphi(n) = a^n$$ para$$n \in \mathbb{Z}$$. $$\varphi$$está sobre por definición de$$\langle a \rangle$$. Para probar que$$\varphi$$ es uno a uno dejar$$\varphi(n) = \varphi(m)$$ para algunos$$n,m \in \mathbb{Z}$$. Entonces$$a^n = a^m$$. Si$$n \neq m$$ por simetría podemos asumir$$n < m$$. Entonces$e = a^0 = a^{n - n} = a^na^{-n} = a^ma^{-n} = a^{m-n}.$ Pero$$n < m$$ así$$m-n \in \mathbb{N}$$. Esto contradice la suposición de que$$o(a) = \infty$$. Entonces debemos tener$$n = m$$. Esto demuestra que$$\varphi$$ es uno a uno. Ya que$\varphi(n+m) = a^{n+m} = a^na^m = \varphi(n) \varphi(m)$$$\varphi$$ es un homomorfismo y se deduce que$$\varphi$$ es un isomorfismo. De ahí$$\mathbb{Z}\cong \langle a \rangle$$. Por Teorema 7.1$$\langle a \rangle \cong \mathbb{Z}$$.

Prueba de 2: Supongamos que$$o(a) = n \in \mathbb{N}$$. Para nuestra prueba necesitamos introducir la siguiente notación del Apéndice C.

## Definición 7.4:

Vamos$$n \in \mathbb{N}$$. Para cada uno$$a \in \mathbb{Z}$$ por el Algoritmo de División hay enteros únicos$$q$$ y$$r$$ satisfactorios$a = nq + r \mbox{ \qquad and \qquad } 0 \le r < n.$ Denotamos$$r$$ por$$a \bmod n$$. Es decir,$$a \bmod n$$ es el resto cuando$$a$$ se divide por$$n$$.

Ahora usando esto podemos definir precisamente módulo de adición$$n$$ por la regla:$a \oplus b = (a+b) \bmod n.$ Tenga en cuenta que aquí escribimos$$a + b$$ para adición en$$\mathbb{Z}$$ y$$a \oplus b$$ para adición en$$\mathbb{Z}_n$$. Entonces para ser precisos, por$$\mathbb{Z}_n$$ nos referimos al grupo$$(\mathbb{Z}_n,\oplus)$$.

Recordemos eso$$\mathbb{Z}_n = \{0,1,2,\dots, n-1\}$$. Por otro lado por el Teorema 4.2 ya$\langle a \rangle = \{ a^0, a^1, \dots , a^{n-1} \}.$ que$$o(a) = n$$ tenemos Así que el mapeo$$\varphi:\mathbb{Z}_n \to \langle a \rangle$$ definido por la regla$$\varphi(i) = a^i$$ para$$i = 0, 1, 2, \dots , n-1$$, es claramente uno a uno y sobre. Queda por demostrar que$$\varphi$$ es un homomorfismo. Para probar esta nota primero eso$$i \oplus j= r$$ significa que$$i+j = qn + r$$ donde$$0 \le r \le n-1.$$ Ahora tenemos\begin{aligned} \varphi(i\oplus j) &=& \varphi(r) = a^r = a^{i+j-qn} = a^ia^ja^{-qn} = a^ia^j(a^n)^{-q} \\ &=& a^ia^je^{-q} = a^ia^je = a^ia^j = \varphi(i)\varphi(j).\end{aligned} De ahí$$\varphi(i \oplus j) = \varphi(i)\varphi(j)$$. Es decir,$$\varphi$$ es un homomorfismo. Ya que también es uno a uno y sobre él hay un isomorfismo. De ahí$$\mathbb{Z}_n \cong \langle a \rangle$$ y por el Teorema 7.1$$\langle a \rangle \cong \mathbb{Z}_n$$. $$\blacksquare$$

Problema 7.18 Demostrar que si$$G$$ es un grupo cíclico entonces$$G$$ es isomórfico a$$\mathbb{Z}$$ o$$\mathbb{Z}_n$$.

Lo anterior muestra que un grupo generado por un elemento es fácilmente descriptible. ¿Qué pasa con los grupos que no son generados por un elemento sino que son “generados” por dos (o más elementos)? El siguiente ejercicio introduce una notación para precisar tales asuntos.

Problema 7.19 [Desafío Problema] Seamos$$G$$ un grupo y vamos$$S \subset G$$. $$\langle S \rangle$$Definir como el subconjunto de$$G$$ cuyos elementos tienen la forma$$s_1^{\epsilon_1}s_2^{\epsilon_2} \cdots s_n^{\epsilon_n}$$ donde$$n \in \mathbb{N}$$,$$s_i \in S$$ y$$\epsilon_i = \pm1$$ para$$i = 1, 2, \dots , n$$. Demostrar

1. $$\langle S \rangle$$es un subgrupo de$$G$$.
2. $$\langle S \rangle$$es el subgrupo más pequeño del$$G$$ que contiene$$S$$, es decir, si$$K$$ es un subgrupo de$$G$$ y$$S \subset K$$ entonces$$\langle S \rangle \subset K$$.
3. Demostrar que para$$n \ge 3$$ el grupo no$$S_n$$ es cíclico, sino$$S_n = \langle \{\tau,\sigma\} \rangle$$ dónde$$\tau = ( 1 \; 2 )$$ y$$\sigma = ( 1 \, 2 \, \cdots \, n)$$.

Obsérvese que el problema anterior muestra que aunque$$S_n$$$$n \ge 3$$,, no es cíclico, es generado por dos elementos. Sin embargo, a diferencia de los grupos cíclicos se puede decir muy poco sobre los grupos generados por dos elementos.

Te puede interesar el dato curioso (descubierto por primera vez por Philip Hall) de que$$(A_5)^{19}$$ (es decir, el producto directo de 19 ejemplares del grupo alterno de grado 5) puede ser generado por dos elementos, pero$$(A_5)^{20}$$ no puede. Por otra parte, el grupo$$(\mathbb{Z}_2)^n$$, es decir, el producto directo de$$n$$ copias de$$\mathbb{Z}_2$$, requiere un mínimo de$$n$$ generadores por cada entero positivo$$n$$.

Nosotros declaramos sin pruebas el siguiente teorema. Se puede encontrar una prueba, en cualquiera de las referencias.

## Teorema$$\PageIndex{7}$$

Si$$G$$ es un grupo finito de orden$$n$$, entonces hay un subgrupo$$H$$ de$$S_n$$ tal que$$G \cong H$$. $$\blacksquare$$

Esto hace precisa la idea de que cada grupo finito está “contenido”$$S_n$$ para algún entero positivo$$n$$. Por ejemplo, el grupo$$U_8=\{ 1,3,5,7 \}$$ es isomórfico al subgrupo$H = \{ \iota, (1 \ 2), (3 \ 4), (1 \ 2)(3 \ 4) \}$ de$$S_4$$. Tenga en cuenta que un grupo de orden bien$$k$$ puede ser isomórfico a un subgrupo de$$S_n$$ donde$$n < k$$.

Problema 7.20 Encontrar un grupo de orden 120 que sea ismórfico a un subgrupo de$$S_n$$ donde$$n < 120$$.

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